文摘
我们研究一个nondifferentiable分式规划问题如下:受,在那里是一个在局部凸拓扑向量空间semiconnected子集,,和,。如果,,,arc-directionally可微,semipreinvex地图对连续映射令人满意的和,然后为最优的充分必要条件建立了。
1。介绍
近年来,已经有越来越兴趣研究白芍的nondifferentiable多目标规划问题的最优性条件。许多作者建立和使用一些不同的库恩塔克类型必要条件或其他类型研究最优解决方案的必要条件;参见[1- - - - - -27)和引用。在[7,赖昌星和Ho利用帕累托最优条件调查semipreinvex函数的多目标规划问题。赖(6)获得了最优的充分必要条件与semipreinvex编程问题的假设。帕累托最优条件建立了Lai和林(8]。赖和Szilagyi9]研究了凸集编程功能,证明了替代定理是有效的凸集上定义的函数凸亚科可衡量的子集的表明如果系统 对解决方案,在哪里代表零向量在一个拓扑向量空间中,存在一个非零连续线性函数这样 在本文中,我们研究如下优化问题: 在哪里是一个在局部凸拓扑向量空间semiconnected子集,,和,功能满足一些合适的条件。本研究的目的是处理此类限制部分semipreinvex编程问题。最后,我们建立了弗里茨约翰类型充分必要条件的最优分段semipreinvex编程问题。
2。预赛
在这篇文章中,我们让是一个局部凸拓扑向量空间的真正的领域。表示所有空间的线性算子成。
让是一个非空的凸子集。让是可微的。然后是一个线性算子,这样 回想一下,一个函数上被称为凸,如果 或 如果凸和可微的吗,然后由(3)和(5),我们有 1981年,汉森(13,14]介绍了广义凸性所谓invexity;也就是说,取而代之的是一个向量在(6),或 所以一个invex函数的确是一个凸可微函数的泛化。
定义1(见[6])。(1)一套据说semiconnected对于一个给定的吗如果
(2)地图据说semipreinvex semiconnected子集如果每个对应一个向量这样
在哪里代表的零向量。
下面是一个例子,一个有界semiconnected,这是semiconnected非平凡。
例2。让,和有界集。让被定义为 然后是一组绑定semiconnected对吗。
定理3(见[6定理2.2])。让是一个和semiconnected子集semipreinvex地图。然后任何局部最小值也是一个全球最低的在。
假设的问题(9),存在一个正数这样 因此,我们可以减少问题(9)同等nonfractional参数问题: 在哪里是一个参数。
我们将证明这个问题 相当于问题(最优值)。下面的结果是我们的主要技术获得必要的和足够的最优性条件的问题 。
定理4。问题 有一个最优解与最优值当且仅当和是一个最优解的。
证明。如果是一个最优解的
与最优值,也就是说,
它遵循从(12),
因此,我们有
然后,通过(14),我们得到
因此,是一个最佳的解决方案(),。
相反,如果是一个最佳的解决方案()与最优值,然后
所以
它遵循从(17),
因此
因此,
我们知道是一个最优解的
与最优值。
3所示。存在的必要和充分条件Semipreinvex功能
定义5(见[6])。一个映射据说是弧定向(简而言之,arc-directionally)可微的吗对一个持续的电弧如果为与 也就是说,连续函数是可微的从右和的极限
注意,弧方向导数是一个映射的成。此外,我们如何做一套semiconnected ?事实上,我们可以构造一个函数关心定义如下。
对于任何和,我们选择一个向量 然后 让,和,semiconnected子集,semipreinvex地图在。考虑一个约束的规划问题 。
定理6(最优性必要条件)。假设,和,在arc-directionally可微的和semipreinvex对一个持续的电弧定义为在定义5。如果本地最小化semipreinvex编程问题 ,然后存在和这样 在哪里和
证明。由定理4,最低的解决方案
也是一个最低()。然后是当地最小的解决方案()。由定理3,我们有是全球最小的解决方案()。由此可见,该系统
没有解决方案,那么我们就有
没有解决方案对于任何。因此对于任何,
对于一些。把在(29日),我们得到
自和,接下去
(26)是证明。
作为是一套semiconnected,对于任何和,我们有
为,重点并不能解决系统(27)。所以用在(29日)和使用结果(26),我们得到
自和arc-directionally可微的对吗,选择一个向量(23),所以,24)举行。因此,如果我们把(33)的极限,那么我们就有
这证明(25)和定理的证明。
定理7(足够的最优性条件)。让,和,在arc-directionally可微的和semipreinvex对一个持续的电弧定义为在定义5。如果存在和令人满意的 与和 然后是一个问题的最优解 。
证明。相反的假设不是最优的问题吗
和。然后。因此,
因此。
由定理4,没有最优问题
。然后有一个这样
为。此外,我们有
对于任何。因此
自从semi-preinvex地图,和,arc-directionally是可微的,接下去有对应一个向量这样
所以
让,我们有最后的不平等
因此,从(41)和(44),我们得到
这与事实相矛盾的35)。因此是一个最优解的问题吗
。
因为任何全球最小的是一个局部最小,应用定理6和7我们可以获得问题的充分必要条件 。
定理8。假设,和,arc-directionally可微的在吗和semi-preinvex对一个持续的电弧定义为在定义5。如果最大限度地减少全球semi-preinvex编程问题 当且仅当存在,,这样 在哪里和
备注9。我们的结果也坚持将函数凸。
确认
识Du的研究支持下部分批准号NSC 101 - 2115 m - 017 - 001由美国国家科学委员会中华民国。