雷林空间中二维耗散QGE解的长时间行为

抽象

本文研究了具有亚临界耗散的二维拟地转方程的渐近性态。更准确地说，我们建立了这一点在消失无限。

1.简介和主要结果的声明

本文研究了具有亚临界耗散的二维拟地转方程的初值问题 : 在哪里是实数和为耗散系数。被操作者通过的分数功率定义 : 和更广泛的 在哪里的傅里叶变换 。 一个未知的标量函数是否表示势温度 被发散自由速度其通过的中Riesz变换确定通过以下方式:

让我们解决对于本文的其余部分。

的quasi-geostrophic流体是一种重要的地球物理流体动力学模型,这是特殊情况一般quasi-geostrophic近似的大气和海洋流体流动与小的地方罗斯比数保证的有效性地转平衡压力梯度和科里奥利力(见[1])。此外，该准地转流体运动方程与基本流体运动方程具有许多共同的特点。当 ,该方程可与欧拉方程的涡量公式相比较(见[2])。与与三维Navier-Stokes方程具有相似的特征。因此,因此被称为临界情况下，在例和分别为亚临界和超临界。

几个研究者建立了全局弱解的存在性。读者可参考[3.- - - - - -7和他们的参考资料。此外，在亚临界情况下，Constantin和Wu [8证明了每一个足够光滑的初始数据都会产生一个唯一的全局光滑解。对于关键情况， ,康斯坦丁等。(9]证明了有一个独特的全球经典溶液的存在对于任何小的初始数据 。这个假设要求小用卡帕雷利和血管舒摘除[10]和董和杜[5]。在[7，作者证明了一个全局解决方案的持久性对任何周期性的初始数据。蔡及李[6]建立了在Besov空间中的任何小的初始数据的整体存在和解的唯一性 。

对于准地转方程的整体存在性进行了研究Benameur和Benhamed [以往的工作3.]。作者引入了新的空间定义如下： 其装备有常态

更确切地说，其结果如下..

定理1。让 。有一段时间和独特的解决方案 的 ;此外， 。
如果 ,那么解决方案是全球性的

我们会记得进一步纸张题为“二维准地转方程解的行为”康斯坦丁和吴[8（发表在SIAM数学分析30，1999）具有沿着相同的路线几个结果。特别是，它包括以下结果。

定理2。让和 。那么，存在一个弱解的方程的初始数据这样

证明。在哪里常数取决于什么和规范 。
的衰败拟地转方程解的索波列夫范数和渐近性态也在许多文章中被提及(参见，例如，[5,11- - - - - -22]
在理解流体力学模型如何工作时，解的全局时效性、时间衰减和渐近性态是核心性质。事实上，有丰富的文献通过几种方法和不同框架的流体动力学偏微分方程的这些性质。在这个方向上，有关于尺度下不变的奇异数据框架(临界空间)的研究，在临界空间的弱范数中取小的条件(例如，见综述书[23,24])。特别感兴趣的是偏微分方程在其结构是基于傅立叶变换的关键框架的分析。纳维 - 斯托克斯和准地转方程已经研究了几个空间，比如(13,25,26]，傅立叶的Besov(7,27,28),Lei-Lin空间(3.,29],Fourier-Besov-Morrey(11,30.]。在的情况下 ,傅立叶Besov空间由Iwabuchi介绍[31在抛物-椭圆凯勒-席格尔方程组中。之后，岩abuchi和高田[7)使用的关键 -为了得到navier - stokes -科里奥利系统的全局适性类(关于角速度一致)。在特定的 ,他们也得到了一个全局适性的结果初始数据较小的Navier-Stokes方程 。Konieczny和米田[28]也证明了的全局良好性和小解的渐近稳定性Navier-Stokes方程（和纳维 - 斯托克斯科里奥利）在临界傅立叶Besov空间 ,与 。将这些结果扩展到临界傅里叶-贝索-莫里空间（比大 )在[30.,32[]对于具有分数耗散的Navier-Stokes方程(和navier - stkers - coriolis)和主动标量方程(包括准地转方程 ),分别。
本文的主要目的是研究在关键磊林空间框架准地转方程与和 。我们证明了这个解呈现渐进性作为前提是 。为此，我们使用标准的插在傅立叶空间，能量估计， ,以及杨的卷积不等式。我们的主要结果如下。

定理3。让和 成为一个全球性的解决方案通过定理给出1。然后,

备注1。注意，我们的主要结果并不隐含在定理中2因为我们的工作关注的是在Lei‐Lin空间中解的渐近性态，而这个类的范数定义是基于傅里叶变换的，但它并不包含在l²这是定理的结果2与太空中的研究有关 。证明技术（定理3.和引理1)在傅里叶空间中使用相当标准的插值(这就产生了而不是更自然的 ),节能型估计利用自然的外观 -范数来自杨的卷积不等式，以及定理的两种用法3.(在早期的研究中得到了证实。
本文的其余部分组织如下。主要结果在章节中给出1。我们将在部分中解释这个框架2。在很长一段时间的行为（定理3.）成立于第3节。

2.初步

让我们在[29]，雷，林推出了新的空间，命名为雷霖空间 ,它属于一类，其定义规范是基于傅立叶变换，但不包含在 。在[3.， Benameur和Benhamed定义了对抛物型、椭圆型和色散型偏微分方程的适性研究有用的空间。更准确地说, ,我们定义 有标准

为了证明定理3.，我们需要下面的引理。

引理1。为 , 。更准确地说,如果 。然后,我们有

证明。为 ,放 ,在哪里 让我们通过控制第一项开始;利用柯西 - 施瓦茨不等式，我们得到 因此， 类似的计算，以前述的产率 然后, 结合(15)和(17），我们得到 优化 ,有选择就够了 ,获得(12)。

3.主要定理的证明

本节的主要目的是研究由定理所给出的全局解的渐近性态1。该证明由启发[33]。

首先，我们来 。

让 ,这样 。为 ,放

我们有 是收敛的至 。然后，有这样

让是一个固定整数。放

然后,

考虑系统

对所有人 ,我们有

使用定理1;然后，存在一个唯一的全局解 。

此外,

此外,

放 。然后,是以下系统的解决方案:

通过采取内积与 ,我们得到

然后,

通过杨不等式，我们得到

因此，

对时间积分，我们得到

通过Gronwall引理，我们得到

结合(32)和(33),我们得到

应用引理1至 ,我们推断

然后,

从(33)由此可见

因此，通过在0到0之间积分 ,我们得到

的确，考虑下面的子集 :

我们有

然后,对所有 ,

因此,

使用不等式(38），我们得到和 。

因此,存在 。特别是,

现在,把

因此，通过（24),我们得到

因此，

让我们考虑以下方程:

使用不平等(46)和定理1，我们推断存在唯一解 的这样

给出了拟地转方程解的存在唯一性 。然后, 因此，定理3.是证明。

数据可用性

没有数据支持这项研究。

的利益冲突

作者声明，本论文的发表不存在任何利益冲突。

作者的贡献

所有作者在撰写这篇文章时都做出了同等且显著的贡献。所有作者阅读并批准了最终的手稿。