文摘
在本文中,我们提出一种方法可以考虑极端值的影响在金融资产回报的建模和维持价格相关的选项。具体地说,资产回报的边际分布由两个高斯分布的混合模型。此外,我们模型的共同依赖结构返回使用相关函数极值,适合我们的财务数据,特别是接合部的极端值。应用程序是由阿托斯和达索系统操作的CAC40指数。蒙特卡罗方法用于计算等股票期权的价值最大的电话,要求最低,数字选项,和传播选项篮子(阿托斯、达索系统)作为基础。
1。介绍
因为黑人和斯科尔斯的开创性工作1和考克斯等。2)(分别在连续和离散情况),在金融期权定价已成为一个至关重要的话题。的确,考虑一个欧洲式期权标的资产的价格 ,罢工 ,和过期 ,黑色和斯科尔斯可能确定类期权的价格公式在某些假设,缺乏套利机会的基础价格潜在的资产(遵循几何布朗运动),也就是说, 在哪里和是常数,是一个标准的几何布朗运动。
因此,公式的理论相对价值的看涨期权和看跌期权。
选项是必不可少的金融产品允许其持有人对冲投资下降的风险。这就是我们越来越多地看到的奇异期权等几种类型的选择,多元选择,等等,目的是提供更多的安全。因此,估值模型也在变化。所有的多个期权定价模型中,事实证明,每一个主要基于底层的动态资产定价模型(选项只有一个底层)或资产组合(选择在多个资产),当市场假设是已知的。事实上,由于无套利机会的假设(NAO)在市场上融资的基本结果的基础上,它被认为是在默认情况下(有市场仲裁的假设被认为是)。相关的优势在这个NAO假设是,与市场的完整性,有一个风险中性概率贴现的流动是鞅。在单变量的情况下,在这个方向上的一个最有趣的结果在估值是布里登et al。3]。州,二阶导数(当它存在并且是连续的)的标准选择的价格相对于罢工恰逢中性密度。事实上,如果是欧式期权的标的资产的价格和价格吗有了回报 , 时间到期无风险利率,那么风险中性密度与通过
多元评价的框架,这风险中性公式是一个简单的概括(例如,4,5)使用这个概括)。Talponen和Viitasaari6)最近向多元版本的单变量的结果。
多元选项(彩虹,数字,quanto等等),这将是我们研究的主体,构成当前金融风险研究的核心主题报道(见Tsuzuki [7])。的优势在于,他们对风险提供更好的覆盖。事实上,基本的想法是,当一些资产的选择是一个函数,一个资产的贬值是补偿的崛起的另一个资产组合。因此,协会或依赖资产之间扮演着重要的角色在这些类型的期权的定价。考虑这样一个方面的估值,连系动词的使用是一个很好的选择。
多元选择的估值介体全面发展。连系动词使加入的边际和依赖结构的优势。这样对许多选项和介体的估值工作;重点是第一在边际风险中性密度,然后联合风险中性密度(中性介体)。例如,我们可以把Cherubuni和卢西亚诺的工作8),Cherubuni和卢西亚诺9),罗森博格(10],鲑鱼和Schleichere [11),Slavchev和主教练威尔肯斯[12]。然而,所有这些工作没有考虑边际极端值的影响,而不是没有影响的估值(高估或低估的风险)。然而,还有其他的介体建模方法基于波动动力学在van den Goorbergh et al。13],伯纳德和Czado [14],和Barban Di Persio [4]。读者可以参考他们的全部细节在文学这个方法。
在本研究中,我们提出一种估值方法多元选项允许考虑极端值的影响边际和关节结构的基础上类似的作品等。15)和极端值连系动词的使用。
在接下来的工作中,在第一节中,我们给结果获得的补贴等。15)这将是必要的介体和一些基本概念。在第二部分,我们将主要使用的方法正确的应用方法。然后,不同估计和模拟的结果,分析和解释。最后一节提出了结论和讨论。
2。预赛
2.1。金融资产的建模方法的结果
它证明了金融资产回报的经验分布比高斯分布的厚尾。这表明极值的存在。这个事实显示了正态分布也不能够模型严格金融资产的回报,因为它没有考虑到极端。这是黑人和斯科尔斯的方法,(1]。
