raybet雷竞app|雷竞技官网下载|雷电竞下载苹果

IJMMS

国际数学和数学科学杂志》上

1687 - 0425 0161 - 1712

Hindawi

10.1155 / 2020/6409609

6409609

研究文章

解决方案的长期行为的二维耗散QGE Lei-Lin空间

https://orcid.org/0000 - 0001 - 6059 - 5390 班

莫耶兹

¹ ²

Abusalim

萨哈尔默罕默德

¹ Mityushev

弗拉基米尔·V。

^{1<一个ddr-line>
数学系

在Gurayat科学和艺术学院

Jouf大学

Sakakah

沙特阿拉伯

ju.edu.sa} ^{2<一个ddr-line>
数学系

科学学院突尼斯

突尼斯大学埃尔玛娜尔

突尼斯

LR03ES04

突尼斯

utm.rnu.tn}

2020年

29日 4 2020年

2020年 15 12 2019年 21 03 2020年 29日 4 2020年

这是一个开放的文章在知识共享归属许可下发布的,它允许无限制的使用,分布和繁殖在任何媒介,提供最初的工作是正确的引用。

在本文中,我们研究了渐近行为的二维quasi-geostrophic与亚临界耗散方程。更准确地说,我们建立 θ t X 1 − 2 α 消失在无穷。

1。介绍和主要结果的声明</tgydF4y2Baitle> <p>在本文中,我们考虑的初值问题2 d quasi-geostrophic与亚临界耗散方程<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M2"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mtext> 路上</gydF4y2Bamml:mtext> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> α</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>:<dgydF4y2Baisp-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M3"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="EEq1"> <mml:mtd> <mml:mtext> (1)</gydF4y2Bamml:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mtable> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mtext> 路上</gydF4y2Bamml:mtext> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> α</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mrow> <mml:mfenced open="{" close="" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mtable class="cases"> <mml:mtr columnalign="left"> <mml:mtd columnalign="left"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo> ∂</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> t</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mi> θ</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> +</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> u</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mi> ·</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> ∇</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> θ</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> +</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> k</gydF4y2Bamml:mi> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> Λ</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mi> α</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mi> θ</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> =</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn> 0</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mo> ,</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi class="cond"> </mml:mi> <mml:mi> x</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> ∈</gydF4y2Bamml:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> ℝ</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo> ,</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> t</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> ></gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn> 0</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mo> ,</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mrow> </mml:mtd> </mml:mtr> <mml:mtr columnalign="left"> <mml:mtd columnalign="left"> <mml:mrow> <mml:mi> u</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> =</gydF4y2Bamml:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> R</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> ⊥</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mi> θ</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> =</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mo> −</gydF4y2Bamml:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> ℜ</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mi> θ</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> ,</gydF4y2Bamml:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> ℜ</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mi> θ</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ,</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mrow> </mml:mtd> </mml:mtr> <mml:mtr columnalign="left"> <mml:mtd columnalign="left"> <mml:mrow> <mml:mi> θ</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn> 0</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mo> ,</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> x</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</gydF4y2Bamml:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> θ</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 0</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> x</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ,</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mrow> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>在哪里<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M4"> <mml:mrow> <mml:mn> 1</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mo> /</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mo> <</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> α</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> ≤</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn> 1</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>是一个实数,<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M5"> <mml:mrow> <mml:mi> k</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> ></gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn> 0</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>是一个耗散系数。<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M6"> <mml:mi> Λ</gydF4y2Bamml:mi> </mml:math> </inline-formula>定义的操作部分的力量吗<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M7"> <mml:mrow> <mml:mo> −</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> Δ</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>:<dgydF4y2Baisp-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M8"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="EEq2"> <mml:mtd rowspan="2"> <mml:mtext> (2)</gydF4y2Bamml:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mi> Λ</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> =</gydF4y2Bamml:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mo> −</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> Δ</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mo> /</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo> ,</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mrow> <mml:mi> Λ</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mi> g</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="true"> ^</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mover> </mml:mrow> <mml:mo> =</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mo> −</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> Δ</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mo> /</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mi> g</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="true"> ^</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mover> </mml:mrow> <mml:mo> =</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mfenced