最近,性能优化的智能材料和结构吸引了许多研究者。很多人专注于最优振动抑制的颤动的板和面板的理想模型飞机和导弹的翅膀和膜元素。对于这个目标,挑战之一就是获得压电作动器的最优位置。因此大量的作品致力于保税致动器优化布置。大多数研究人员controllability-based优化方法用于最大化系统可控性指数(例如,看到 1- - - - - - 4])。虽然在特定的补丁的位置,质量和刚度特性保税补丁可以大大改变气动弹性行为的颤动的盘子,一些研究者认为变化的系统动力学优化过程。

南et al。 5]占片质量和刚度的影响在他们的优化方法,包括闭环阻尼比率作为设计约束优化目标函数。理查德和克拉克( 6]包括贴片质量和刚度的影响在其优化常规间接通过引入一个度量,提出了一种粗糙补丁的影响预测系统的质量和刚度的贡献。

根据我们的调查,没有研究发表在《文学关注的效果补丁位置板块受到气流的动态响应。在本文,我们特别关注是研究保税补丁对悬臂板的关键动态压力和振动振幅的颤动的盘子。

卡门板理论( 7)是用于结构的数学模拟,大大减少计算工作相比,高阶板理论。最近的一项研究由Amabili和哈蒂( 8]表明,各向同性和多层复合钢板,非线性振动行为预测·冯·卡门的板理论是几乎相同的,预测的高阶板理论如果从这些理论计算出的固有频率是相同的。值得一提的是,固有频率计算了卡门理论是在良好的协议与高阶板理论如果横向剪切变形可以忽略不计。因为我们使用薄悬臂板和只有一个补丁一个小板厚度比连着,这种情况下也适用于我们的调查。在这项研究中,嵌入压电致动器是建模为传统结构材料和压电属性将被忽略。

气流压力通过一阶板理论进行建模。这空气动力学理论是有效的无旋无粘性的空气流动和限制我们的调查超音速区域。此外,凯恩和莱文森的动态方法( 9)是用于获得运动的非线性控制方程。关键结构的动态压力是决定忽略非线性控制方程。为了获得最大的临界动压,补丁被放置在不同的位置和动态压力计算至关重要。然后,保税补丁对极限环振荡的影响板飘扬的调查。结果表明,焊接一个补丁和一个小质量比悬臂板能有效地改变其关键的动态压力和极限环振荡振幅。事实上,通过将一块板,板的振动模式的形状变化。因此,空气动力放大或抑制振动之间的耦合模式。

目前贴片位置的方法基于系统可控性的优化。在这些方法中,假设补丁的结构特性对系统动态的影响是可以忽略的,只是系统可控性指数调查。但是这个声明是无效的悬臂板受到横向超音速流动。

虽然调查的主要目的是抑制振动的颤动的盘子,结果表明利用混合方法,提出振动提到系统的稳定。这些结果表明,有可能找到致动器位置可控性指标不是最优的;相反的空气弹性变形的特征系统被修改,需要执行机构努力减少,因此整体控制性能大大提高。

图 1显示了悬臂板的长度 一个 和厚度 b 受横向超音速流的速度 V ∞ 。这个盘子是嵌入压电片尺寸 一个 P 和 b P 位于坐标( x P , y P )。保证横向流的均匀性,困惑板(图 1 (b))。

根据凯恩动力学方法( 9,运动控制方程表示为: (2.1) F * + F - - - - - - F e x = 0 , 在哪里 F * , F , 和 F e x 向量的广义惯性力量,广义的内部活跃的力量,和广义外部积极力量,分别定义如下: (2.2) F * = ∫ V ρ ∂ v P ∂ 问 ̇ · 一个 P d V , F = ∂ U ∂ 问 , F e x = ∫ V ∂ w ̇ ∂ 问 ̇ P d 一个 , 在哪里 问 ̇ 代表时间导数的广义坐标向量 问 而 v P 和 一个 P 对速度和加速度向量表示的通用点吗 p 分别为, w ̇ 侧板的速度。此外, P 气动压力和吗 U 结构的应变能。

