文摘
参数的空间分布,描述地下不知道任何合理水平的精度需要解决管理pde通过多孔介质多相流或物种的运输。本文提出一种数值便宜,然而高效、准确和并行框架来预测储层参数,例如,中等渗透率,利用测量的传感器信息解决方案的阶段压力等变量相浓度、通量、地震和测井数据。数值结果给出了演示方法。
1。介绍
不确定性与地下介质的测量岩石渗透率和孔隙度等特性广为人知。确定性模型通过多孔介质多相流和运输的要求准确的估计这样的属性,因为这些影响可采储量的估计和位置,除了揭示地下介质流动特性在不同注入场景。现代钻井工具经常传感器安装在储层的战略位置。专门的传感器能够测量分辨率高的地方,流体和岩石属性(1,2]。这些进步与4 d地震研究显示巨大的潜力减少延时不确定性与储层特性有关。同时新的随机优化和统计学习方法正在成为有前途的工具来确定重要的测量数据之间的相关性和响应除了制定最优的油气藏勘探计划(3]。在这部作品中,存在大量的实现之前未知的数据(即。估计,例如,地震研究)。然后进行评估和采样分辨率固定使用一个并行版本的SPSA [4(同步扰动随机逼近)算法。多层次的方法,耦合神经网络引擎,提高解决方案通过计算敏感性附近的最有前途的解决方案是在(5,6]。
假设一组实现,,给出的储层属性(例如,渗透率),其中每个,网格元素的数量。利用小波分析等方法(7)或主成分分析(PCA)方法(8,9),可以确定一个减少的基函数集多数变异性的特点。在这部作品中,采用PCA方法。然后,让实现的集合表示的矩阵,由 进一步,让经验意味着给予通过 接下来,我们的意思是表示数据的偏差,给出的
在PCA方法,协方差矩阵需要的数据的偏差的意思。的协方差矩阵 因为每一个实现大致上是等可能的,(1.4),可以进一步减少协方差的表达式。因此,协方差矩阵是对称的正定。因此,它可以计算的特征分解和相关的特征值如下
在(1.5),矩阵的特征向量和对应的特征值。让按降序排列。然后每一个实现都可以表示所需的精度水平的线性组合特征值/向量对()。事实上,自是对称的除了正定,特征向量的是正交的,因此,(1.5)可以用orthormal特征向量来表示。在这种情况下,特征值与奇异值。然后,一个众所周知的结果可以从线性代数,重申对这特殊情况没有证据。
定理1.1。假设是一个矩阵的奇异值。然后对任何的矩阵是最好的“秩-“近似弗罗贝尼乌斯的规范,也就是说,的最小值在哪里。
在定理1.1回忆,弗罗贝尼乌斯规范(经营者规范)的矩阵是由。另外,请注意,表示外部产品(有时也称为“张量积”)的向量和。因此,这个定理是保证相对应的减少基础第一张成的子空间特征向量是最好的“等级”选择。换句话说,它可以确定系数这样,寻求可以表述为“true”属性在子空间,。因此,系统的维数大大减少。系数实际上是由最小化目标函数,使用SPSA方法,在以下部分中描述。
2。同步扰动随机逼近(SPSA)
考虑的问题找到根,问题的,,在那里被假定为一个可微的损失函数加权,时间和space-integrated误差之间的观察测量(阶段的压力、浓度、流量、地震旅行时间和测井数据)和计算的解决方案在某些合适的规范。在这部作品中,表达式的形式
几个条款(2.1用准确的术语),写,值得一提。的函数表示感兴趣的任何属性的计算,这是一个函数的。所有这些属性的集合用。在这个工作中,对两相流的情况下(特别是石油水模型),在那里表示压力(油)阶段,表示(油)相浓度,表示测井数据(包括油井井底压力,油水比例根据的那种),通量和表示阶段表示地震旅行时间。由此可见,右边的(2.1)的函数。的上标表示测量数据,而没有上标表示计算解决方案。该指数表示的时间即时测量和记录是一个空间和时间加权函数的财产吗分配基于优先级和相关性在太空即时在给定的时间和位置。最后,时间瞬间的数量吗当数据测量和记录表示这样的测量之间的时间间隔。
在这个问题上,与在未知的膨胀系数(渗透率)向量节中描述1。让表示的估计在迭代。然后,SPSA算法的形式 在哪里是一个同步扰动、随机梯度的近似定义如下。让是一个向量组成的使用二项分布随机生成的值,也就是说,令人满意,。然后智慧是定义的中心差分方程(组件)
