文摘

的向前和向后运动学Gough-Stewart机制表现出非线性行为。是至关重要的考虑这个非线性等一些应用程序的路径控制并联机床。逆运动学的非线性是直截了当的,本文首先研究了。然而正运动学的非线性是更具挑战性的被认为是没有解析解的正向运动学解机制。统计方法包括非线性的贝茨和瓦措施被用来调查正运动学的非线性。标准领域的概念被用来检查的非线性机制的重要性。表明该地区的长度,定义为解除线的线性近似,有重大影响的非线性机制。

1。介绍

残骸Gough-Stewart平台机制,推出的高夫和白厅(1]和斯图尔特[2),最初是作为一个普遍的六自由度(绑)机制在轮胎测试机和飞行模拟器。后来,发现各种机制应用在航空等许多行业,娱乐,健康,手术,以及最近的机床。Stewart平台是一个的六自由度并联机构,通常包括一个移动平台(这里称为上层平台)和固定平台(称为低平台),六个吊舱,6个球关节,和6个万向节如图1。

豆荚的长度的确定和第一和第二长度变化率在这些形式的逆运动学分析的基础机制。这是通过使用位置和姿态,平移和角速度,平移和角加速度的平台。

运动链的机制如图2。的pod是由向量在全球坐标系统,连接的名义位置万向节的名义位置球形接头。名义的位置th球形万向节在全球坐标系统定义的向量和,分别。

逆运动学问题的详尽讨论的机制相当简单Harib和Srinivasan3),卡里et al。4],和卡里Nategh [5]。相反,正运动学的问题并不简单。正运动学分析是关心的问题发现的位置/取向上平台的长度豆荚是可用的。

各种方法已经被应用于解决向前位移问题一般斯图尔特的机制。Raghavan [6)数值证明有最多40复数域的可能的解决方案。张和歌曲(7]给出了封闭解决这个问题,但没有实现严格的解决方案。Husty [8)产生一个40 th-degree一元多项式通过中间多项式的最大公约数学位320人。Innocenti [9)获得一个解决方案从两个56 th-degree获得各自的单变量方程矩阵。Wampler进行正向运动学的分析机制使用Soma坐标(10]。Dhingra et al。11)使用Grobner-Sylvester混合方法获得的40 th-degree多项式西尔维斯特的矩阵由68 Grobner基计算方程。李和垫片(12)开发了一个消元法直接得到一个一元多项式的40度矩阵。后来,他们改善透析消除算法13],西尔维斯特的矩阵的大小导致40 th-degree单变量方程已经减少。黄等人提出了一个简洁的代数消元算法解决封闭的正运动学Stewart平台。的基础上,提出了代数方法,正运动学问题简化为求解一个一元多项式方程的程度最多14。14度的多项式是来自的行列式西尔维斯特的矩阵,相对规模较小,没有保理或派生的最大公约数14]。氮化镓等人提出了一个算法来直接获得40度单变量方程构造西尔维斯特的矩阵分解或派生的最大公约数15]。回族等人提出了一种多变量多项式方程组对动平台的位置和姿态参数(16]。

尽管众所周知,最多40正向运动学问题的可能的解决方案存在一般的残骸,只有一个解对应的实际构成物理机器(3]。两种最常见的方法找到直接的实际解决方案(i)使用一个迭代数值过程或(ii)使用额外的传感器。Harib采用数值迭代技术,基于牛顿迭代法(3]。Bonev和Ryu提出一个方法来解决直接运动学的问题一般残骸额外使用三个线性传感器(17]。

正运动学和逆残骸表现出非线性行为。逆运动学pods的长度不改变线性和线性路径乘坐上平台。正运动学,豆荚驱动线性上层平台沿着一个非线性路径。这使得路径控制和插值函数Stewart-based机比传统机床工具变得更加复杂。郑et al。18]研究路径控制的小说5自由度并联机床。他们证明了非线性的正运动学和逆并联机床。基于运动学的非线性机制所引入的误差,他们提出了一个新颖的插值算法,然而他们没有复杂的非线性机制。比尔的首次认真尝试,以测量非线性。他提出的四个措施非线性(19]。这个问题已经解决在一些研究工作。格特曼和迎面来的船表明,比尔的措施往往预测模型将线性即使存在相当大的非线性行为20.]。盒子里提出一个公式估算偏差在LS估计21]。使用模拟研究,Gillis和Ratkowsky [22]发现,这个公式不仅预测偏差在yield-density模型正确的数量级,但也给准确的模型的非线性行为的程度。贝茨和瓦发达新措施基于曲率的几何概念的非线性(23]。他们使用的最大相对内在和parameter-effects解轨迹的曲率估计非线性的程度。他们的预测显示,直接和平均间隔参数线在参数空间到平面解轨迹的切线,在一般情况下,既不直,也均布。他们之间的关系建立了一个非线性和比尔和盒子的偏见表情。他们解释说,因为比尔的措施产量平均非线性,他们倾向于低估了真正的非线性。贝茨和瓦的措施研究非线性的非线性发现各种应用程序。