考虑到极端值的影响,类似et al。15],提出了正态分布作为替代,建模的分布基础资产的回报率的一个单变量的选择,NAO的假设下,通过混合高斯分布的连续框架(他们的方法是一个泛化的方法在离散Bertholon, Monfort涉嫌和Pegoraro Pegoraro)。他们合理的选择,混合高斯分布可以近似的分布通常使用(高斯、alpha-stable、学生、双曲等等);也有一定的理论属性允许容易处理的框架理论模型来评估资产价格和很容易模拟和可以复制各种集(均值、方差、偏态和峰态)中观察到的数据。
假设的历史分布的潜在的回报 在哪里价格在时间吗的标的资产的混合物是由高斯分布,其密度 在哪里 是一个高斯分布的密度意味着什么和标准偏差 ; 。
此外,随机贴现因子的特征是一个仿射指数形式,也就是说,
他们建立,这些假设下,中性也是一个高斯混合分布,其密度被定义为 在哪里 与 。
因此,他们得出一个欧洲的相对价格理论与你们成熟的电话 和一个相对罢工 : 在哪里是布莱克-斯科尔斯一年期 公式的相对价格和的电话 ,为 。
备注1。号召使平价关系的存在使得它可以简化任务计算期权价格。然后充分计算的价格叫推断出相应的(反之亦然)的关系
2.2。连系动词的调查
在本节中,我们回忆起最基本的接合部。这些是我们的研究基本的定义和性质。连系动词的更多细节,请参阅尼尔森(16]。
2.3。定义和属性
连系动词是一个函数允许捕捉几个随机变量之间依赖关系的结构。
一个函数 是一个d-copula如果它满足以下属性:(我)对所有 , 。(2)对所有 , 如果至少有一个的是零。(3) “接地”,d增加,即 对所有 和 与 。
连系动词的基本结果由于Sklar整整一个多元分布连续的边际 ,存在一个唯一(唯一性并不能保证当边际是不连续)连系动词 这样
相反,当是连系动词, 边际分布,是函数吗定义为(11)是一个边际分布的多元分布 。
这个结果可以推断出一些连系动词的属性包括由任何单调变换不变性。Sklar定理的另一个后果是,每一个连系动词满足
这个关系是变体的接合部Frechet-Hoeffding界限的多元分布。的上限 是comonotonic接合部代表完美的积极的依赖。的下界 只是一个连系动词 。在这种情况下,它代表了完美的消极的依赖。
备注2。如果多元的生存分布吗边际分布
,然后生存接合部,用
,被定义为
生存连系动词与连系动词吗
,对所有
,通过
在哪里
,
的基数
,和
表明属于
。
因此建议不要混淆的双重接合部生存接合部。
2.4。本研究样本财务的接合部
2.4.1。阿基米德连系动词
在文献中,有几个家庭的接合部,有些更适合金融建模。阿基米德接合部家庭包括克莱顿的模型,弗兰克,甘力克。这些介体的优势捕捉积极或消极的结构变量之间的依赖。这些类型的依赖性特征的金融变量,这证明使用接合部的家庭。在期权定价方面,例如,这些连系动词用于Cherubuni和卢西亚诺(8]Slavchev和主教练威尔肯斯[12]。
2.4.2。椭圆的连系动词
其他类型的介体用于正常的接合部,t-copula融资。他们属于椭圆接合部的家人描述椭圆分布的依赖结构。这个家庭的选择是合理的,因为事实上椭圆分布一直是用来模拟随机现象在许多领域。尽管示范的尖峰的回报的金融系列的人物,他们有弱点的严格模型,他们仍然使用。
2.5。Estimation-Adequacy接合部的测试
连系动词的选择严格描述多元统计数据需要估计和合格测试。有几种技术文献中估算接合部属于不同的家庭:参数,半参数和非参数。对这些方法的更多细节,请参见Bouye [17]。
2.5.1。IFM的估计方法
