模型参考控制超混沌系统

文摘

我们有一个著名的工程应用方法,称为模型参考控制,控制超混沌同步。我们已经提出了一个通用的超混沌系统及其描述参考系统。利用李雅普诺夫稳定性定理,我们得到控制器的表达式。四个例子的两个特定情况和不确定的情况表明,我们的方法是非常有效的控制超混沌系统某些参数和不确定的参数。

1。介绍

混乱已经受到了越来越多的关注在过去的三十年。与普通混沌系统相比,超混沌系统保持至少两个正的李雅普诺夫指数,然后拥有更复杂的流动。超混沌系统的特点,高容量、高安全性、效率高和研究在许多领域,如安全通信(1,2),细胞神经网络(3,4),化学处理(5),非线性电路(6- - - - - -8),和其他领域(9,10]。

控制混沌或超混沌同步是很有意义的。研究已经启动了OGY方法[开创性工作以来11)发表。随着计算技术的发展和控制理论,提出了许多方法控制混沌如LMI-based方法(12,13),滑动控制14),主动控制(15),最优控制(16,17),和passivity-based控制(18,19]。然而,超混沌系统是更复杂的比普通的混乱。获得令人满意的控制效果,我们应该关注更多优势控制技术的算法和思想。有一些结果控制超混沌系统,如反馈控制(20.,21),自适应控制22),同步控制(23),和冲动控制(24]。

在本文中,我们将展示,尽管一个超混沌系统是复杂的,其动力学仍然可以控制在预期的轨迹。控制器是由优势控制方法,称为模型参考控制(MRC)。如今,MRC广泛用于工程、机器人控制等(25)、机械振子(26),经济周期(27),和疾病传播28]。我们的目标是控制超混沌系统跟踪预期的轨迹和MRC的援助。在下一节中,将制定的问题。节3的框架,我们将提出MRC超混沌系统与某些具有不确定参数和系统参数。节4我们将给两个数值例子显示,MRC的有效性在超混沌系统也有一定的和不确定的参数和超混沌系统具有不确定参数的两个例子。最后,结论将在部分5。

2。问题公式化

第一个例子的超混沌系统,提出了1979年由Rossler [29日]。从那时起,其他超混沌系统已报告(30.),许多研究人员都在关注新发现的超混沌系统及其控制。在本节中,我们将描述广义超混沌系统的基本配方和参考系统。最近,非线性科学家专注于混沌和超混沌系统的控制问题具有不确定参数(31日- - - - - -37]。因此,我们将制定的超混沌系统与某些具有不确定参数和系统参数。

由于超混沌系统某些参数至少要有二次项,我们可以制定系统如下: 在哪里是一个维列向量,是它的转置矩阵,是一个矩阵包括矩阵的形式,是一个矩阵,是一个维列向量的输入控制。值得注意的是,只有名义矩阵乘法的表达,它描述了二次项模块如下:

方程(2.1)可以涵盖很多超混沌系统,尽管它可能不适合系统与高阶术语或甚至一个分数阶术语。不确定的系统(2.1)如下: 在哪里是一个矩阵,确定参数是一个维列向量,和其他变量。在这里,可能等于,还小或大的比。

在本节中,我们还将引入一个参考系统只有线性项和常数。我们的目标是控制超混沌系统跟踪参考模型系统,随着展览渐近稳定如下 的矩阵是一个已知的常数矩阵以适当的维度,矩阵的特征值有负实部这样的系统是渐近稳定的。通过让系统(2.4)参考系统,我们将控制超混沌系统(2.1)跟踪以及系统(2.4)。在这里,被称为国家参考模型的输出向量,然后呢参考输入向量。

特别是,如果参考系统的二阶项,我们可以把它写成 在哪里是一个类似矩阵。

3所示。模型参考控制超混沌系统

在本节中,MRC应用于控制超混沌系统某些参数和不确定的参数。我们的目标是获得准确的控制律这样,原系统参考模型的动力学行为。我们将审查自治系统的李雅普诺夫稳定性定理,然后给控制器的显式表达式。

