果酱 应用数学学报 1687 - 0042<我年代年代npub-type="ppub"> 1110 - 757 x Hindawi出版公司 10.1155 / 2014/573024 573024年 研究文章 分裂矩阵的谱半径的比较定理 http://orcid.org/0000 - 0001 - 7230 - 1222 李 Cui-Xia 1 李 Su-Hua 2 沈 Shuqian 1 学校的数学和统计数据 安阳师范大学 安阳455000 中国 aynu.edu.cn 2 学校的数学和统计数据 云南大学 昆明650091 中国 ynu.edu.cn 2014年 8 7 2014年 2014年 12 05年 2014年 27 06 2014年 8 7 2014年 2014年 版权©2014 Cui-Xia李,李Su-Hua。 这是一个开放的文章在知识共享归属许可下发布的,它允许无限制的使用,分布和繁殖在任何媒介,提供最初的工作是正确的引用。

类的双重分裂迭代法的系数矩阵求解线性系统进一步调查。通过构建一个新的矩阵,迭代矩阵相应的双分裂迭代法。收敛性的基础上,针对单一分裂和比较定理,我们提出一些新的收敛性和比较定理对分裂矩阵的谱半径。

 1。介绍

让我们考虑以下线性系统: (1) 一个 x = b , 在哪里<我nl我ne- - - - - -为米ula> 一个 ∈ R n × n 是一个满秩矩阵,<我nl我ne- - - - - -为米ula> b ∈ R n × 1 是一个给定的向量,然后呢<我nl我ne- - - - - -为米ula> x ∈ R n × 1 是一个未知向量。为了解决线性系统( 1)通过迭代方法,系数矩阵<我nl我ne- - - - - -为米ula> 一个 分为 (2) 一个 = 米 - - - - - - N , 在哪里<我nl我ne- - - - - -为米ula> 米 非奇异的;然后,迭代公式求解线性系统( 1)是 (3) x k + 1 = 米 - - - - - - 1 N x k + 米 - - - - - - 1 b ≡ T x k + 米 - - - - - - 1 b , hhhhhhhhhhhhhhhhhhhh k = 0 1 , 2 , … , 在哪里<我nl我ne- - - - - -为米ula> T = 米 - - - - - - 1 N 是迭代矩阵( 3)。

分裂( 2)(单一)分裂<我nl我ne- - - - - -为米ula> 一个 和迭代法( 3)被称为线性固定迭代法(一步法)。显然,迭代法( 3)收敛到唯一解的线性系统( 1)当且仅当谱半径<我nl我ne- - - - - -为米ula> ρ ( T ) 迭代矩阵的<我nl我ne- - - - - -为米ula> T 小于1。迭代矩阵的谱半径是决定性的收敛性和稳定性,和较小的,迭代法收敛越快时,谱半径小于1。到目前为止,许多比较单分裂矩阵的定理提出了一些论文和书籍 1- - - - - - 8]。

Woźnicki [ 9]介绍了双分裂<我nl我ne- - - - - -为米ula> 一个 作为 (4) 一个 = P - - - - - - R - - - - - - 年代 , 在哪里<我nl我ne- - - - - -为米ula> P 是一个满秩矩阵。相应的迭代计划由三个连续的迭代:张成 (5) x k + 1 = P - - - - - - 1 R x k + P - - - - - - 1 年代 x k - - - - - - 1 + P - - - - - - 1 b , hhhhhhhhhhhhhhhhh k = 0 1 , 2 , … , 可以改写的等价形式 (6) ( x k + 1 x k ] = ( P - - - - - - 1 R P - - - - - - 1 年代 我 0 ] ( x k x k - - - - - - 1 ] + ( P - - - - - - 1 b 0 ] , 在哪里<我nl我ne- - - - - -为米ula> 我 是单位矩阵。的迭代法( 6)的唯一解收敛于( 1)对所有初始向量<我nl我ne- - - - - -为米ula> x 0 ,<我nl我ne- - - - - -为米ula> x 1 当且仅当迭代矩阵的谱半径 (7) W = ( P - - - - - - 1 R P - - - - - - 1 年代 我 0 ] , 小于1;也就是说,<我nl我ne- - - - - -为米ula> ρ ( W ) < 1 。