open="|" close="|" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> ξ</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mi> g</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> ^</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mover> </mml:mrow> <mml:mo> ,</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>和更广泛的<dgydF4y2Baisp-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M9"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="EEq3"> <mml:mtd> <mml:mtext> (3)</gydF4y2Bamml:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> Λ</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mi> α</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mi> g</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="true"> ^</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mover> </mml:mrow> <mml:mo> =</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mo> −</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> Δ</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> α</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mi> g</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="true"> ^</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mover> </mml:mrow> <mml:mo> =</gydF4y2Bamml:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mfenced open="|" close="|" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> ξ</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mi> α</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mi> g</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> ^</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mover> </mml:mrow> <mml:mo> ,</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>在哪里<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M10"> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mi> g</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> ^</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mover> </mml:mrow> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> ξ</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>表示的傅里叶变换<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M11"> <mml:mi> g</gydF4y2Bamml:mi> </mml:math> </inline-formula>。<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M12"> <mml:mrow> <mml:mi> θ</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> x</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> ,</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> t</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>是一个未知的标量函数代表潜在的温度,然后呢<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M13"> <mml:mrow> <mml:mi> u</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> =</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> u</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</gydF4y2Bamml:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> u</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>散度是免费的速度由黎兹转换的<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M14"> <mml:mi> θ</gydF4y2Bamml:mi> </mml:math> </inline-formula>在以下方式:<dgydF4y2Baisp-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M15"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="EEq4"> <mml:mtd rowspan="2"> <mml:mtext> (4)</gydF4y2Bamml:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> u</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> =</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mo> −</gydF4y2Bamml:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> ℜ</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mi> θ</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> =</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mo> −</gydF4y2Bamml:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo> ∂</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mo> −</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> Δ</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> −</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn> 1</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> <mml:mo> /</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mi> θ</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> ,</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> u</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> =</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mo> −</gydF4y2Bamml:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> ℜ</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mi> θ</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> =</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mo> −</gydF4y2Bamml:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo> ∂</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mo> −</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> Δ</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> −</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn> 1</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> <mml:mo> /</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mi> θ</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> 。</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula></p> <p>让我们解决<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M16"> <mml:mrow> <mml:mi> k</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> =</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn> 1</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>剩下的纸。</p><p>gydF4y2Ba的<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M17"> <mml:mrow> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mi> D</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>quasi-geostrophic流体是一种重要的地球物理流体动力学模型,这是特殊情况一般quasi-geostrophic近似的大气和海洋流体流动与小的地方罗斯比数保证的有效性地转平衡压力梯度和科里奥利力(见[<xrgydF4y2Baef ref-type="bibr" rid="B1"> 1</xrgydF4y2Baef>])。此外,这个quasi-geostrophic流体运动方程和流体运动基本方程有许多共同特征。当<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M18"> <mml:mrow> <mml:mi> k</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> =</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn> 0</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>,这个方程与涡度公式的欧拉方程(见[<xrgydF4y2Baef ref-type="bibr" rid="B2"> 2</xrgydF4y2Baef>])。<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M19"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mtext> 路上</gydF4y2Bamml:mtext> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> α</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>与<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M20"> <mml:mrow> <mml:mi> α</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> =</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mrow> <mml:mn> 1</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mo> /</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>股票与三维n - s方程相似的特征。因此,<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M21"> <mml:mrow> <mml:mi> α</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> =</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mrow> <mml:mn> 1</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mo> /</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>因此称为临界情况下,箱子吗<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M22"> <mml:mrow> <mml:mi> α</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> =</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mrow> <mml:mn> 1</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mo> /</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>和<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M23"> <mml:mrow> <mml:mi> α</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> =</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mrow> <mml:mn> 1</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mo> /</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>分别是亚临界和超临界。