IFM(推理函数的利润率)方法是一个两步估计方法的接合部。这是由施和路易(18)在二维情况下,然后由乔和徐在维数大于两个开发(19]。它是进行如下:(1)第一步在于找到估计的参数 边际分布的极大似然: (2)一旦人被确定,我们估计参数连系动词能最好地描述这些不着边际的最大可能性。
这种方法的优点之一是,在一定条件下的规律性,IFM估计量的一致性和渐近正态的。
在数值计算方面的时间,这种方法比“直接”最大似然方法,因为它更简单、更快捷。
2.5.2。配合测试
确认是否选择参数的相关模型数据,必须执行一个测试。最强大的测试是基于流程 ,在哪里和分别是实证接合部和参数接合部。
Cramer-von米塞斯的统计是迄今为止最常用,因为它给了令人满意的结果。它被定义为
Akaike标准等标准(AIC)和贝叶斯推理准则(BIC)经常用于选择最好的接合部。它们分别定义 在哪里模型参数估计的可能性吗 , 估计参数的数量数据的大小。
3所示。方法及应用
一个多元选择的价格是一个函数的联合分布密度相关。因此,他们的估值需要联合风险中性密度的测定。要做到这一点,它可以确定边际风险中性密度,然后选择最好的描述了他们的依赖结构的连系动词用Sklar定理。这个角度看是有可能的,因为客观介体可以与中性联合介体,在一定条件下(见Rosenbergh [20.])。
3.1。方法
我们的方法是首先在决定使用的边际风险中性过程分布的补贴等。15]。这样做是为了考虑极端值的影响利润。我们也会限制自己的混合的情况下两个高斯函数在这个研究。很明显,我们将使用这两个步骤:(1)估计的参数混合制度。(2)估计的参数随机贴现因子,使用(31日)。然后,我们将选择部分中列出的接合部的家庭中研究最适合的那一个。最后,我们将决定价格的多元选择数值积分(蒙特卡罗方法)通过使用下面的公式提供了多元的选择。这样做,和完成过程中,我们将通过使用这些最后的四个步骤进行。(3)生成,通过使用我们的历史数据返回,一个示例 , 。每一个风险中性边缘分布 ,的密度(4)适当的参数,估计在步骤(1)和(2)。(4)变换向量样本 伪样本向量 。(5)估计的参数的连系动词使用 。(6)使用蒙特卡罗数值积分方法计算期权价格。
我们会特别感兴趣的彩虹选项(最大或最小的一些资产,等等)。这些选项是许多研究的主题以及(如21]和Jonshon [22]。
考虑到期的资产价格用 和表示 ,分别在即时每个资产相关的回报(所有 ; )。选择执行价格 ,我们认为以下不同类型的彩虹:传播选择;选择最大;选择最小和数字的选择。
3.2。传播的选择
回报等于 ,计算它的价值 这给了 最后 在哪里 和是把价格, 。
3.3。呼吁最大
其回报等于 。因此,它的价格在成熟是给定的 我们获得 最后 在哪里 和是把价格, 。
3.4。要求的最低
它承认回报 然后定义和其到期值 等于 最后,我们获得 在哪里 和是调用价格, 。
3.5。数字的选择
它的回报 。因此,它的价值在成熟是给定的 这给了我们 在哪里 ; 是调用价格, ,和生存的接合部。
备注3。不要忘记了数量 和 都是等于中性分布的密度是由关系(4)我们的研究。
3.6。应用程序
我们将重点讨论二元选择一双阿托斯和达索系统股票。从获得的数据Investing.com和相关的组件CAC40指数巴黎证券交易所。收集到的数据问题从7月1日的收盘价2014年6月30日,2020(1534天)。
首先,为这两个资产(阿托斯;达索系统),两个高斯分布的参数确定政权构成高斯混合(表1)以及每个饮食的比例。
在下一步中,我们确定的参数 定义的随机贴现因子的关系(3)由于模型的假设,特别是缺乏仲裁的机会。这些参数确定的唯一解(见[15]) 在哪里无风险利率在哪里 ,在 。
获得的结果为无风险利率 展示在表2。
3.7。介体拟合结果
我们现在可以符合我们的数据,因为所有的连系动词表达中性密度所需的参数(由(6)是已知的。我们提出以下接合部估计的结果与我们的数据有关。在每种情况下,我们将基于Cramer-von米塞斯的统计数据和/或AIC准则的选择最好的接合部。
