文摘

本文认为完成一个满秩的问题真正的四元数代数块矩阵:让非负整数,,被给予。我们确定必要和充分条件,存在一个变异矩阵块条目这样非奇异的,左上角的分区块吗。的一般表达式也获得了。最后,给出了一个算例来验证理论结果。

1。介绍

完成一个block-partitioned矩阵问题的指定类型的一些街区已经被许多作者研究。菲德勒,马卡姆(1)被认为是在实数域完成以下问题。假设非负整数,,。确定一个矩阵这样 是满秩和右下方的分区块吗。这个问题的形式 解决方案和的表达式获得了在1]。戴(2)认为这种形式的完成对称和对称正定矩阵的问题。

其他一些特定的形式分块矩阵在也被检查(见,例如,3),如

真正的四元数矩阵在计算机科学中发挥作用,量子物理学等等(例如,4- - - - - -6])。四元数矩阵得到关注了最近(例如,7- - - - - -9])。出于工作的1,10)和保持这样的应用程序视图的四元数矩阵,在本文中,我们考虑以下完成问题真正的四元数代数:

问题1。假设非负整数,,。找到一个矩阵这样 非奇异的,左上角的分区块吗。这是 在哪里表示的集合矩阵在和表示的逆矩阵。

在,在真正的四元数代数,我们表示单位矩阵与适当的大小的转置通过的排名通过的共轭转置通过自反矩阵的逆在通过同时满足和。此外,,在那里是一个任意但固定自反逆的吗。很明显,和是幂等的,每一个是一个反射性的倒数。表示矩阵的右列空间。

本文的其余部分组织如下。节2,我们建立解决问题的一些必要条件和充分条件1在的一般表达式也获得了。节3,我们给出一个数值例子来说明发达的理论。

2。主要结果

在本节中,我们开始下面的前题。

引理1(奇异值分解(9])。让的排名。然后存在统一的四元数矩阵和这样 在哪里和是积极的奇异值。

让表示列向量的集合组件的四元数和是一个四元数矩阵。的解决方案形式的子空间的维度。我们有下面的引理。

引理2。让 是一个满秩矩阵的分区,让 是相应的(即。,transpose) partitioning of。然后。

证明。它很容易看到 互为倒数,所以我们可以假设吗。
如果,一定我们完成了。让,那么存在一个矩阵与正确的线性无关的列,这样。然后,使用 我们有
从 我们有 它遵循等级。鉴于(12),这意味着
因此

引理3(见[10])。让,,是已知的,未知的。然后矩阵方程 当且仅当一致吗 在这种情况下,一般的解决方案 在哪里,是矩阵与兼容的尺寸吗。

由引理1矩阵的奇异值分解和在问题1是 在哪里是一个正对角矩阵,的奇异值吗,,是一个正对角矩阵,的奇异值吗和。

,,,是统一的四元数矩阵,在哪里,,,。

定理4。问题1有解当且仅当满足以下条件:(一) ,(b) ,这是,(c) ,(d) 。
在这种情况下,一般解的形式 在哪里是一个任意的矩阵在吗和是一个任意的矩阵在吗。

证明。如果存在一个矩阵这样是满秩和相应的块吗,然后是满意的。从我们有, 这和感到满意。
由(11),我们有 从引理2,请注意相应的分区吗,我们有 这意味着是满意的。
相反,从(c),我们知道存在一个矩阵这样 让 从(20.),(21)和(26),我们有
由此可见,
这意味着
比较相应的块(30.),我们得到
让。从(29日),(30.),我们有
以同样的方式,从(d),我们可以得到 请注意,(一)是一个满列秩矩阵。由(20.),(21)和(33),我们有 这 它遵循从(b)和(35),是一个满列秩矩阵,因此它是满秩。
从,我们有以下矩阵方程: 这是 在哪里,是给定的,(从(27))。由引理3矩阵方程(37)有解当且仅当 由(21),(27),(32)和(33),我们(38)相当于: 我们简化上面的方程。左边减少所以我们有 所以, 这意味着 这 所以, 因此, 最后,我们获得 增加双方的46)从左边,考虑(33),这一事实是满秩的,我们有什么 从引理3,(38),(47),问题1有一个解决方案,一般的解决方案是什么 在哪里是一个任意的矩阵在吗和是一个任意的矩阵在吗。

3所示。一个例子

在本节中,我们给出一个数值例子来说明理论结果。

例5。考虑问题1与参数矩阵如下:
很容易证明,是满意的, 所以,也满意。因此,我们有 在哪里 我们也有
由定理4任意矩阵,我们有 由此可见, 结果验证定理的理论结果4。

确认

作者想给感谢裁判和k . c . Sivakumar教授对他们有价值的建议和意见,导致论文的改进。这项研究是关键项目的赠款支持上海市教育委员会科研创新基金会(13 zz080),中国国家自然科学基金(11171205)、上海自然科学基金(zr1412500 11日),上海的本级重点学科建设项目(a . 13-0101-12-005)和上海重点学科建设项目(J50101)。