</p><p>gydF4y2Ba建立了一个全局弱解的存在一些研究人员。读者被称为(<xrgydF4y2Baef ref-type="bibr" rid="B3"> 3</xrgydF4y2Baef>- - - - - -<xrgydF4y2Baef ref-type="bibr" rid="B7"> 7</xrgydF4y2Baef>)和他们的引用。此外,在亚临界情况下,江诗丹顿和吴<xrgydF4y2Baef ref-type="bibr" rid="B8"> 8</xrgydF4y2Baef>)充分证明了每一个平滑的初始数据产生一个独特的全球顺利的解决方案。对于关键的情况,<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M24"> <mml:mrow> <mml:mi> α</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> =</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mrow> <mml:mn> 1</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mo> /</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>江诗丹顿等。<xrgydF4y2Baef ref-type="bibr" rid="B9"> 9</xrgydF4y2Baef>]证明存在一个独特的全球古典解的任何小的初始数据<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M25"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> l</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> ∞</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>。假设要求小<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M26"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> l</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> ∞</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>由Caffarelli移除,Vasseur [<xrgydF4y2Baef ref-type="bibr" rid="B10"> 10</xrgydF4y2Baef>)和越南盾和杜<xrgydF4y2Baef ref-type="bibr" rid="B5"> 5</xrgydF4y2Baef>]。在[<xrgydF4y2Baef ref-type="bibr" rid="B7"> 7</xrgydF4y2Baef>),作者证明了持久性的全球性的解决方案<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M27"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="script"> C</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> ∞</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>对任何<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M28"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="script"> C</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> ∞</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>周期性的初始数据。崔和李<xrgydF4y2Baef ref-type="bibr" rid="B6"> 6</xrgydF4y2Baef>)建立解的整体存在唯一性Besov任何小初始数据的空间<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M29"> <mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mi> B</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> ˙</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mover> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2、1</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mo> −</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mi> α</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:msubsup> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>。</p><p>gydF4y2Ba全球存在quasi-geostrophic方程研究了在前面的工作Benameur和班<xrgydF4y2Baef ref-type="bibr" rid="B3"> 3</xrgydF4y2Baef>]。作者引入了新的空间<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M30"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="script"> X</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mo> −</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mi> α</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> ℝ</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>定义如下:<dgydF4y2Baisp-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M31"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="EEq5"> <mml:mtd> <mml:mtext> (5)</gydF4y2Bamml:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="script"> X</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mo> −</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mi> α</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> ℝ</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mfenced open="{" close="}" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> f</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> ∈</gydF4y2Bamml:mo> <mml:msup> <mml:mi mathvariant="normal"> 年代</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mrow> <mml:mo> ′</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> ℝ</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ;</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> ξ</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> ↦</gydF4y2Bamml:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mfenced open="|" close="|" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> ξ</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mo> −</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mi> α</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mi> f</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> ^</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mover> </mml:mrow> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> ξ</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ∈</gydF4y2Bamml:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> l</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> ℝ</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ,</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi class="cond"> </mml:mi> <mml:mfrac> <mml:mn> 1</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mfrac> <mml:mo> <</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> α</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> ≤</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn> 1</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mo> ,</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>配备的标准是什么<dgydF4y2Baisp-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M32"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="EEq6"> <mml:mtd> <mml:mtext> (6)</gydF4y2Bamml:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mfenced open="‖" close="‖" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> f</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="script"> X</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mo> −</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mi> α</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> =</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mstyle displaystyle="true"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="true"> ∫</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> ℝ</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mfenced open="|" close="|" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> ξ</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mo> −</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mi> α</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mfenced open="|" close="|" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mi> f</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> ^</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mover> </mml:mrow> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> ξ</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mfenced> <mml:mtext> d</gydF4y2Bamml:mtext> <mml:mi> ξ</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:mstyle> <mml:mo> 。</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula></p> <p>更准确地说,他们的结果如下。</p><年代t一个tement id="thm1"> <title>定理1。