粘接贴片对悬臂板气动弹性性能的影响

摘要

近年来，许多学者对压电作动器对颤振板的振动抑制进行了研究。为了获得最大的可控性，压电贴片的优化布置成为许多研究者关注的焦点。虽然粘接片的质量和刚度特性可以改变颤振板的气动弹性性能，但在优化过程中很少考虑上述参数的影响。本文研究了超声速流动中粘接补片对悬臂板气动弹性性能的影响。为此，研究了系统的临界动压力和极限环振荡。采用Von Karman盘理论和一阶活塞理论对系统进行了数学仿真。结果表明，当粘接块质量比较小时，系统临界动压会发生显著变化，其中变化的主要原因是粘接块质量的增加。当贴片放置在板的前缘时，动态压力的最大上升幅度得到。结果表明，粘接压电片的质量和刚度特性对颤振板的气动弹性性能有很大影响。因此，必须将这些参数作为压电作动器优化配置的有效因素。

1.介绍

近年来，智能材料和结构的性能优化问题吸引了众多研究者的关注。颤振翼板是飞机和导弹机翼和膜元件的理想模型，许多研究都集中在颤振翼板和膜组件的最佳减振研究上。为了达到这个目标，一个挑战是获得压电驱动器的最佳位置。因此，对粘接作动器的优化配置进行了大量的研究。大多数研究人员使用基于可控性的优化方法来最大化系统可控性指标(例如，参见[1- - - - - -4]). 尽管在特定的贴片位置，粘结贴片的质量和刚度特性可以显著改变颤振板的气动弹性行为，但很少有研究人员在优化过程中考虑系统动力学的变化。

南等人[5]的优化方法考虑了块质量和刚度效应，在优化目标函数中加入闭环阻尼比作为设计约束。理查德和克拉克[6]通过引入一个度量，间接地将补片质量和刚度效应纳入其优化程序，该度量给出了补片质量和刚度对系统影响的粗略预测。

根据我们的调查，文献中没有关于补片位置对气流作用下板的动态响应影响的研究。本文着重研究了粘贴补片对悬臂板临界动压和颤振板振幅的影响。

冯·卡门平板理论[7]用于结构的数学模拟，与高阶板理论相比，大大减少了计算工作量。Amabili和Farhadi最近的一项研究[8]结果表明，对于各向同性和多层复合材料板，如果由Von-Karman板理论计算的固有频率相同，则由Von-Karman板理论预测的非线性振动行为与由高阶板理论预测的非线性振动行为几乎相同。值得一提的是，如果横向剪切变形可以忽略不计，则由Von Karman理论计算的固有频率与高阶板理论计算的固有频率非常一致。由于我们使用的是一块薄悬臂板，并且只有一块厚度比很小的贴片与该板粘合在一起，因此我们的调查就是这种情况。在本研究中，嵌入式压电驱动器被简单地建模为常规结构材料，其压电特性被忽略。

采用一阶板理论对空气流动压力进行了建模。这种空气动力学理论对于无旋转的无粘性空气流动是有效的，并将我们的研究限制在超音速区域。此外，凯恩和莱文森的动态方法[9，得到非线性运动控制方程。结构的临界动压力的确定忽略了控制方程中的非线性项。为了获得最大临界动压，将贴片放置在不同位置，计算临界动压。然后，研究了粘接贴片对颤振板极限环振动的影响。结果表明，将质量比较小的贴片粘接在悬臂板上可以有效地改变悬臂板的临界动压和极限环振荡幅值。事实上，通过在板上放置一个补丁，板的振动模态形状就会改变。因此，振动模态之间的气动耦合被放大或抑制。

目前的贴片布置方法是基于系统可控性优化的。在这些方法中，假设斑块的结构特性对系统动力学的影响可以忽略，并简单地研究了系统的可控性指标。然而，这种说法不适用于悬臂板受横向超音速流动。

虽然研究人员的主要目的是抑制颤振板的振动，提出的结果建议利用混合方法来稳定上述系统的振动。这些结果表明，存在找到非最优可控性指标的驱动器位置的可能性;相反，系统的气动弹性特性被修改，因此所需执行器的努力减少，因此整体控制性能大大提高。

2.控制方程

数字1显示具有长度的悬臂板和厚度受到横向超音速气流的影响．这块板嵌入了一块大小不一的压电片和位于坐标(，）.为了保证横向流动的均匀性，考虑一个折流板(图1 (b)）.