最近,一些双分裂矩阵的收敛和比较结果。在[ 10),一些收敛定理的双重分裂单调矩阵或厄米正定矩阵。相比之下,结果在 10],一些改善收敛性和比较结果双分裂的埃尔米特提出了正定矩阵在[ 11]。在[ 12),一些收敛结果的双重分裂non-Hermitian半正定矩阵的建立。此外,一些比较定理双分裂不同的单调矩阵给出了( 13, 14)和一些收敛和比较的结果给出了非负矩阵的双分裂( 4, 15]。本文通过构建一个新的矩阵,对应的迭代法的迭代矩阵给出了系数矩阵的双重分裂。收敛性的基础上,针对单一分裂和比较定理,我们提出一些新的收敛性和比较定理对分裂矩阵的谱半径。

2。预赛

为了方便起见,我们给出一些符号,定义和引理,将用于续集。

矩阵<我nl我ne- - - - - -为米ula> 一个 被称为非负用吗<我nl我ne- - - - - -为米ula> 一个 ≥ 0 如果<我nl我ne- - - - - -为米ula> 一个 我 j ≥ 0 为<我nl我ne- - - - - -为米ula> 我 ,<我nl我ne- - - - - -为米ula> j = 1、2 , … , n 。我们写<我nl我ne- - - - - -为米ula> 一个 ≥ B ( 一个 > B ) 如果<我nl我ne- - - - - -为米ula> 一个 我 j ≥ b 我 j ( 一个 我 j > b 我 j ) 为<我nl我ne- - - - - -为米ula> 我 ,<我nl我ne- - - - - -为米ula> j = 1、2 , … , n 。矩阵<我nl我ne- - - - - -为米ula> 一个 被称为单调矩阵如果<我nl我ne- - - - - -为米ula> 一个 - - - - - - 1 ≥ 0 。

<年代tatement id="deff2.1"> 定义1。

让<我nl我ne- - - - - -为米ula> 一个 是一个满秩矩阵。然后,<我nl我ne- - - - - -为米ula> 一个 = 米 - - - - - - N 被称为

常规的如果<我nl我ne- - - - - -为米ula> 米 - - - - - - 1 ≥ 0 和<我nl我ne- - - - - -为米ula> N ≥ 0 ;

 3所示。比较定理

让 (10) 一个 = P 1 - - - - - - R 1 - - - - - - 年代 1 = P 2 - - - - - - R 2 - - - - - - 年代 2 , 是两个分裂的两倍<我nl我ne- - - - - -为米ula> 一个 。然后,我们定义 (11) W 1 = ( P 1 - - - - - - 1 R 1 P 1 - - - - - - 1 年代 1 我 0 ] , W 2 = ( P 2 - - - - - - 1 R 2 P 2 - - - - - - 1 年代 2 我 0 ] 。 让 (12) 一个 = ( 一个 0 - - - - - - 我 我 ] 。 然后,<我nl我ne- - - - - -为米ula> 一个 ∈ R 2 n × 2 n 和 (13) 一个 - - - - - - 1 = ( 一个 - - - - - - 1 0 一个 - - - - - - 1 我 ] 。 这表明<我nl我ne- - - - - -为米ula> 一个 是满秩的时候<我nl我ne- - - - - -为米ula> 一个 是满秩。让<我nl我ne- - - - - -为米ula> 一个 被分割为 (14) 一个 = 米 - - - - - - N , 与 (15) 米 = ( P 年代 0 我 ] , N = ( R + 年代 年代 我 0 ] 。 然后 (16) W = 米 - - - - - - 1 N = ( P - - - - - - 1 R P - - - - - - 1 年代 我 0 ] 。

在[ 4双分裂),一些比较定理( 4通过调查定义的矩阵分裂)( 14)获得,它被描述如下。

<年代tatement id="thm3.1"> 定理6(见[< xref ref-type =“bibr”掉= "十三区最" > < / xref > 4])。