</tgydF4y2Baitle> <p>让<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M33"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> θ</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 0</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo> ∈</gydF4y2Bamml:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="script"> X</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mo> −</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mi> α</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> ℝ</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>。有一个时间<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M34"> <mml:mrow> <mml:mi> T</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> ></gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn> 0</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>和独特的解决方案<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M35"> <mml:mrow> <mml:mi> θ</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> ∈</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi mathvariant="script"> C</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mfenced open="[" close="]" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn> 0</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mo> ,</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> T</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ,</gydF4y2Bamml:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="script"> X</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mo> −</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mi> α</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> ℝ</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>的<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M36"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> 问</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mi> G</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> α</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>;此外,<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M37"> <mml:mrow> <mml:mi> θ</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> ∈</gydF4y2Bamml:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> l</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mfenced open="[" close="]" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn> 0</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mo> ,</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> T</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ,</gydF4y2Bamml:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="script"> X</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> ℝ</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>。</p><p>gydF4y2Ba如果<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M38"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mfenced open="‖" close="‖" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> θ</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 0</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="script"> X</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mo> −</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mi> α</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> <</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mrow> <mml:mn> 1</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mo> /</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn> 4</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>全球和,那么解决方案<dgydF4y2Baisp-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M39"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="EEq7"> <mml:mtd> <mml:mtext> (7)</gydF4y2Bamml:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mfenced open="‖" close="‖" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> θ</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> t</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="script"> X</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mo> −</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mi> α</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> +</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn> 1</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mo> −</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn> 4</gydF4y2Bamml:mn> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mfenced open="‖" close="‖" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> θ</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 0</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="script"> X</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mo> −</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mi> α</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mstyle displaystyle="true"> <mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mo stretchy="true"> ∫</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn> 0</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mi> t</gydF4y2Bamml:mi> </mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mfenced open="‖" close="‖" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> θ</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="script"> X</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mtext> d</gydF4y2Bamml:mtext> <mml:mi> 年代</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:mstyle> <mml:mo> ≤</gydF4y2Bamml:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mfenced open="‖" close="‖" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> θ</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 0</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="script"> X</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mo> −</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mi> α</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi class="cond"> </mml:mi> <mml:mo> ∀</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> t</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> ≥</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn> 0。</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula></p> </statement> <p>我们将进一步回忆篇题为“2 d quasi-geostrophic方程的解决方案的行为”,江诗丹顿和吴<xrgydF4y2Baef ref-type="bibr" rid="B8"> 8</xrgydF4y2Baef>(数学分析30日发表在《暹罗1999)同时有几个结果。特别是,它包括下面的结果。</p><年代t一个tement id="thm2"> <title>定理2。</tgydF4y2Baitle> <p>让<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M40"> <mml:mrow> <mml:mn> 0</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mo> <</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> α</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> ≤</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mrow> <mml:mn> 1</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mo> /</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>和<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M41"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> θ</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 0</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ∈</gydF4y2Bamml:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> l</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> ℝ</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ∩</gydF4y2Bamml:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> l</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> ℝ</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>。