从(2.3),很明显的方法是非常便宜,因为它只涉及两个相对廉价的转发实现(或模拟)为每个迭代更新估计财产。在这里单调,减少序列积极标量的选择根据规定的方法4]。的相关公式 在哪里,,,,是正实数满足吗 这可以确保满足一些技术条件(4]这反过来需要收敛的随机梯度最陡下降梯度。的选择,,,和是在某种程度上依赖,可能需要一些实验。众所周知,和是渐近最优值,但选择较小的值,例如,和发现有效地练习。一个共同的建议(4)是设置等于5迭代允许的最大数量的10%。
碎片(4)表明,该方法收敛,可以视为随机模拟的最速下降法收敛率相似。方法的收敛,证明“随机”(即。在预期的感觉)。类似的证明也可以发现在10]。出于完整性的考虑,提出了证据的基本步骤来表明随机梯度的期望等于实际的梯度。因此,可以预期,该方法将收敛速度等于最速下降法。
定理2.1。随机梯度的期望SPSA方法等于真正的梯度。
证明。一个标准的收益率之扩张 同样的 减去(2.7)(2.6),然后重新排列产生的条件和忽略高阶项,收益率 接下来,定义的倒数作为 然后,从(回想一下,),它遵循 从(2.10),它遵循的随机梯度(2.3)可以写成 然后,使用(2.8)(2.11)的收益率 然后给出了随机梯度的期望 观察到的形式矩阵右边的2.13)是由 在(2.14),请注意,对于任何,唯一的价值可以是1。因此, 另外,由于和是独立的随机变量(当吗),它遵循 从这个,它也遵循 在哪里表示单位矩阵。应用(2.14)- (2.16)(2.13)的收益率 这是期望的结果。
3所示。一个平行的SPSA算法
在本节中,一个平行的SPSA算法描述运行多个实例的基本SPSA算法,一个在每个处理器。这有助于提高扩大搜索空间的融合。数值测试最大256个处理器上执行各种具有挑战性的问题。有时,趋同是在只有2或3的迭代中获得的。每个处理器都有自己的拷贝向量(即。,the coefficients of the natural logarithm of permeability field), represented by say,。随机向量在每个处理器生成,并且是其他处理器上的不一样。这很容易通过使用不同的种子在每个处理器的伯努利随机数字生成器程序,可以发现,例如,在[11]。因此每个处理器也有一个随机梯度和更新的副本根据(2.3)。
图1显示了平行SPSA算法的流程图为单个SPSA迭代步骤。大部分的步骤图都是不言而喻的。的上标在代表了处理器ID和是处理器的总数。主要的步骤需要描述的是“所有收集的意思/分钟”。两种方法实现从每个处理器和步骤——“说”和“最小值”的方法。“的意思是”方法,顾名思义,更新后的向量,广播给所有处理器为下一次迭代只是处理器更新的均值,,也就是说, 再次在“最小值”方法,顾名思义,首先处理器最少的目标是识别。换句话说,该指数的处理器,说,首先是定义 然后向量的值在处理器为下一次迭代广播给所有人吗
均值方法观察到更稳定和健壮的最小值的方法,虽然快,有时表现出的倾向会陷入局部最小值。每个框与文本”运行IPARS . .“在图的流程图1是一个向前奔跑的油藏模拟器IPARS [12)与渗透率的价值从当前价值的微扰计算向量,(即。,left or right perturbation). It is also noted that in practise, the implementation takes the components of在每个处理器的系数在的地方。(即。,natural log of permeability instead of permeability), since the permeabilities can vary by several orders of magnitude in most real-world problems. The permeability然后可以很容易计算的使用一个指数transormation。
4所示。数值结果
本节给出了两个例子。在第一个示例中,2 d异构渗透率场来自第十SPE项目(13是用来测试并行匹配实现参数估计和历史。第二个例子同样决定了不同渗透率场和执行历史匹配的高端版本合成“布鲁日”字段(14测试用例。