让<我nl我ne- - - - - -为米ula> 一个 - - - - - - 1 ≥ 0 ,让这两个双分裂( 10)非负和收敛。假设 (17) P 1 ≤ P 2 , 年代 1 ≤ 年代 2 ; 然后 (18) ρ ( W 1 ) ≤ ρ ( W 2 ) 。

推论7(见[< xref ref-type =“bibr”掉= "十三区最" > < / xref > 4])。

让<我nl我ne- - - - - -为米ula> 一个 - - - - - - 1 ≥ 0 ,让这两个双分裂( 10)非负和收敛。假设 (19) R 1 ≤ R 2 , 年代 1 ≤ 年代 2 ; 然后 (20) ρ ( W 1 ) ≤ ρ ( W 2 ) 。

定理8(见[< xref ref-type =“bibr”掉= "十三区最" > < / xref > 4])。

让<我nl我ne- - - - - -为米ula> 一个 - - - - - - 1 ≥ 0 ,<我nl我ne- - - - - -为米ula> 一个 = P 1 - - - - - - R 1 - - - - - - 年代 1 常规双分裂,让<我nl我ne- - - - - -为米ula> 一个 = P 2 - - - - - - R 2 - - - - - - 年代 2 非负和收敛双分裂。假设 (21) P 1 - - - - - - 1 ≥ P 2 - - - - - - 1 , P 1 - - - - - - 1 年代 1 ≤ P 2 - - - - - - 1 年代 2 ; 然后<我nl我ne- - - - - -为米ula> ρ ( W 1 ) ≤ ρ ( W 2 ) 。

在[ 4),他们声称<我nl我ne- - - - - -为米ula> 一个 是满秩的时候<我nl我ne- - - - - -为米ula> 一个 是满秩。事实上,我们使用以下策略<我nl我ne- - - - - -为米ula> 一个 非奇异的。也就是说, (22) 米 - - - - - - 1 一个 = 我 - - - - - - 米 - - - - - - 1 N 。 显然,如果<我nl我ne- - - - - -为米ula> 我 - - - - - - 米 - - - - - - 1 N 矩阵是满秩的,然后我们立即获得吗<我nl我ne- - - - - -为米ula> 一个 也非奇异的。当一个讨论了迭代的收敛性质计划( 6),预计谱半径<我nl我ne- - - - - -为米ula> ρ ( W ) 迭代矩阵的<我nl我ne- - - - - -为米ula> W = 米 - - - - - - 1 N 小于1。在这种情况下,迭代计划( 6)是收敛的。在这同时,我们也知道<我nl我ne- - - - - -为米ula> 一个 是满秩。此外,比较定理讨论了更有意义的谱半径<我nl我ne- - - - - -为米ula> ρ ( W ) 迭代矩阵的<我nl我ne- - - - - -为米ula> W = 米 - - - - - - 1 N 小于1。基于这个想法,我们可以考虑矩阵的选择<我nl我ne- - - - - -为米ula> 米 和<我nl我ne- - - - - -为米ula> N 作为 (23) 米 = ( P 0 0 我 ] , N = ( R 年代 我 0 ] 。 鉴于这种选择,我们也有一样的迭代矩阵<我nl我ne- - - - - -为米ula> W , (24) W = 米 - - - - - - 1 N = ( P - - - - - - 1 R P - - - - - - 1 年代 我 0 ] 。 在这种情况下,矩阵<我nl我ne- - - - - -为米ula> 一个 不是 (25) 一个 = ( 一个 0 - - - - - - 我 我 ] 但 (26) 一个 = ( P - - - - - - R - - - - - - 年代 - - - - - - 我 我 ] 。 然后,我们有 (27) 一个 = 米 - - - - - - N ≡ ( P 0 0 我 ] - - - - - - ( R 年代 我 0 ] 。

根据引理 4,我们有以下结果。

<年代tatement id="thm3.3"> 定理9。

让 (28) 一个 = 米 我 - - - - - - N 我 = ( P 我 0 0 我 ] - - - - - - ( R 我 年代 我 0 ] ( 我 = 1、2 ) , 是M-splittings<我nl我ne- - - - - -为米ula> 一个 。如果<我nl我ne- - - - - -为米ula> R 1 ≤ R 2 ,然后一个下面的语句:

0 ≤ ρ ( W 1 ) < ρ ( W 2 ) < 1 。此外,如果<我nl我ne- - - - - -为米ula> 一个 是不可约的,第一个不平等也是严格;

 证明。

为<我nl我ne- - - - - -为米ula> 我 = 1、2 ,让 (29) 米 我 = ( P 我 0 0 我 ] , N 我 = ( R 我 年代 0 我 ] 。 然后 (30) 一个 = 米 我 - - - - - - N 我 , W 我 = 米 我 - - - - - - 1 N 我 。 自<我nl我ne- - - - - -为米ula> R 1 ≤ R 2 ,然后<我nl我ne- - - - - -为米ula> N 1 ≤ N 2 。也就是说,从引理 4,结果在定理 9适用。

定理10。

让 (31) 一个 = 米 我 - - - - - - N 我 = ( P 我 0 0 我 ] - - - - - - ( R 我 年代 我 0 ] ( 我 = 1、2 ) , 非负和收敛。如果任何一<我nl我ne- - - - - -为米ula> P 1 - - - - - - 1 P 2 ≥ 我 或<我nl我ne- - - - - -为米ula> P 2 - - - - - - 1 P 1 ≤ 我 ,然后<我nl我ne- - - - - -为米ula> ρ ( W 1 ) < ρ ( W 2 ) < 1 。

证明。

让 (32) 一个 = 米 我 - - - - - - N 我 = ( P 我 0 0 我 ] - - - - - - ( R 我 年代 我 0 ] ( 我 = 1、2 ) , 是负的。通过直接操作,我们获得 (33) 米 1 - - - - - - 1 米 2 = ( P 1 - - - - - - 1 P 2 0 0 我 ] , 米 2 - - - - - - 1 米 1 = ( P 2 - - - - - - 1 P 1 0 0 我 ] 。 自<我nl我ne- - - - - -为米ula> P 1 - - - - - - 1 P 2 ≥ 我 或<我nl我ne- - - - - -为米ula> P 2 - - - - - - 1 P 1 ≤ 我 ,我们有<我nl我ne- - - - - -为米ula> 米 1 - - - - - - 1 米 2 ≥ 我 或<我nl我ne- - - - - -为米ula> 米 2 - - - - - - 1 米 1 ≤ 我 。从引理 5定理的结果 10适用。

显然,从引理 5,我们有下面的结果。

<年代tatement id="thm3.5"> 定理11。

让 (34) 一个 = 米 我 - - - - - - N 我 = ( P 我 0 0 我 ] - - - - - - ( R 我 年代 我 0 ] ( 我 = 1、2 ) , 非负和收敛。如果存在<我nl我ne- - - - - -为米ula> α ,<我nl我ne- - - - - -为米ula> 0 < α < 1 ,这样<我nl我ne- - - - - -为米ula> P 1 - - - - - - 1 P 2 ≥ ( 1 / α ) 我 或<我nl我ne- - - - - -为米ula> P 2 - - - - - - 1 P 1 ≤ α 我 ,然后<我nl我ne- - - - - -为米ula> ρ ( W 1 ) < ρ ( W 2 ) < 1 。

相比之下,必然 7和定理 8,条件<我nl我ne- - - - - -为米ula> 一个 - - - - - - 1 ≥ 0 在定理 9, 10, 11不是必需的。

<年代tatement id="thm3.6"> 定理12。

让 (35) 一个 - - - - - - 1 = ( P - - - - - - R - - - - - - 年代 - - - - - - 我 我 ] - - - - - - 1 ≥ 0 , 一个 = 米 我 - - - - - - N 我 = ( P 我 0 0 我 ] - - - - - - ( R 我 年代 我 0 ] ( 我 = 1、2 ) , 非负和收敛。如果<我nl我ne- - - - - -为米ula> P 1 ≤ P 2 ,然后<我nl我ne- - - - - -为米ula> ρ ( W 1 ) < ρ ( W 2 ) < 1 。

证明。

显然,如果<我nl我ne- - - - - -为米ula> P 1 ≤ P 2 ,然后<我nl我ne- - - - - -为米ula> 米 1 ≤ 米 2 。从定理2.11 17),定理的结果 12适用。