然后,存在一个弱解<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M42"> <mml:mi> θ</gydF4y2Bamml:mi> </mml:math> </inline-formula>的<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M43"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mtext> 路上</gydF4y2Bamml:mtext> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> α</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>方程初始数据<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M44"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> θ</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 0</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>这样<dgydF4y2Baisp-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M45"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="EEq8"> <mml:mtd> <mml:mtext> (8)</gydF4y2Bamml:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mfenced open="‖" close="‖" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> θ</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mo> 。,</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> t</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> l</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> ℝ</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ≤</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> C</gydF4y2Bamml:mi> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn> 1</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mo> +</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> t</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> −</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn> 1</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mo> /</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mrow> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mi> α</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo> ,</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula></p> </statement> <statement id="proof1"> <title>证明。</tgydF4y2Baitle> <p>在哪里<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M46"> <mml:mi> C</gydF4y2Bamml:mi> </mml:math> </inline-formula>是一个常数取决于<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M47"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> l</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>和<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M48"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> l</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>规范<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M49"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> θ</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 0</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>。</p><p>gydF4y2Ba的衰败<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M50"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> l</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>和水列夫规范和解决quasi-geostrophic方程的渐近行为也被解决在许多文章(见,例如,<xrgydF4y2Baef ref-type="bibr" rid="B5"> 5</xrgydF4y2Baef>,<xrgydF4y2Baef ref-type="bibr" rid="B11"> 11</xrgydF4y2Baef>- - - - - -<xrgydF4y2Baef ref-type="bibr" rid="B22"> 22</xrgydF4y2Baef>]</p><p>GgydF4y2Balobal-in-time,适定性问题time-decay和渐近行为的解决方案的核心属性理解流体力学模型是如何工作的。事实上,有丰富的文献对这些属性流体动力学pde通过几种方法和不同的框架。在这个方向上,有研究框架包含奇异数据和不变的比例(临界空间),那里的小条件采取弱规范的关键空间(例如,看到评审书(<xrgydF4y2Baef ref-type="bibr" rid="B23"> 23</xrgydF4y2Baef>,<xrgydF4y2Baef ref-type="bibr" rid="B24"> 24</xrgydF4y2Baef>])。特别感兴趣的是pde的分析关键的框架结构是基于傅里叶变换。研究了n - s和quasi-geostrophic方程等空间<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M51"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mtext> 点</gydF4y2Bamml:mtext> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>(<xrgydF4y2Baef ref-type="bibr" rid="B13"> 13</xrgydF4y2Baef>,<xrgydF4y2Baef ref-type="bibr" rid="B25"> 25</xrgydF4y2Baef>,<xrgydF4y2Baef ref-type="bibr" rid="B26"> 26</xrgydF4y2Baef>),Fourier-Besov<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M52"> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal"> ℱ</gydF4y2Bamml:mi> <mml:msubsup> <mml:mi mathvariant="normal"> ℬ</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mrow> <mml:mi> 问</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> ,</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> r</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mo> −</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn> 3</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mo> /</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> 问</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:msubsup> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>(<xrgydF4y2Baef ref-type="bibr" rid="B7"> 7</xrgydF4y2Baef>,<xrgydF4y2Baef ref-type="bibr" rid="B27"> 27</xrgydF4y2Baef>,<xrgydF4y2Baef ref-type="bibr" rid="B28"> 28</xrgydF4y2Baef>),Lei-Lin空间<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M53"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="script"> X</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> σ</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>(<xrgydF4y2Baef ref-type="bibr" rid="B3"> 3</xrgydF4y2Baef>,<xrgydF4y2Baef ref-type="bibr" rid="B29"> 29日</xrgydF4y2Baef>],Fourier-Besov-Morrey<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M54"> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal"> ℱ</gydF4y2Bamml:mi> <mml:msubsup> <mml:mi mathvariant="normal"> N</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mrow> <mml:mi> p</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> ,</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> μ</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> ,</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> r</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mi> 年代</gydF4y2Bamml:mi> </mml:msubsup> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>(<xrgydF4y2Baef ref-type="bibr" rid="B11"> 11</xrgydF4y2Baef>,<xrgydF4y2Baef ref-type="bibr" rid="B30"> 30.</xrgydF4y2Baef>]。在的情况下<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M55"> <mml:mrow> <mml:mi> 问</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> =</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn> 1</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>,Fourier-Besov空间<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M56"> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal"> ℱ</gydF4y2Bamml:mi> <mml:msubsup> <mml:mi mathvariant="normal"> ℬ</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mrow> <mml:mi> 问</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> ,</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> r</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mi> 年代</gydF4y2Bamml:mi> </mml:msubsup> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> ℝ</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>介绍了由Iwabuchi [<xrgydF4y2Baef ref-type="bibr" rid="B31"> 31日</xrgydF4y2Baef>的上下文中)parabolic-elliptic Keller-Segel系统。