对于测试,基函数首先使用示例实现(参见生成部分1)。总共8基函数用于渗透扩张的第一个例子,一个各向同性渗透率字段。共有10个基函数为每个方向(即,,,第二个例子)是假设(这是一个nonisotropic)。这两个示例使用两阶段水文(油和水),模型为基础模型IPARS执行历史上匹配和参数估计。是指出IPARS可以处理一般的多相使用各种离散化方法和成分流问题。选择的原因是,逆建模框架目前仅支持IPARS的单相和两相模型。这两个问题都是在各种并行平台上测试包括Bevo2和骑警linux集群在得克萨斯大学奥斯汀分校和蓝色基因簇,IBM。
4.1。示例1:传感器测试
在这个例子中,目标是执行历史匹配和估算渗透率场(假设一个已知的“真正”的渗透率字段)。知识的“真正”的渗透率场只能验证最终答案并不是必需的(实际上是未知的)练习。没有这种假设,平行SPSA实现可以保证目标函数是最小化,但这并不一定意味着得到目标是(独特的)真正的渗透率字段。在练习中,目标函数可以有若干个局部最小值,因此重要的是要确保该算法不仅最小化目标函数,但它也收敛于“真正”的渗透率。
在这个例子中,不同的目标函数组合基于不同传感器组合测试(通过激活或体重的功能才会安静下来在(2.1))。问题模拟石油天然气在IPARS非混相模型利用水文模型。这是通过把输入,油相的实际“气相”和分配气体的性质。同样,(在输入被看作是实际的“油相”。那么油相(实际上是“气”)注入水(实际上是“石油”)。虽然这听起来可能令人困惑,是很常见的在油藏模拟重用现有两到三相代码解决问题他们可能没有被设计为在上下文。完整的属性在目标函数使用,但如前所述,一些可能会“反感”通过设置权重为零。还指出,只有生产井是包含在客观计算。表1总结了问题数据描述这个例子。
“真正的”,即系数对应于实际的渗透率是已知的,问题是首次运行使用真正的渗透性和真正的解决方案(,,,,)是在离散时间记录瞬间,所有的网格元素(或面临的通量)。地震记录旅行时间的设定的时间需要地震波旅行从水库的一端(每个元素的脸“源”)的另一端(每个元素的脸“目标”)。这些被记录为数据。然后SPSA迭代执行从一个初始猜测通过随机扰动的“真正的”。总共有1000 SPSA迭代计算了这个测试,虽然渗透率场聚集在很少(早期)迭代。
图2显示了历史匹配与时间在天,油相的(实际上,“气”)压力单位psi middepth跨截面显示的2 d水库。在这个图中,指出图2(一个)介绍了匹配获得(即当所有传感器都活跃。,重量在所有元素的位置和时间瞬间)。图2 (b)介绍了匹配获得只有生产well-sensor和传感器的解决方案(例如,,,)(即胴体的活跃。在位置m和所有时间瞬间)。图2 (c)介绍了匹配只生产well-sensor活跃时获得的。地震传感器的结果是不包括在这里,因为它被发现影响历史匹配非常insignicant数量。
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(b)
(c)
从图2,很明显,传感器不需要在每一个网格(并可能不是每次即时)这是安抚等昂贵设备自安装传感器在高面积密度可以非常昂贵的和不切实际的。图3显示了油相类似的比赛(实际上是“气”)以磅/立方英尺为单位集中在部分通过水库的middepth。再次获得一个相当不错的比赛用更少的测量。作为示范的通量匹配图4显示了历史匹配获得油相流量(实际上是“气”)在同一部分与前面的情况。
(一)
(b)
(c)
(一)
(b)
(c)
可以看出使用更少的传感器时通量匹配较差(相对于压力和浓度的质量历史匹配)。最后,生产测井数据历史匹配与时间在天的石油产量在mscf /天(实际上是“气”)和石油天然气(实际上“水煤气”)率和渗透率估算(只在上腹部和生产井传感器是活跃的)所示的数据5,6,7,分别。渗透率估算,指出传说跨越50到900 mD允许比较一致。从这些图,可以看到并行SPSA方法的收敛是非常有效的。
(一)
(b)
(c)
(一)
(b)
(c)
(一)
(b)
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4.2。示例2:布鲁日现场试验