定理13。

让 (36) 一个 - - - - - - 1 = ( P - - - - - - R - - - - - - 年代 - - - - - - 我 我 ] - - - - - - 1 ≥ 0 , 让<我nl我ne- - - - - -为米ula> 一个 = 米 1 - - - - - - N 1 常规,让<我nl我ne- - - - - -为米ula> 一个 = 米 2 - - - - - - N 2 非负和收敛。如果<我nl我ne- - - - - -为米ula> P 2 - - - - - - 1 ≤ P 1 - - - - - - 1 ,然后<我nl我ne- - - - - -为米ula> ρ ( W 1 ) < ρ ( W 2 ) < 1 。

证明。

假设<我nl我ne- - - - - -为米ula> ρ ( W 1 ) = 0 ;结果是微不足道的。假设<我nl我ne- - - - - -为米ula> ρ ( W 1 ) > 0 。然后,分裂<我nl我ne- - - - - -为米ula> 一个 = 米 1 - - - - - - N 1 = 米 2 - - - - - - N 2 是负的。

在[Perron-Frobenius定理 1),存在一个向量<我nl我ne- - - - - -为米ula> x ≥ 0 和<我nl我ne- - - - - -为米ula> x ≠ 0 ,这样<我nl我ne- - - - - -为米ula> W 1 x = ρ ( W 1 ) x 。从<我nl我ne- - - - - -为米ula> N 1 ≥ 0 ,我们得到<我nl我ne- - - - - -为米ula> N 1 x ≥ 0 。自<我nl我ne- - - - - -为米ula> P 2 - - - - - - 1 ≤ P 1 - - - - - - 1 ,然后<我nl我ne- - - - - -为米ula> 米 2 - - - - - - 1 ≤ 米 1 - - - - - - 1 。从定理2.17 17),定理的结果 13适用。

 4所示。数值例子

在本节中,我们使用一个例子来说明定理 9, 10, 12, 13。

<年代tatement id="ex1"> 例1。

假设 (37) 一个 = ( 3 0 - - - - - - 1 - - - - - - 1 0 4 - - - - - - 1 - - - - - - 1 - - - - - - 1 0 1 0 0 - - - - - - 1 0 1 ] 。 然后 (38) 一个 - - - - - - 1 = ( 0.6 0.2 0.8 0.8 0.2 0.4 0.6 0.6 0.6 0.2 1.8 0.8 0.2 0.4 0.6 1.6 ] ≥ 0 。 让 (39) 米 1 = ( 4 0 0 0 0 5 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 ] , N 1 = ( 1 0 - - - - - - 1 - - - - - - 1 0 1 - - - - - - 1 - - - - - - 1 1 0 0 0 0 1 0 0 ] , 米 2 = ( 5 0 0 0 0 6 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 ] , N 2 = ( 2 0 - - - - - - 1 - - - - - - 1 0 2 - - - - - - 1 - - - - - - 1 1 0 0 0 0 1 0 0 ] 。 然后 (40) P 1 - - - - - - 1 = ( 1 4 0 0 1 5 ] , P 2 - - - - - - 1 = ( 1 5 0 0 1 6 ] 。 因此,我们有以下的事实。也就是说, (41) R 1 ≤ R 2 ; P 1 - - - - - - 1 P 2 ≥ 我 , P 2 - - - - - - 1 P 1 ≤ 我 ; P 1 ≤ P 2 ; P 2 - - - - - - 1 ≤ P 1 - - - - - - 1 , ,分别满足定理的条件吗 9, 10, 12, 13。在这种情况下,通过简单的计算,我们有 (42) ρ ( W 1 ) = 0.7949 , ρ ( W 2 ) = 0.8195 。 很明显,<我nl我ne- - - - - -为米ula> ρ ( W 1 ) ≤ ρ ( W 2 ) < 1 。也就是说,定理 9, 10, 12, 13适用。

 利益冲突

作者宣称没有利益冲突有关的出版。

确认

这项研究是由国家自然科学基金委(不支持。11301009),由河南省科技发展计划(没有。122300410316),由河南省自然科学基金会(没有。13 a110022)。