可以获得速度和加速度向量如下: (2.3) v P = u ̇ 0 e 1 + v ̇ 0 e 2 + w ̇ 0 e 3 , 一个 P = u ̈ 0 e 1 + v ̈ 0 e 2 + w ̈ 0 e 3 , 在哪里 u 0 , v 0 , 和 w 0 表示的中腔变形 x - - - - - -, y - - - - - -, z 相互重合,分别 e 1 , e 2 , 和 e 3 代表相应的统一载体。

结构的应变能计算 (2.4) U = 1 2 ∫ V ε T C ε d V , 在哪里 C材料刚度矩阵, ε 向量应变分量, V是总量的结构。

根据卡门板理论,应变场的组件是通过以下方程: (2.5) ε x x = ∂ u 0 ∂ x + 1 2 ( ∂ w 0 ∂ x ) 2 - - - - - - z ∂ 2 w 0 ∂ x 2 , ε y y = ∂ v 0 ∂ y + 1 2 ( ∂ w 0 ∂ y ) 2 - - - - - - z ∂ 2 w 0 ∂ y 2 , ε x y = ∂ u 0 ∂ y + ∂ v 0 ∂ x + ( ∂ w 0 ∂ x ∂ w 0 ∂ y ) - - - - - - 2 z ∂ 2 w 0 ∂ x ∂ y , 形成和应变向量如下: (2.6) ε = ( ε x x ε y y ε x y ] T 。 一阶活塞理论,得到气动压力。这个理论是用来稳定流动马赫数大于1.6,并确定空气动压如下( 11]: (2.7) P = - - - - - - ρ 一个 V ∞ 2 β ( ∂ w ∂ y + 1 V ∞ ( 米 ∞ 2 - - - - - - 2 米 ∞ 2 - - - - - - 1 ) ∂ w ∂ t ) 。 在上面的方程中, ρ 一个 和 米 ∞ 表示空气密度和自由流马赫数,分别 β 是一个无量纲数定义为 β = 米 ∞ 2 - - - - - - 1 。

用里兹法,位移场组件可以近似如下: (2.8) u 0 = ∑ j = 1 N 1 ∑ 我 = 1 米 1 一个 我 + ( j - - - - - - 1 ) 米 1 G 1 ( x , y ) Φ 我 ( x ) Ψ j ( y ) , v 0 = ∑ j = 1 N 2 ∑ 我 = 1 米 2 b 我 + ( j - - - - - - 1 ) 米 2 G 2 ( x , y ) Φ 我 ( x ) Ψ j ( y ) , w 0 = ∑ j = 1 N 3 ∑ 我 = 1 米 3 c 我 + ( j - - - - - - 1 ) 米 3 G 3 ( x , y ) Φ 我 ( x ) Ψ j ( y ) , 在哪里 一个 我 + ( j - - - - - - 1 ) 米 1 , b 我 + ( j - - - - - - 1 ) 米 2 , c 我 + ( j - - - - - - 1 ) 米 3 时变系数, Φ 我 ( x ) 和 Ψ j ( y ) 是任意的函数, G 我 ( x , y ) 机械手的功能满足几何边界条件, N 1 , N 2 , N 3 和 米₁ , 米₂ , 米₃ 是近似函数中使用的数字 x和 y方向,分别。悬臂板的边缘 x = 0 ,机械手的功能了 G 我 ( x , y ) = x , 我 = 1、2 , 3 。为了方便起见,above-assumed位移函数以矩阵形式表示为: (2.9) d = { u 0 v 0 w 0 } = N 问 , 问 = { 一个 b c } , 在哪里 N形状函数的矩阵, 问广义坐标向量, 一个 , b , 和 c 向量是由相应的时变系数报告( 2.8)。