在这个例子中,人造水库称为布鲁日字段是用于历史匹配和渗透率估算的目的。这个合成领域是由挪威研究中心,TNO 2008年2月的比较案例研究历史匹配和储层特征。它由104高档实现三维地质模型的测井数据从30井固定空间位置;前十年的生产历史;倒延时地震数据的压力和饱和度和经济参数对石油、水和折现率。更详细的描述以及字段的数据可以发现14]。这个问题是非常具有挑战性的原因有几个。
计算域是一个完整的3 d域,它是不规则的几何与地质断层,如图8。场各向异性渗透率和异构,因此,更多的未知必须估计在这种情况下。最后,还有30井驾驶这个石油的流动水问题(实际上油水!)。有10个水注水井和20油生产井,可以基于利率或井底约束关井。所有这些共同构成一个相当具有挑战性的问题。表2总结了数据描述的问题解决了。有人指出# 19(生产)是唯一指定的井底压力没有任何约束。所有其他井关井的井底压力约束指定速度。也指出,不同的注射器注入水在不同的时间(最早开始天),而生产商最早开始生产天。
(一)
(b)
这个问题的第一个挑战是在精确建模与断层的几何域。阶梯状近似再次用来治疗几何按照模板所产生的混合有限元法(15]。网格的边界框和使用适当的插值得到的属性值在角落的盒子相交与实际领域。对于所有其他点,负分配这些用于keyout元素实际上是在边界框(即不活跃。不相交的,角落实际域)。图8显示真实的和近似几何图形初始水饱和度和网格叠加。位置是由彩色球体表示,黑为生产商喷油器和橙色。
一个平行的SPSA历史匹配仿真进行布鲁日字段未知数的每个方向各向异性(即。,共有30个未知数)和一个子集()的实现。概念证明,渗透率是假定为真实的渗透率和数据(测量)来自解决方案对应的平均每隔规定时间网格元素。再次,指出,这是严格而不是一个必要的步骤,因为理想的历史匹配是唯一的此类研究目标而估算渗透率是副产品。但是假设“真正”的渗透率,允许一个测试应用的算法的有效性。同时,假设历史匹配执行20年模拟段。图10时显示了渗透率估算生产数据和解决方案(压力和浓度)测量每隔5网格元素的区域方向都包含在损失函数。传说再次跨越50到900 mD对所有迭代为便于比较。
自布鲁日形成的物理尺寸巨大,这是一个合理的磁录密度(约每4平方公里)传感器传感器的位置。可以看出,尽管最初的猜测是非常远离“目标”或“真正”的渗透率,算法“coverges”只有5 - 10迭代。修复理念,指出初始磁导率误差超过(以一个规范)和归一化目标函数值大约是0.84。10月底迭代渗透错误减少和目标函数到0.076 !最后50迭代,渗透率是减少错误和目标0.016。最后,在200年底的迭代,渗透率是减少错误而目标是减少到0.001 !这些数字是非常令人鼓舞的手边的问题。
图9显示了历史匹配与时间在天获得对井底压力(psi,显示率指定生产井# 21)和累积产量(磅/天,显示指定生产井井底压力# 19)。比赛获得了所有井都一样出色。这些并行运行64处理器上执行Bevo2集群在护林员冰以及集群(TACC,德克萨斯大学奥斯汀分校)在512处理器。
(一)
(b)
(一)
(b)
(c)
4.3。结论
提出了一种健壮和高效并行随机地下储层特征和历史框架使用传感器的测量数据匹配问题从通用多相流场景。并行算法包括触发多个SPSA(同步扰动随机逼近)情况下,一个在每个处理器使用自己的估计属性实现基于自己的种子。在每次迭代结束时,两个选项可用来计算的初始值估计财产为随后的迭代;一个基于最低目标在所有处理器和其他基于属性的均值在所有处理器。人们普遍观察到一个非常准确的历史匹配甚至在只有5到10的迭代中获得相当普遍和复杂的问题。假设如果一个“真正”的渗透,一个非常准确的渗透率匹配也达到尽可能少的迭代。算法本身证明收敛速度相当于的最陡下降法的期望。这项工作的自然延伸是支持并行域分解每个SPSA算法的“实例”,这样的方法不仅利用更广泛的搜索空间,还利用分治策略在每个搜索路径。这也许是这类问题的最优策略,可能形成未来工作的主题。
确认
本文的一部分得到了美国能源部(DoE)通过办公室的基础能源科学、科学的办公室。地下能源安全的前沿中心(cfs)是美国能源部能源前沿研究中心,建立号合同下。DE-SC0001114。作者欣然承认提供的财政支持0835745号合同下NSF-CDI DMS和能源部批准号DE-FGO2-04ER25617。最后,第一作者g . Pencheva博士和t . Wildey感谢他们的帮助与输入数据中使用第二个数值例子。