从某种程度上来说,本文的作者都知道,很少有人注意到残骸的非线性分析。这是特别重要的昆虫机床的非线性机制大大增加了插值算法需要深刻的分析。并行路径控制机制的问题最近被解决在一些研究中,例如[20.,24]。作为研究的一个延续,昆虫机床,作者调查了残骸的非线性机制采用非线性的贝茨和瓦措施。

2。运动学的残骸

逆的简洁公式,给出了正运动学的残骸在本节的后续使用非线性分析。向量在图2,th pod的长度可以写成: 在哪里是向量代表的位置上平台的中心点;的位置向量th球形关节局部坐标系中定义的,这是转变成全球坐标系统通过使用旋转矩阵被指定的欧拉角定义,,;的位置向量全球坐标系统中定义的万向节。图3说明了当地坐标系统和采用演示欧拉角。

如图3,坐标系统是旋转设在角,从而获得。后者坐标系旋转的角生产。的旋转周围的角生产坐标系统。

上层平台的位置和姿态可以表示为一个6维向量。的速度th pod在逆运动学可以通过差异化(2.1)关于时间和两边乘以(单位向量th pod),如下所示: 在哪里和角和线速度上层平台的全球坐标系统定义,分别。当地的角速度定义为的变化率欧拉角可以转化为全球坐标系统使用变换矩阵如下: 它是有用的代表(2.3)如下: 在哪里 在哪里速度雅可比矩阵。时间导数速度雅可比矩阵的逆向运动学在本文稍后将使用残骸的非线性分析。它可以推导出如下: 在哪里是角速度矢量的th豆荚中定义全局坐标系统。

正运动学的位置/姿态的确定问题上平台的长度豆荚导致求解一组非线性方程。这些方程可以通过使用牛顿迭代数值迭代的方法解决。上层平台的平移/角速度可以获得正运动学的变化率豆荚的长度。它可以写(2.5), 在哪里 时间导数被用于非线性分析可以得到如下:

3所示。运动学非线性

3.1。非线性的逆运动学

本节所示,正运动学和逆残骸是非线性的。逆运动学的非线性可以方便地验证如下。

SPM据说是非线性的逆运动学当且仅当一个线性关系的向量空间上平台转化为一个非线性关系向量空间的关节。上层平台的中心点都要遵循一个线性路径如下: 替换到(2.2)的收益率 在哪里,,的组件吗th球形关节向量,,分别为轴的全球坐标系统;和,,的组件吗th万向节向量,,分别为轴的全球坐标系统。

很明显,(3所示。2)是一种非线性的关系,这意味着非线性变换应该期望通过逆运动学的残骸。

3.2。非线性的正运动学

正运动学的非线性不但是直接明确。非线性的贝茨和瓦措施用于研究在本节正运动学的非线性。

贝茨瓦介绍了相对曲率的概念,说明相对曲率可以分解为内在曲率和parameter-effects曲率(23]。seb和野生显示,因为他们的措施规模的自由,他们可以用于不同尺度的数据和参数25]。他们的方法适用于考虑非线性回归模型的期望表面附近的一个点,从而验证模型的线性近似。为了测试线性近似的有效性,他们建议比较内在和parameter-effects曲率在%的信心地区统计显著性水平和吗和分子和分母的自由度是在分布表。

贝茨和瓦提出的方法也适用于非线性的正运动学分析残骸自正运动学地图参数空间的线性关系(这里称为关节空间,的子空间)成非线性关系的解决方案空间(这里称为上层平台空间,的子空间)。虽然没有正运动学模型存在的残骸,它将显示其第一和第二衍生品可以通过使用正运动学关系。