后来,逐渐繁盛,高田(<xrgydF4y2Baef ref-type="bibr" rid="B7"> 7</xrgydF4y2Baef>)使用的关键<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M57"> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal"> ℱ</gydF4y2Bamml:mi> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal"> ℬ</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1、2</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> −</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn> 1</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msubsup> </mml:mrow> <mml:mo> 。</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mover> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>空间为了获得全球类适定性问题(均匀的角速度)Navier-Stokes-Coriolis系统。在特定的<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M58"> <mml:mrow> <mml:mi> Ω</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> =</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn> 0</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>,他们也获得了全球结果适定性问题<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M59"> <mml:mrow> <mml:mn> 3</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mi> D</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>n - s方程与小初始数据<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M60"> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mi mathvariant="normal"> ℱ</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> ˙</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mover> </mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal"> ℬ</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1、2</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> −</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn> 1</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msubsup> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>。Konieczny和Yoneda<xrgydF4y2Baef ref-type="bibr" rid="B28"> 28</xrgydF4y2Baef>)也显示全球和渐近稳定的小适定性问题解决方案<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M61"> <mml:mrow> <mml:mn> 3</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mi> D</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>n - s方程(Navier-Stokes-Coriolis)在关键Fourier-Besov空间<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M62"> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal"> ℱ</gydF4y2Bamml:mi> <mml:msubsup> <mml:mi mathvariant="normal"> ℬ</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mrow> <mml:mi> p</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> ,</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> ∞</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mo> −</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn> 3</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mo> /</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> 问</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:msubsup> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>,<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M63"> <mml:mrow> <mml:mn> 1</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mo> <</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> p</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> ≤</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> ∞</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>。这些结果对关键Fourier-Besov-Morrey空间的扩展<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M64"> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal"> ℱ</gydF4y2Bamml:mi> <mml:msubsup> <mml:mi mathvariant="normal"> N</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mrow> <mml:mi> p</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> ,</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> μ</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> ,</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> r</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mi> 年代</gydF4y2Bamml:mi> </mml:msubsup> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>(比<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M65"> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mi mathvariant="normal"> ℱ</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> ˙</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mover> </mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mi mathvariant="normal"> ℬ</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mrow> <mml:mi> p</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> ,</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> r</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mi> 年代</gydF4y2Bamml:mi> </mml:msubsup> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>)获得在<xrgydF4y2Baef ref-type="bibr" rid="B30"> 30.</xrgydF4y2Baef>,<xrgydF4y2Baef ref-type="bibr" rid="B32"> 32</xrgydF4y2Baef>]n - s方程(Navier-Stokes-Coriolis)与部分耗散和活跃的标量方程<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M66"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mo> −</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> Δ</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> α</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>(包括<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M67"> <mml:mrow> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mi> D</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>quasi-geostrophic方程<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M68"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mtext> 路上</gydF4y2Bamml:mtext> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> α</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>),分别。</p><p>gydF4y2Ba本文研究的主要目的<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M69"> <mml:mrow> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mi> D</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>quasi-geostrophic方程Lei-Lin框架至关重要的空间<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M70"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="script"> X</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> σ</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>与<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M71"> <mml:mrow> <mml:mi> σ</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> =</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn> 1</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mo> −</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mi> α</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>和<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M72"> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mo> /</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn> 3</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> <mml:mo> <</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> α</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> ≤</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn> 1</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>。