根据凯恩动态方法[9时，运动控制方程表示为: 在哪里，和分别为广义惯性力、广义内主动力和广义外主动力的矢量，定义如下： 在哪里表示广义坐标向量的时间导数而和表示通用点的速度和加速度矢量分别为,是板块的横向速度。此外是空气动力压力和为结构的应变能。

速度和加速度矢量可通过以下方式获得： 在哪里，和表示沿断层的背板变形-，-，及相互重合,分别，和表示相应的单位向量。

结构的应变能通过以下公式计算： 在哪里C为材料刚度矩阵，是应变分量的矢量，和V为结构的总体积。

根据冯·卡门板理论，应变场的分量由下式得到: 应变矢量形成如下: 一阶活塞理论用于获得气动压力。该理论用于马赫数大于1.6的稳定流，并确定空气动压力如下[11]： 在上式中，和-分别表示空气密度和自由流马赫数，和无因次数的定义是．

使用里兹法，位移场分量可近似如下： 在哪里，,时变系数,和是任意的函数,机械手函数是否满足几何边界条件，，和米₁，米₂，米_3.在近似值函数中使用的术语数是多少x和y方向,分别。对于边缘悬挑的板块，则机械手函数为，．为方便起见，将上述假设的位移函数表示为矩阵形式: 在哪里N为形状函数矩阵，问广义坐标是向量吗，和是由(2．8）.

引入下列运算符矩阵: 及取代(2．3）， （2．4)和(2．7) (2．2)，广义运动方程推导如下： 在哪里，和分别表示为质量矩阵、气动阻尼矩阵和气动刚度矩阵，，和分别代表线性、二次和三次刚度矩阵。这些矩阵的介绍如下: 在(2.12) - (2.17)，使用以下刚度矩阵和算子矩阵： 在(2.12) - (2.15)，引入的积分计算的总体积，包括板的体积和补丁的体积。

3.临界动压力

从(2.11)，得到线性方程如下: 假设广义坐标向量为调和()，这个方程简化为一个常规的特征值问题: 其中，对应的特征值依赖于流动特性，一般形式为复值: 在上式中，规定振动协调和显示阻尼率。

在气动弹性力学中，系统的行为通常是用无因次动压力来讨论的，给出为 在哪里和分别为板的抗弯刚度和板的厚度，和表示板刚度矩阵的第一个元素。

求解特征方程(3.2)对于不同的无因次动压力值，可以观察到，对于较小的，板阻尼率为负，表明板振动逐渐衰减，系统稳定。另一方面，阻尼率值当动压力超过临界值时，板块振荡变为正，板块振荡变为不稳定区．在实际应用中，控制方程中非线性刚度项的存在将振动幅值限制在一个有界值。

4.数值结果

本文将幂级数用作任意函数(和）.为方便起见，取不同方向的近似级数为同一阶(和).根据以下无量纲值得出所示结果： 这里是特征矩阵，，，，和用Mathematica软件通过精确解析积分计算。

表格1对简支方板的临界动压力进行了收敛性研究，并将计算值与问题的精确解进行了比较[10]．此表表明，具有多项式逼近级数的阶数时，计算得到的临界动压以足够的精度收敛到精确解。

为了研究贴片布置对临界动压的影响，考虑悬臂板，其量纲值如下: 将下列尺寸的矩形贴片粘在板上: 本文将自由流马赫数设为而空气板质量比为．

铝基板考虑(和)，考虑两种材料，即铝和PZT5H。所采用的材料系数见表2［12]．

将贴片粘接到悬臂板上，根据贴片的位置，通过某些值修改质量和刚度矩阵，从而改变临界动压。虽然基板的模态振型相对于基板中心轴是对称的，但贴片位置对临界动压的影响是不对称的。这种不对称是由流体单向不对称流动造成的。数据2（a）和2（b）分别展示了带有铝贴片的悬臂板和带有压电贴片的悬臂板的临界动压随贴片位置的变化。根据补丁尺寸(4.3)和斑块密度(表格2和3.)，补片与板质量比为为铝贴片，为0.03为压电贴片。然而,从图2（a）结果表明，这些补片的放置可大大提高基板的临界动压。计算结果表明，铝膜片的临界动压最大值比基值大约32%，压电膜片的临界动压最大值比基值大约50%。这意味着将一个质量比相当小的贴片与悬臂板绑定在一起，会显著改变悬臂板的动态特性。数字2（b）表明，当贴片在前缘自由角处粘接时，临界动压增量最大(即:）.