引入算子矩阵如下: (2.10) H 1 = ( 1 0 0 ] , H 2 = ( 0 1 0 ] , H 3 = ( 0 0 1 ] , H 4 = ( ∂ ∂ y 0 0 ] , l 我 = H 我 N , 问 我 = 一个 我 N , 年代 j = B j N 和替换( 2.3),( 2.4)和( 2.7)( 2.2),广义运动方程推导如下: (2.11) 米 问 ̈ + C 一个 问 ̇ + ( K + K 问 + K 问 问 + K 一个 ) 问 = 0 , 在哪里 米 , C 一个 , 和 K 一个 被指示为质量矩阵,气动阻尼矩阵,和空气动力刚度矩阵,分别和 K , K 问 , 和 K 问 问 代表线性、二次立方刚度矩阵,顺序。介绍了这些矩阵如下考虑: (2.12) 米 = ρ ∫ V ( l 1 T l 1 + l 2 T l 2 + l 3 T l 3 ) d V , (2.13) K = ∫ V 年代 1 T C 年代 1 d V , (2.14) K 问 = ∫ V ( 年代 1 T C D 1 T + ( D 1 + D 2 ) C 年代 1 ) d V , (2.15) K 问 问 = ∫ V ( D 1 + D 2 ) C D 1 T d V , (2.16) C 一个 = ρ 一个 V ∞ β ( 米 ∞ 2 - - - - - - 2 米 ∞ 2 - - - - - - 1 ) ∫ 一个 l 3 T l 3 d 一个 , (2.17) K 一个 = ρ 一个 V ∞ 2 β ∫ 一个 l 3 T l 4 d 一个 。 在( 2.12)- ( 2.17),刚度和算子矩阵如下: (2.18) C = ( C 11 C 12 0 C 12 C 22 0 0 0 C 66年 ] , (2.19) B 1 = ( ∂ ∂ x 0 - - - - - - z ∂ 2 ∂ x 2 0 ∂ ∂ y - - - - - - z ∂ 2 ∂ y 2 ∂ ∂ y ∂ ∂ x - - - - - - 2 z ∂ 2 ∂ x ∂ y ] , B 2 = ( 0 0 ∂ ∂ x 0 0 ∂ ∂ y 0 0 ∂ ∂ y ] , (2.20) 一个 1 = ( 0 0 1 2 ∂ ∂ x 0 0 0 0 0 0 ] , 一个 2 = ( 0 0 0 0 0 1 2 ∂ ∂ y 0 0 0 ] , 一个 3 = ( 0 0 0 0 0 0 0 0 ∂ ∂ x ] , (2.21) D 1 = ⌊ 年代 2 T 问 1 问 年代 2 T 问 2 问 年代 2 T 问 3 问 ⌋ , (2.22) D 2 = ⌊ 问 1 T 年代 2 问 问 2 T 年代 2 问 ⋯ 问 3 T 年代 2 问 ⌋ 。 在( 2.12)- ( 2.15),介绍了积分计算总量包括卷板和补丁。

(省略非线性条件 2.11),获得以下线性方程: (3.1) 米 问 ̈ + C 一个 问 ̇ + ( K + K 一个 ) 问 = 0 。 假设广义坐标向量谐波( 问 = 问 ̅ e 我 ω t ),这个方程可以减少传统特征值问题: (3.2) ( 米 α 2 - - - - - - C 一个 α + K + K 一个 ) 问 ̅ = 0 , 在相应的特征值取决于流动特性和一般形式是复杂的值,如下: (3.3) α = η + 我 ω 。 在上面的方程中, ω 指定振动和谐和 η 显示阻尼率。

在空气弹性领域讨论的系统行为通常的无量纲动态压力 λ 给出 (3.4) λ = ρ 一个 V ∞ 2 一个 3 D , D = C 11 h 3 12 , 在哪里 D 和 h 站板的抗弯刚度和板厚度,分别 C 11 指示板刚度矩阵的第一个元素。

求解特征方程( 3.2)对不同的无量纲值动态压力,可以看出,小的值 λ 、板阻尼率 η 是负的,这表明板振动逐渐衰减,系统是稳定的。另一方面,阻尼率值 μ 变得积极和板振动变成不稳定的区域动态压力超出临界值时引入的 λ c r 。在实践中,存在控制方程的非线性刚度条件限制振动的振幅有界值。