定理3.1(自治系统的李雅普诺夫稳定性定理)。让是一个动力系统描述的平衡点 在哪里是一个局部李普希茨和一个域包含原点。让是一个连续可微的,正定函数。然后是一个渐近稳定平衡点,如果是负的。的标量函数是一个李雅普诺夫函数如果半负定在该地区吗:。

假定误差系统(3.1)满足条件的定理3.1,其李雅普诺夫函数的形式 在哪里是一个对称正定矩阵。的导数关于时间

MRC的整个过程,参考模型的输出和控制系统进行比较,误差向量是

如果我们想控制系统(2.1)一起跟踪系统(2.4),我们可能会有以下的结果。通过使用(2.1)和(2.4),我们得到以下错误系统:

我们将尝试设计一个控制向量这样的目标方程

从(3.1)和(3.2),MRC问题转化为零向量的误差的渐近稳定系统(3.1)。在这里,我们将使用李雅普诺夫稳定性理论来确定适当的控制律。这个定理如下。

定理3.2。让是任何对称正定矩阵,矩阵的最大特征值吗,控制器。超混沌系统(2.1)将渐近跟踪期望的动力系统(2.4),如果和。

证明。事实上,超混沌系统(2.1)渐近跟踪系统(2.4)相当于误差系统渐近稳定。因此,我们将试图证明的不等式。
的对称性质,标量方程(3.3)可能有以下描述: 为,矩阵是负的。此外,标量是获得。
使用定理的结果3.1,可以得出结论:错误将收敛于渐近。同样,控制器将超混沌系统(2.1)渐近跟踪期望的动力系统(2.4)。

如果我们想控制系统(2.1)一起跟踪系统(2.5),我们可能会有以下的结果。通过使用(2.1)和(2.4),我们得到以下错误系统:

很容易得到控制律与类似下面的定理定理的过程3.2。

定理3.3。让是任何对称正定矩阵,矩阵的最大特征值吗和控制器。超混沌系统(2.1)将渐近跟踪期望的动力系统(2.4),如果和。

我们可以省略定理的证明3.3,因为这是类似于定理3.2。

定理3.2和3.3适合超混沌系统某些参数。在下面,我们将给两个相似定理具有不确定参数的系统。为了简化控制过程,我们将做。

定理3.4。让矩阵的最大特征值吗,控制器,在那里不确定参数的估计吗,满足微分方程。超混沌系统(2.3)将渐近跟踪期望的动力系统(2.4),如果和。

证明。不确定属性的系统(2.3),我们应该重新定义李雅普诺夫函数如下 类似于定理的证明3.2,我们必须证明的不等式: 为,矩阵是负的。此外,标量是获得。
因此,控制器将超混沌系统(2.3)渐近跟踪期望的动力系统(2.4)。

如果我们想控制系统(2.3)一起跟踪系统(2.5),我们可能会有以下的结果。我们有以下错误系统: 很容易得到控制律与类似下面的定理定理的过程3.4。

定理3.5。让矩阵的最大特征值吗,控制器,在那里不确定参数的估计吗,满足微分方程。超混沌系统(2.3)将渐近跟踪期望的动力系统(2.5),如果和。

我们也可以省略定理的证明3.5。

4所示。数值例子

本节包含两部分。第一部分是控制超混沌系统的数值例子,所有的参数都是确定的。我们将使用定理的结果3.2控制超混沌Rossler系统和使用的定理3.3控制超混沌的洛伦兹系统。第二部分是控制系统不确定参数的数值例子。尤其是第三例有四个不确定参数,和第四例有6个不确定参数。