在表3,我们现在估计参数(及其Cramer-von米塞斯统计)二元连系动词。然后出现,最好的三个接合部Cramer-von米塞斯统计Tawn的接合部,弗兰克的接合部,甘力克的接合部。
表4给出了AIC和BIC参数估计的二元选择介体。根据这些标准,我们的二元数据的四个最佳人选接合部正常的接合部,Husler-Reiss的接合部,Galambos的接合部,甘力克的接合部。
我们可以注意到,我们的数据,每个安装连系动词根据不同的性能标准。然后很难做出特定选择介体的基础上,在这种情况下这两个标准(Cramer-von米塞斯统计与AIC)的总和。然而,如果有一个选择,这两个标准,这将是更明智的基础上自己Cramer-von米塞斯测试。
3.8。期权价格的蒙特卡洛方法
在本节中,我们给出了仿真结果的价格(一个周期 )所有的选项在上述章节中提出了基于篮子(阿托斯、达索系统)。表5和6分别给的价格最大的叫最大。我们解决二元篮子的每个资产的价格为120。他们的价格计算的值时提供资金(移动),平价(ATM)和内在价值(ITM)。数字的选择和传播的情况下选择,我们修复,分别篮子的价格 和 。我们给这些期权的价格在表7和8也得到不同的罢工。通过使用公式2,通过蒙特卡罗数值计算期望价格计算方法 模拟(二元期权的选择与我们的基础仅仅是学术兴趣。事实上,他们并不是市场上交换)。事实上,因为大多数的这些公式表达在积分方面,我们可以把每个人变成一个随机变量的期望和选择适当的分布。在我们的例子中,我们首先改变积分边界 来 并选择帕累托分布。
的情况下呼吁最高(表5),价格获得的正常价格优于所有其他连系动词(阿基米德和极端)在所有这三个情况只有当它是平价凯顿的接合部。我们注意到其他人的价格获得大约是相同的(弱差异)。正常的接合部高估了价格相比Tawn的接合部有最好的健康测试。
的最小值(表6),正常的接合部礼物的价格低于任何极端值获得的接合部平价或提供资金。我们注意到相反的内在价值。
尤其是正常接合部给最高价格时比Tawn接合部的内在价值与一个小差异。平价时,或提供资金Tawn接合部产生价格优于正常的接合部有相当大的差距比第一个情况。
(表的价格数字选项7),通过正常的接合部不如其他计算极端介体在三种情况下的估值。
利差的选项(表8),我们注意到平价时正常的接合部给最高的价格和Tawn接合部给最小的价格。否则,内在价值时正常的接合部给最小的价格。最后,当选择提供钱,正常的接合部给第二个伟大的价格。相对价格获得Tawn的接合部,价格计算与普通介体是最大的平价和价外期权时最小的内在价值时看到Abba-Mallam et al。23,24]。
备注4。当和是两个随机变量建模两个股票的回报,有一个极值接合部,可以计算不调和函数的更多信息关于这些变量之间的依赖。按照这一标准,更多细节见Dossou-Gbete et al。25]。
4所示。结论和讨论
本文提出一种方法,允许考虑边际极端值的影响,底层的联合分布维持价格多元的选择。这样做,首先,每个边缘分布的基础资产的收益由混合高斯模型在补贴等。15)和依赖结构为模板的介体。选择最好的连系动词是证实了拟合和善良测试。应用了篮子(阿托斯、达索系统)的金融市场CAC40表明Tawn的联结的依赖结构建模是最好的回报。因此,计算了四种类型的期权的价格使用蒙特卡罗模拟。模拟结果表明,正常的接合部的价格高估了呼吁最大和传播选项时的钱。数字和呼吁的最小值,这连系动词选项时低估了价格的钱。
数据可用性
数据请求。
的利益冲突
作者宣称他们没有利益冲突有关这项研究的出版物。
确认
作者要感谢领导的研究小组应用数学Abdou Moumouni大学尼亚美(尼日尔)和统计和随机建模的研究团队约瑟夫Ki-Zerbo瓦加杜古大学和托马斯大学商羯罗Saaba(布基纳法索)。