在本文中,幂级数作为任意函数( Φ 我 ( x ) = x 我 - - - - - - 1 和 Ψ j ( y ) = y j - - - - - - 1 )。为了方便起见,采取不同的方向的近似级数相同的顺序( 米 1 = 米 2 = 米 3 = 米 和 N 1 = N 2 = N 3 = N )。提交结果得到的无量纲值如下: (4.1) η = 一个 b , δ = h 一个 , 一个 ̅ = 一个 p 一个 , b ̅ = b p 一个 , h ̅ = h p h , X = x P 一个 , Y = y P b , μ = b ρ 一个 h ρ 。 在这里,特征矩阵 米 , C 一个 , K 一个 , K , K 问 , 和 K 问 问 通过精确计算分析使用Mathematica软件集成。

表 1提出了一种融合研究简支方板的临界动压和比较计算值与精确解的问题 10]。这个表显示,多项式近似系列的订单 N × 米 = 8 × 8 ,计算关键动态压力收敛于精确解具有足够的精度。

为了研究贴片位置影响临界动压,悬臂板以下维度值被认为是: (4.2) 一个 = 0.4 米 , δ = 4 3 , η = 0.01 。 一个矩形块以下维度连着板: (4.3) 一个 ̅ = 1 4 , b ̅ = 5 30. , h ̅ = 1 4 。 在这篇文章中,将自由流马赫数 米 ∞ = 2 和air-panel质量比被认为是 μ = 0.1 。

铝基板是( E = 70年 平均绩点 和 v = 0.3 )和两种材料被认为是嵌入的补丁,即铝和PZT5H。报告的使用材料系数表 2( 12]。

结合悬臂板的补丁修改一些值的质量和刚度矩阵,根据贴片位置,进而改变了关键的动压力。虽然模式底座的形状是对称的板中心轴,贴片位置对临界动压的影响是不对称的。这种不对称是由流体流动是单向的,不对称的。数据 2(一个)和 2 (b)表现出差异的关键动压和补丁的位置对一悬臂板铝块和一块压电悬臂板,分别。根据贴片尺寸( 4.3密度(表)和补丁 2和 3),patch-to-plate质量比 。 01 铝块和压电片是0.03。然而,从图 2(一个),它是观察到的这些补丁可以增加底座广泛的动态压力至关重要。计算表明,对于铝块,关键动态压力的最大值约为32%高于基础价值,和压电片的情况这个值大于50%基础之一。这意味着边界的补丁,而小质量比悬臂板显著改变其动态特性。图 2 (b)显示最大增量关键动态压力达到保税补丁时自由角落前缘(例如, ( X , Y ) = ( 0.75,0 ) )。

为了评估斑块密度和刚度对临界动压的影响,另外,两个压电片与不真实的材料属性是:有降低质量(小于初始值90%),另一个与降低刚度(90%小于初始值)。数据 3(一个)和 3 (b)演示动态压力变化的关键补丁和补丁位置与刚度降低,降低质量和补丁。从这些数据,它可以很容易地得出结论,斑块密度影响关键动态压力更加明显相比,其刚度。

为了优化压电片的大小被动稳定的流激振动,关键动态压力的变化与补丁大小进行了研究。获得的结果表明,对于不同的块大小和纵横比,最大临界动态压力的最优位置匹配和自由的角落板前缘。此外,关键动态压力的变化与补丁位置遵循相同的模式,提出了图 2 (b)。最大临界动态压力与补丁维比率呈现在表 3。从这个表可以观察到,通过设置块长度比( 一个 ̅ )以一个固定的值,通过增加补丁宽度比( b ̅ )单调,关键的动态压力的最大值明显增加首先然后减少。另一方面,通过修复补丁宽度比( b ̅ ),关键的动态压力的最大值随片长度比( 一个 ̅ )增加和收敛于一个边界值。

续集,简支板尺寸 一个 = 0.4 米 , δ = 4 / 5 , η = 0.01 被认为是。与维比率在一块压电( 4.3)连着板。对于这种情况,不同的临界动压和贴片位置显示在图 4。从这个图中,可以看出,对于简支边界条件下,放置一块压电板将增加10%,临界动态压力最大。这表明空气弹性变形的简支板的行为不太敏感的嵌入式补丁。因此,贴片位置对系统动态的影响可以忽略,可以使用controllability-based优化方法获得最优块位置。

