分裂矩阵的谱半径的比较定理

文摘

类的双重分裂迭代法的系数矩阵求解线性系统进一步调查。通过构建一个新的矩阵,迭代矩阵相应的双分裂迭代法。收敛性的基础上,针对单一分裂和比较定理,我们提出一些新的收敛性和比较定理对分裂矩阵的谱半径。

1。介绍

让我们考虑以下线性系统: 在哪里是一个满秩矩阵,是一个给定的向量,然后呢是一个未知向量。为了解决线性系统(1)通过迭代方法,系数矩阵分为 在哪里非奇异的;然后,迭代公式求解线性系统(1)是 在哪里是迭代矩阵(3)。

分裂(2)(单一)分裂和迭代法(3)被称为线性固定迭代法(一步法)。显然,迭代法(3)收敛到唯一解的线性系统(1)当且仅当谱半径迭代矩阵的小于1。迭代矩阵的谱半径是决定性的收敛性和稳定性,和较小的,迭代法收敛越快时,谱半径小于1。到目前为止,许多比较单分裂矩阵的定理提出了一些论文和书籍1- - - - - -8]。

Woźnicki [9]介绍了双分裂作为 在哪里是一个满秩矩阵。相应的迭代计划由三个连续的迭代:张成 可以改写的等价形式 在哪里是单位矩阵。的迭代法(6)的唯一解收敛于(1)对所有初始向量,当且仅当迭代矩阵的谱半径 小于1;也就是说,。

最近,一些双分裂矩阵的收敛和比较结果。在[10),一些收敛定理的双重分裂单调矩阵或厄米正定矩阵。相比之下,结果在10],一些改善收敛性和比较结果双分裂的埃尔米特提出了正定矩阵在[11]。在[12),一些收敛结果的双重分裂non-Hermitian半正定矩阵的建立。此外,一些比较定理双分裂不同的单调矩阵给出了(13,14)和一些收敛和比较的结果给出了非负矩阵的双分裂(4,15]。本文通过构建一个新的矩阵,对应的迭代法的迭代矩阵给出了系数矩阵的双重分裂。收敛性的基础上,针对单一分裂和比较定理,我们提出一些新的收敛性和比较定理对分裂矩阵的谱半径。

2。预赛

为了方便起见,我们给出一些符号,定义和引理,将用于续集。

矩阵被称为非负用吗如果为,。我们写 如果为,。矩阵被称为单调矩阵如果。

定义1。让是一个满秩矩阵。然后,被称为(我)常规的如果和;(2)弱正则如果和;(3)负的如果;(iv) 分裂如果是一个矩阵和。

定义2(见[4,10,15])。让是一个满秩矩阵。然后,双分裂是(我)收敛当且仅当;(2)常规双分裂,,;(3)弱正则分裂如果两倍,,;(iv)一个非负分解如果和;(v)一个总价值分裂如果是一个矩阵和和。

引理3(见[2])。让。然后

引理4(见[16])。让和是分裂的(例如,是矩阵;,), 然后,一个下面的语句是适用的:(1) 。此外,如果是不可约的,第一个不平等也是严格;(2) ;(3) 。

引理5(见[17])。让和非负和收敛。(1)如果任何一或,然后。(2)如果存在,,这样或,然后。

3所示。比较定理

让 是两个分裂的两倍。然后,我们定义 让 然后,和 这表明是满秩的时候是满秩。让被分割为 与 然后

在[4双分裂),一些比较定理(4通过调查定义的矩阵分裂)(14)获得,它被描述如下。

定理6(见[4])。让,让这两个双分裂(10)非负和收敛。假设 然后

推论7(见[4])。让,让这两个双分裂(10)非负和收敛。假设 然后

定理(见[84])。让,常规双分裂,让非负和收敛双分裂。假设 然后。

在[4),他们声称是满秩的时候是满秩。事实上,我们使用以下策略非奇异的。也就是说, 显然,如果矩阵是满秩的,然后我们立即获得吗也非奇异的。当一个讨论了迭代的收敛性质计划(6),预计谱半径迭代矩阵的小于1。在这种情况下,迭代计划(6)是收敛的。在这同时,我们也知道是满秩。此外,比较定理讨论了更有意义的谱半径迭代矩阵的小于1。基于这个想法,我们可以考虑矩阵的选择和作为 鉴于这种选择,我们也有一样的迭代矩阵, 在这种情况下,矩阵不是 但 然后,我们有

根据引理4,我们有以下结果。

定理9。让 是M-splittings。如果,然后一个下面的语句:(1) 。此外,如果是不可约的,第一个不平等也是严格;(2) ;(3) 。

证明。为,让 然后 自,然后。也就是说,从引理4,结果在定理9适用。

定理10。让 非负和收敛。如果任何一或,然后。

证明。让 是负的。通过直接操作,我们获得 自或,我们有或。从引理5定理的结果10适用。

显然,从引理5,我们有下面的结果。

定理11。让 非负和收敛。如果存在,,这样或,然后。

相比之下,必然7和定理8,条件在定理9,10,11不是必需的。

定理12。让 非负和收敛。如果,然后。

证明。显然,如果,然后。从定理2.1117),定理的结果12适用。

定理13。让 让常规,让非负和收敛。如果,然后。

证明。假设;结果是微不足道的。假设。然后,分裂是负的。
在[Perron-Frobenius定理1),存在一个向量和,这样。从,我们得到。自,然后。从定理2.1717),定理的结果13适用。

4所示。数值例子

在本节中,我们使用一个例子来说明定理9,10,12,13。

例1。假设 然后 让 然后 因此,我们有以下的事实。也就是说, ,分别满足定理的条件吗9,10,12,13。在这种情况下,通过简单的计算,我们有 很明显,。也就是说,定理9,10,12,13适用。

利益冲突

作者宣称没有利益冲突有关的出版。

确认

这项研究是由国家自然科学基金委(不支持。11301009),由河南省科技发展计划(没有。122300410316),由河南省自然科学基金会(没有。13 a110022)。

引用

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