整个数值结果表明,MRC非常合适和有效控制超混沌系统某些参数和不确定的参数。

4.1。我的例子

现有超混沌Rossler four-variable系统描述 根据(2.1),我们有 在哪里,,,在初始状态等于0,需要由定理呢3.2。

渐近稳定的参考模型如下: 根据(2.4),矩阵和控制向量的维空间参考系统(4所示。3)有以下描述: 根据定理3.2,我们可以让矩阵,那么矩阵 其最大的特征值。通过考虑的条件和,我们应该获得。然后,控制器应由定理3.2, 图1表明,该控制器能使系统Rossler系统(4所示。1)跟踪及其参考系统(4所示。3)。在这里,这两个系统的缩写和,分别。

4.2。例子二世

four-variable超混沌的洛伦兹系统[30.)所描述的 根据(2.1),我们有 在哪里,,,在初始状态等于0,需要由定理呢3.3。

渐近稳定的参考模型如下: 根据(2.5),矩阵和和控制向量的维空间参考系统(4.12)有以下描述: 根据定理3.3,我们可以让矩阵,那么矩阵 其最大的特征值。通过考虑的条件和,我们应该获得。然后,控制器应由定理3.3,

图2表明,该控制器能使系统洛伦兹系统(4所示。7)- (4.12)跟踪及其参考系统(4.12)。在这里,这两个系统的缩写和,分别。

4.3。示例3

现有超混沌Rossler four-variable系统不确定参数的描述

根据(2.3),我们有 在哪里,,,在初始状态等于0,需要由定理呢3.4。在图3,列向量的估计价值吗,在那里。

不确定参数的评估系统

参考模型是相同的为例, 我们有最大的特征值。通过考虑的条件和,我们应该获得。

图4表明,该控制器能使系统Rssl系统有四个不确定参数(4所示。1)跟踪及其参考系统(4所示。3)。的超混沌系统,在这里,首字母参考系统和评价系统的不确定参数,,,分别。

与数据1 (c),1 (d),4 (c),4 (d),我们发现我们的方法具有更好的性能比一定的情况下在不确定的情况下。在图4(一),我们可以看到一些波在时域,这不是比一定的情况下。在数据4 (b)和1 (b)控制性能是相似的。

4.4。示例4

four-variable超混沌的洛伦兹系统不确定参数的描述 在哪里 在哪里,,,在初始状态等于0,需要由定理呢3.5。图5显示了估计,列向量的估计价值吗,在那里。

不确定参数的评估系统

参考模型是相同的为例II与渐近稳定如下: 和最大的特征值是。通过考虑的条件和,我们应该获得。

图6表明,该控制器能使系统洛伦兹系统不确定参数(4.20)跟踪及其参考系统(4.23)。的超混沌系统,在这里,首字母参考系统,估计系统参数是不确定的,,,分别。

的性能数据6(一)- - - - - -6 (b)远远比一个数字2(一个)- - - - - -2 (b)。两个数据的其他部分几乎相同的性能。

5。结论

在本文中,我们使用了MRC技术控制超混沌系统来跟踪期望轨迹。控制器的表达式。四个算例表明,本方法非常有效控制超混沌系统与某些参数和系统不确定参数。通过比较结果在相应的数据,我们发现我们的方法不仅适合控制超混沌系统的某些参数,但也是一个健壮的系统不确定参数。

确认

本文由中国奖学金委员会。p . f .赵表达真诚的感谢y李教授,他的指导下,刘教授和b .杨教授的指示。同时,感谢国家自然科学基金委(格兰特号码11071026,11001100,11171131,61133011,61170092,60973088,61202308和61202308)和吉林大学的基础研究项目(450060481098)。这部分工作是支持中国国家基础研究计划(973)资助下2009 cb219301,中国国家公共利益科学研究基金会拨款201011078下,中国学术委员会和国家创新研究项目的勘探和开发油页岩格兰特OSP-02和OSR-02之下。作者欣然承认匿名评论者的努力工作和良好的耐心。