根据线性空气弹性理论,当动态压力增加出家的,初板振动是稳定的,但经过一个关键动态压力,出现不稳定和振动振幅趋于无穷。在实践中,存在非线性项在系统控制方程系统极限环振荡问题。为了研究嵌入式补丁对极限环振荡的影响,压电片粘结在板前缘的免费的角落,最大临界动态压力在哪里。由于非线性分析计算可以把一个巨大的努力,在本节中采用降维模型。为此,首先非线性控制方程中忽略和特征向量的线性方法定义。然后,板变形场近似使用有限数量的平面形状和出平面模式,如下( 13]: (5.1) { u 0 v 0 w 0 } = r 1 N φ 1 + r 2 N φ 2 + ⋯ + r n N φ n = N ̅ r , 在哪里 r 1 , r 2 , … , r n 时变系数, φ 1 , φ 2 , … , φ n 特征向量对应于所选择的平面,平面外模式形状, N 是矩阵的模式形状对应原来的系统, N ̅ 是矩阵的模式形状相应的简化模型,然后呢 r 代表向量的广义坐标的简化模型。

使用新的近似系列呈现在上面的方程,得到了简化模型的控制方程如下: (5.2) 米 ̅ r ̈ + C 一个 r ̇ + ( K ̅ + K ̅ 问 + K ̅ 问 问 + K ̅ 一个 ) r = 0 。 引入特征矩阵( 5.2)计算使用( 2.12)- ( 2.17)替换原始矩阵的模式形状 N 一个对应于减少模型(例如, N ̅ )。

为了选择适当的近似系列的订单和适当数量的平面和出平面振动模式用于减少模型,一个正方形的悬臂板。板受到超音速流与动态压力 λ = 150年 和振幅测量极限环的无量纲坐标 ( x , y ) = ( 一个 , 0.75 b ) 。龙格-库塔时间直接集成用于分析。收敛研究关键动态压力进行不同数量的选择模式和秩序的近似系列,如表所示 4。收敛性的研究,它已经假定多项式近似系列的订单 x 和 y 方向都是相同的( 米 我 = N 我 = N ̃ , 我 = 1 , 2 , 3 )。此外,它被认为很多选中的平面形状和出平面模式是相等的( n 在 = n 出 = n ̃ )。从这个表中,可以看出使用多项式系列 N ̃ = 7 数量和选择模式 n ̃ = 7 结果在获得良好的收敛解。此外,使用更多的应用模式形状可能扰乱收敛性(例如, n ̃ = 8 )。

图 5提出了一种比较极限环振幅发现当前的分析与 14]。这种比较说明了一些结果之间的差异。自[的模式形状使用数量 14]相当小,平面惯性力量被忽略,一些差异的结果是合理的。

,目的是研究贴片位置对极限环振荡的影响和振型形状,与维度提出了悬臂板( 4.2)被认为是。两种情况被认为是这个板,即没有补丁,补丁有大小由( 4.3)。5分的自由边板。表 5无量纲这些点的坐标。极限环振荡振幅对应于报道点如图 6,字母WP表明悬臂板的情况下使用嵌入式补丁。这图清晰地显示键一片板前缘的角落里自由延迟关键动态压力和极限环振幅的提高。

为了更好的理解模式形状变化,极限环振幅与规范化的动态压力图 7。这个数字表明,焊接一个补丁的坐标和提到与此案没有补丁相比,极限环降低幅度从前缘与后缘(即。,从1点到5点)。这表明一个轻微的振型变化形状。很明显,变化的模式形状导致气动耦合的变化。因此,气动弹性板的行为变化是意料中的。

摘要补丁位置对气动弹性悬臂板的行为的影响进行了研究。结果表明,这种类型的板,焊接一个补丁一个小质量比的变化关键动态压力很大。这产生了一个重大变化的动态系统。文献的调查表明,这种效应被很多研究者所忽视。显然,如此重要的系统行为的变化要求一些先进的方法最优致动器位置,尊重系统可控性最小化在被动的性能改进。另外,调查人员可以探索补丁位置最佳的被动和主动颤振控制,同时,和评估最适合一个或结合结果开发混合控制方法。