Coiflets-Based小波拉普拉斯方法求解黎卡提微分方程

文摘

基于数值积分小波迭代方法通过使用Coiflets正交小波,提出了一种非线性分数微分方程。拉普拉斯变换的帮助下,分数微分方程转化为等价的积分方程的卷积类型。通过使用小波函数的近似方案,边界点附近的意外跳或摆动的现象是避免和扩张常数的近似任意未知函数的非线性项可以显式地表达了在有限的扩张的未知函数的近似。然后提出了卷积的数值积分方法。作为一个例子,一个迭代的方法提出了解决奇异非线性分数黎卡提微分方程。数值结果显示执行方法的效率。

1。介绍

近年来,发现了分数微分方程是有效的描述某些物理现象比如流变学,阻尼法,部分随机漫步,和流体流动1- - - - - -6];的渐近分析技术解决各种分数微分方程研究了和许多新的数字技术已经广泛应用于非线性问题。在本文中,我们目前的分数黎卡提微分方程数值解 与初始条件 在哪里是一个已知的函数,,,,任意常数,是一个参数描述分数导数的顺序。一般响应表达式包含一个参数描述分数导数的顺序,可以进行调整,以达到不同的反应。的情况下、分式方程减少古典黎卡提微分方程。

在本文中,我们将介绍修改后的分数微分算子卡普托和曼拉德提出的(3]。我们提到的重要例子:黎卡提微分方程,它扮演了一个重要的角色在许多科学领域工程和应用(1,5],黎卡提微分方程解析解的显式形式似乎是不可能的,除了某些特殊情况。因此,黎卡提微分方程的数值解对工程师和科学家很重要。例如,穆哈马迪和Hosseini5]和Momani Shawagfeh [7)解决分数阶的非线性偏微分方程Adomian分解方法(ADM),基于应用分数的倒数运算符和复杂的算法计算了Adomian多项式非线性问题,和他的变分迭代法(VIM) [8),分段变分迭代法(VIM) [9),不需要所谓的Adomian多项式但取决于变分理论的正确选择初始近似,他们都需要大量的迭代计算。同伦摄动(HPM) (10,11)提供了一个有效的程序显式和数值微分方程的解决方案;然而,级数解的收敛速度依赖于辅助参数和一个初始猜测。

尽管上述进展,文献上精度高和易于实现数字技术适合解决非线性黎卡提微分方程。小波方法,它是一个通用的分析方法,得到了广泛的应用,许多数学家和工程师解决各种功能方程,应用于信号分解和重构,拉普拉斯反演[12),微分方程的解决方案(13- - - - - -15),和压电智能结构的振动主动控制问题16,17]。然而,让人感到奇怪的是,只有很少的研究集中在分数微分方程利用小波方法的解决方案(18,19]。

在本文中,我们引入一个Coiflets-based拉普拉斯方法(CWLM)可以有效地解决小波黎卡提微分方程。这种方法取决于小波近似显式方案的非线性方程的未知函数,级数系数的函数对应的节点点采样,并通过使用拉普拉斯变换,与奇异积分方程的内核是转化为等价的非奇异积分方程。最后,数值模拟显示方法的效率。

2。预赛

2.1。分数导数算子

这里我们给出一些必要的定义和数学预赛的分数微积分应用。两种最常用的定义是Riemann-Liouville和卡普托。两个定义之间的差异评价的顺序。Riemann-Liouville分数导数算子的秩序被定义为(2] 自从Riemann-Liouville分数导数有一些缺点在模型实际现象与最初的分数阶微分方程和边界条件,在这篇文章中,我们将介绍一个修改分数微分算子是卡普托和曼拉德提出的(3]。

为超过最小的整数,卡普托time-fractional导数算子被定义为(3] 在哪里是阶导数的函数和是伽玛函数。

卡普托的拉普拉斯变换分数导数算子是(3] 分数微积分的更多细节,请参见[2,3]。

2.2。Coiflets正交小波

函数被称为正交尺度函数,如果具有以下特性。(1)有一组序列,它满足 (2)集。满足正交性条件;也就是说, 在哪里 克罗内克符号函数。(3)对所有,请注意 在哪里 函数空间 满足以下关系:(我) ;(2) ;(3) ;(iv) 是密集的;(v) ;(vi)设置形成了一个在基地;也就是说,存在常数和,满足 的平方之和的序列空间,任意序列。在系数是低通滤波器系数,通常只有有限数量的非零值。

对于任何函数,我们有以下近似: 的系数 周Coiflets小波尺度函数,和王20.)提出了小波的广义高斯积分法,然后我们有 在哪里扩展函数的一阶矩,可以获得准确的双刻度滤波器系数的方程。的近似精度(13)取决于相应的小波函数消失的时刻,当相应的尺度函数已经消失的顺序,,我们有(20.] 这意味着错误的(13)变得越来越小而消失的规模和最大顺序尺度函数逼近的时候增加。替代(15)(13)

形式方程(17)的单点重建公式的函数具有以下特征(20.]。(1)函数的复合函数或功能操作,它的重建或近似公式 在哪里;建立(18)是明显的,因为(18)是建立一个任意的函数形式,当然,包括其复杂的函数形式。因此,简单的平方可积复杂的功能可以被视为在(18)。通过这种方式,此外,的重要性(18为任意函数)在函数操作符(可能是非线性算子)变换,其右边的计算等价于一个线性算子计算。也就是说,尺度函数的系数可以通过把操作符系数的作用。(2)积分算子或导数算子在功能上,我们有 也就是说,我们只需要把操作员的角色在在(17)。