正向运动学关系数学表示如下: 在哪里向量长度,。假设除了奇异点和,因此,连续的两次可微的附近的吗。值得提到的奇异性分析的残骸几十年来吸引了许多研究者的关注。有一个有限数目的奇异点的机制在工作区中是不可逆转的,不存在运动学不会产生一个非平凡解。在这种情况下,既不是连续或可微的奇异点。这个函数可以在附近的任何一组近似圆荚体长度指定的吗利用泰勒级数的前两项,如下: 在哪里的转置和 前面讨论的运动学关系推导和。分化(3所示。3)关于时间 比较(3所示。6)和(2.8)表明, 在哪里是一种元素的位于th行和th列的矩阵。可以在任何时候从计算(2.10)。现在考虑一个线性关系(定义为关节空间,的子空间),如下: 在哪里 映射在期望表面给出了曲线称为解除线如下(25]: 贝茨和瓦26)考虑reparametrizing模型,然后旋转的轴用一个正交矩阵获得的样本空间矩阵的分解。通过这种方式,他们介绍了制定曲率的组件。他们进一步提出一个算法最大化曲率和评估非线性通过比较它与所谓标准的球面的曲率(25]。他们的算法在附录中。

解决方案的最大曲率轨迹残骸是依赖于上层平台的位置和姿态。值得注意的是这两个和计算雅可比矩阵及其导数,两者都是上层平台的位置和姿态的函数。

为了研究在整个工作空间的非线性机制,不同地区在解决方案轨迹。区域被定义为的线性近似线取消。解除行上一个点的区别,该地区生产的所谓运动学误差根源残骸的正运动学的非线性行为。区域的不同位置/取向上平台,连同他们的大小和方向。可以体现一个典型地区上层平台的位置/姿态向量开始,指定的指定的长度如图,其方向4。为了简单起见上层平台被认为具有相同的方向该地区。

学习的效果和曲率,选择不同层次提出了表1。为了简单起见,上层平台的位置和姿态,这两种都包含在、分离和指定的和,分别。

获得的最大曲率的排列,,水平,说明图5。

很明显,对曲率有最大的影响。它增加了曲率也增加。然而有明显的交互之间的位置,方向,和。

贝茨和瓦特建议比较的最大parameters-effect曲率和曲率%获得的置信区域。这里的数据图5确定为和。因此, 这表明线性假设应该被拒绝在0.05水平的意义,如果曲率图5超过0.5923。

阐述的影响,,曲率,情节的主效应和交互效应如图6。主要影响的情节如图7。

图7说明了曲率的平均值的水平程度的一个指标,它可以意味着效果在曲率。从这个图可以看出,曲率增加迅速增长,特别是对毫米。检查的贝茨和瓦测量非线性,人物7是围绕标准球体的半径的值如图7。

图8揭示了这一事实毫米,曲率半径小于相应的标准范围意味着非线性变得重要(毫米)机制表现出非线性行为。而对于它大致可以表示线性行为的机制。交互图的位置和方向如下所示。

图9表明对毫米的非线性行为的机制可以忽略的水平位置和方向基于贝茨和瓦的非线性。

上述讨论导致下面的语句作为一个经验法则的值毫米的机制,如图1展品线性行为。

4所示。结论

提出了非线性分析残骸正向和逆向运动学和考虑在这个调查。定量考虑非线性的贝茨和瓦测量的非线性机制。贝茨和瓦配方开发的正运动学机制。暗示最显著的影响是非线性的机制是解决轨迹的区域的大小,结果表明,非线性机制是可以忽略不计的如果这大小不超过0.5 (mm)。这样的结论具有十分重要的意义在昆虫机床的插值曲线。这是证明了非线性行为的机制是由于parameter-effect曲率和贝茨瓦分类。

附录

贝茨和瓦措施的非线性

贝茨等人提出了一种新的算法计算的内在和parameter-effects曲率(25,27]。这个算法(25这里]采用基础残骸的正运动学的非线性分析。他们证明,再参量化模型的使用一个正交矩阵获得的矩阵的分解减少了公式总结了以下几点: 在哪里和采样点的标准偏差。上标表明目前分析的切线方向。parameter-effects曲率的方向吗。贝茨和瓦建议一个算法最大化关于简要介绍如下。

根据该算法,和计算。然后,是安排在对称的存储模式(ssm),其中包括nonredundant元素。应该注意的是, 矩阵定义如下: 这是后来新除以每个元素。分解矩阵和旋转减少了一个上三角形式。的组件矩阵,和矩阵计算如下: 在哪里是排列矩阵。然后计算和,和形成如下: 最后,通过最大化对方向矢量,计算如下: 在哪里d₀的单位矢量的方向吗是最大化。计算如下:

为了找到和最大化关于在(要求寄出),seb和野生建议以下算法[25]。初始值的任意选择,计算如下: 如果然后计算如下: 重复该过程;否则被用来计算。