为了评估块密度和刚度对临界动压的影响，分别考虑了两个具有非真实材料特性的压电片:一个质量减小(比原始值小90%)，另一个刚度减小(比原始值小90%)。数据3（a）和3（b）分别演示质量降低的补片和刚度降低的补片的临界动压随补片位置的变化。从这些图可以很容易地得出结论，与刚度相比，补片密度对临界动压力的影响更为明显。

为了优化压电片的尺寸，研究了临界动压随片尺寸的变化规律。结果表明，对于不同的补片尺寸和长径比，最大临界动压的最佳位置与板前缘的自由角相匹配。此外，临界动压随贴片位置的变化规律与图中相同2（b）．最大临界动压与贴片尺寸比如表所示3.．从表中可以看出，通过设置patch长度比()的固定值，并增加补丁宽度比率()，临界动压最大值先增大后显著减小。另一方面，通过固定补丁宽度比()时，临界动压最大值随贴片长度比()增加并收敛到边界值。

在续集中，一个简单的支持板与尺寸，,被认为是。压电贴片的尺寸比见(4.3)连接到板上。在这种情况下，临界动压随贴片位置的变化如图所示4．从图中可以看出，对于简支边界条件，在板上放置压电贴片将使临界动压力最大增加10%。这表明简支板的气动弹性特性对嵌片的敏感性较低。因此，可以忽略斑块布局对系统动态的影响，采用基于可控性的优化方法来获得最优的斑块位置。

5.粘接贴片对极限环振荡的影响

根据线性气动弹性理论，当动压力一次增加时，板的振动在开始时是稳定的，但在通过一个临界动压力后，不稳定性出现，振幅趋于无穷大。在实际应用中，系统控制方程中非线性项的存在会导致系统的极限环振荡问题。为了研究嵌入贴片对极限环振动的影响，将压电贴片粘贴在自由角的板前缘，获得最大临界动压。由于非线性分析需要大量计算，因此本节采用降阶模型。为此，首先省略控制方程中的非线性项，定义线性方法的特征向量。然后，使用有限数量的面内和面外振型近似板变形场，如下所示[13]： 在哪里时变系数,为所选平面内、平面外模态振型对应的特征向量，为原系统对应的振型矩阵，模态振型矩阵是否与简化模型对应，和为简化模型的广义坐标向量。

利用上式中提出的新的近似级数，得到简化模型的控制方程如下: 由(5.2)使用(2.12) - (2.17)，取代原有的模态振型矩阵与简化模型对应的一个(即，）.

为了选择合适的近似级数和合适的面内模态和面外模态数目，考虑了一个方形悬臂板。平板在动压作用下承受超声速流动极限环的幅值是在无量纲坐标中测量的．龙格-库塔直接时间积分用于此分析。对不同选择的模态数和逼近级数进行临界动压收敛性研究，如表所示4．在此收敛性研究中，假定多项式逼近级数的阶和方向是一样的(）.此外，还假定所选的若干面内模态和面外模态振型相等(）.从这个表中可以看出，使用多项式级数的阶以及选定的模式编号得到的解具有良好的收敛性。此外，使用更多的应用模态振型可能会干扰收敛(例如，）.

数字5给出了当前分析发现的极限环振幅与[的极限环振幅的比较。14]．这个比较说明了所得结果之间的一些差异。由于[中的模态振型数目14]如果相当小且忽略了面内惯性力，则结果中的一些差异是合理的。

为了研究贴片位置对极限环振动和振型的影响，提出了一个悬臂板，尺寸为(4.2)被认为是。对于这个盘子，我们考虑了两种情况，一种是不带补丁，另一种是带补丁，补丁的尺寸由(4.3）.选取板的自由边缘上的五个点。表格5给出这些点的无量纲坐标。与所报告的点相对应的极限环振荡幅值如图所示6，其中字母WP表示带有嵌入补片的悬臂板的情况。该图清楚地表明，在前缘的无板角上粘贴补片会延迟临界动态压力和极限环振幅的升高。

为了更好地理解模态振型变化，图中给出了极限环幅值与归一化动压的关系7. 该图显示，通过在上述坐标系中接合补片，与无补片的情况相比，极限环的振幅从前缘移动到后缘（即从点1移动到点5）时减小。这表明振动模态形状有轻微变化。很明显，振型的变化会导致气动耦合的变化。因此，板的气动弹性行为的变化是可以预期的。

6.结论

本文研究了贴片放置对悬臂板气动弹性行为的影响。结果表明，对于这种类型的板，以较小的质量比粘合贴片会显著改变临界动压力。这导致系统的动力学发生显著变化。文献综述表明，这种影响是显然，系统行为中如此重要的变化需要一些先进的方法来优化致动器的布置，除了系统被动性能改进外，还需要考虑系统可控性最小化。或者，研究人员可以探索最优被动和主动颤振控制的贴片位置并评估最合适的方法，或结合获得的结果开发混合控制方法。

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