正如我们所知,小波级数近似是一个平方可积函数定义在无限区间,近似函数定义时只在有限区间,我们需要截断小波级数,这可能引入边界效应明显,和相应的数值计算方法导致精度降低。传统上,边界条件的一般治疗是通过使用无符号字节变量,对称的,或周期性扩展等等。在某种程度上,这些方法可以有效地抑制抖动时边界的近似函数的一种特殊形式,但不普遍,不考虑小波扩张以满足边界条件。不同于过去的扩张功能,本文基于泰勒级数展开的边界扩展应用于函数定义在一个有限区间[14,15),那么该函数需要满足相应的边界条件是嵌入到相应的泰勒级数。

首先,我们假设函数边界,利用泰勒级数展开,形式如下: 在哪里和,,,从内部点数值不同,所表达的,的数值差异系数。当,据four-point-Malkoff数值差分公式(14,15),我们知道 在哪里和。特定的边界条件,给出了边界条件(21),将调整后的矩阵的某些元素值。例如,对于边界条件,,我们只需要做,和其他中给出的值(21没有改变。

然后,(18)可以表示为 在哪里,,。

考虑Coiflets尺度函数支持组,,应用扩展函数级数近似方程(17),是一个积分;函数的,我们有以下形式: 用(22)(23),然后(23)可以写成 在哪里,我们表示

因此,当特定的边界条件,扩展的微分系数可以确定按照上面的过程,并给出相应的改进的扩展函数(25)。

3所示。数值算法

在本节中,我们将考虑修改后的小波近似方案来解决非线性黎卡提微分方程(1)与表达的初始条件(2)。

首先,应用拉普拉斯变换在时间变量在(1)导致 也就是说, 在这。或,分数阶导数的拉普拉斯变换公式是(3]。当函数的拉普拉斯逆变换得到的是单数,我们把,否则我们。例如,对于,,我们只是需要;然后的拉普拉斯逆变换,它是非奇异的。的拉普拉斯逆变换(27),我们得到 在哪里 由(12),,可以通过数值方法获得。从[6),我们知道 在哪里定义是广义米塔格-莱弗勒类型函数幂级数 它可以看到从(30.),内核的积分是一个非奇异的光滑函数与房地产的当;应用(24),(25),我们有 通过使用(19),我们表示 应用(24)来近似与在(28),我们有 在哪里。整合双方的34),我们得到 在哪里可以完全获得根据王(22]。插入(35)(28),然后设置收益率 在哪里,(),。那么一个可以解决代数方程获得黎卡提微分方程的解决方案。根据(30.),注意,如果应该有为,这意味着当因此,(36)可以进一步简化为表单 它可以看到从(37)解决方案可以直接获得逐步随着指数吗增加。在这个过程中,不需要矩阵求逆。规模大,精度的结果(36)和(37)是更好的,例子所示。实际上,在大多数实践问题,(37)是可能的,甚至没有的特殊性质在某些情况下,我们仍然可以解决非线性代数方程(36),这是满秩和容易。然后我们促进部分黎卡提微分方程的方法。

4所示。数值例子

在本节中,我们将给出两个数值experimentsto说明了效率和应用本文中提出的方法。

例1。考虑以下部分黎卡提微分方程给出了(7,19,21]: 与初始条件 的精确解(38)是当。

图1是比较确切的结果和数值结果吗。我们可以看到数值解与精确解很好的协议。图2显示了绝对误差的精确解和CWLM有不同的结果。你会发现近似解收敛于精确解,和绝对误差减小是增加了。(数值解的对比38)和图中给出了3。

表1解决方案的例子吗1通过不同的方法。相比之下,结果在21利用同伦分析方法获得了)homotopy-Pade近似和HWOMM [19),需要解决非线性几乎数以百计的代数方程组。

例2。考虑以下部分黎卡提微分方程(7,19]: 与初始条件 确切的解决方案是当。

图4是比较确切的结果和数值结果吗。可以看到CWLM准确、能够解决这个非线性黎卡提微分方程在一个非常广泛的地区。图5显示了绝对误差的精确解和CWLM有不同的结果例如2当中,可以看出,价值的规模越大,绝对误差越小。图6的解决方案(40CWLM)获得的和与其他方法得到的结果相比,在19,23,24),表中给出2。

5。结论

本文基于Coiflets小波数值方法操作方法应用于解决分数微分方程。在这种方法中,与分数微分方程订单转移到一个拉普拉斯变换的卷积型积分方程的解决方案是近似小波近似方案的修改。这个简单的方法建立了周et al。14)(包括作者)和被应用于解决非线性振动方程,扩散波方程。与结果为解决其他部分黎卡提微分方程的数值方法(7,19,21,23,24),算例的结果表明,本方法可以给高精确的近似在一个更大的地区。这也是当前方法的优势。

利益冲突

作者宣称没有利益冲突有关的出版。

确认

这项工作是由中国国家自然科学基金(11302081)和华中农业大学科技自主创新基金会资助下(52902 - 0900206074)。

引用

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