我们表明,解决方案<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M73"> <mml:mi> θ</gydF4y2Bamml:mi> </mml:math> </inline-formula>介绍了渐近特性<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M74"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mfenced open="‖" close="‖" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> θ</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> t</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="script"> X</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mo> −</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mi> α</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ⟶</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn> 0</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>作为<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M75"> <mml:mrow> <mml:mi> t</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> ⟶</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn> 0</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>前提是<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M76"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mfenced open="‖" close="‖" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> θ</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> t</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="script"> X</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mo> −</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mi> α</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> <</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mrow> <mml:mn> 1</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mo> /</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn> 4</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>。为此,我们使用标准的插值在傅里叶空间中,能量估计<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M77"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> l</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>,年轻的不平等分布等。我们的主要结果如下。</p></年代t一个tement> <statement id="thm3"> <title>定理3。</tgydF4y2Baitle> <p>让<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M78"> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mo> /</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn> 3</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> <mml:mo> <</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> α</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> <</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn> 1</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mo> ,</gydF4y2Bamml:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mfenced open="‖" close="‖" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> θ</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 0</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="script"> X</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mo> −</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mi> α</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> <</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mrow> <mml:mn> 1</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mo> /</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn> 4</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>和<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M79"> <mml:mrow> <mml:mi> θ</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> ∈</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi mathvariant="script"> C</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> ℝ</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> +</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo> ,</gydF4y2Bamml:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="script"> X</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mo> −</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mi> α</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> ℝ</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>是一个全球性的解决方案<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M80"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mtext> 路上</gydF4y2Bamml:mtext> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> α</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>由定理<xrgydF4y2Baef ref-type="statement" rid="thm1"> 1</xrgydF4y2Baef>。然后,<dgydF4y2Baisp-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M81"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="EEq9"> <mml:mtd> <mml:mtext> (9)</gydF4y2Bamml:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:munder> <mml:mrow> <mml:mtext> lim</gydF4y2Bamml:mtext> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> t</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> ⟶</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> ∞</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:munder> <mml:mfenced open="‖" close="‖" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> θ</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> t</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> x</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mo> −</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mi> α</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo> =</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn> 0。</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula></p> </statement> <statement id="rem1"> <title>备注1。</tgydF4y2Baitle> <p>评论我们的主要结果不是隐含的定理<xrgydF4y2Baef ref-type="statement" rid="thm2"> 2</xrgydF4y2Baef>江诗丹顿-吴,因为我们的工作问题解的渐近性态进入Lei林空间属于一个类的规范是基于傅里叶变换的定义,但它并不包含在<gydF4y2Baitalic> l</gydF4y2Baitalic><sup>2</年代up>虽然这个定理的结果<xrgydF4y2Baef ref-type="statement" rid="thm2"> 2</xrgydF4y2Baef>问题的研究空间<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M82"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> l</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo> ∩</gydF4y2Bamml:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> l</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>。定理的证明技术(<xrgydF4y2Baef ref-type="statement" rid="thm3"> 3</xrgydF4y2Baef>和引理<xrgydF4y2Baef ref-type="statement" rid="lem1"> 1</xrgydF4y2Baef>)吸引相当标准在傅里叶空间插值(创建的必要性<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M83"> <mml:mrow> <mml:mi> α</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> ></gydF4y2Bamml:mo> <mml:mrow> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mo> /</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn> 3</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>而不是更自然<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M84"> <mml:mrow> <mml:mi> α</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> ></gydF4y2Bamml:mo> <mml:mrow> <mml:mn> 1</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mo> /</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>),能源<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M85"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> l</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>预估<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M86"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> θ</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>利用自然的外观<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M87"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="script"> X</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> −</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn> 1</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>规范从年轻的不平等分布,两种用法(定理<xrgydF4y2Baef ref-type="statement" rid="thm3"> 3</xrgydF4y2Baef>)(在前面的工作证明)。</p><p>gydF4y2Ba论文的其余部分组织如下。给出了主要结果<xrgydF4y2Baef ref-type="sec" rid="sec1"> 1</xrgydF4y2Baef>。我们在部分解释框架<xrgydF4y2Baef ref-type="sec" rid="sec2"> 2</xrgydF4y2Baef>。长时间的行为(定理<xrgydF4y2Baef ref-type="statement" rid="thm3"> 3</xrgydF4y2Baef>)成立于<xrgydF4y2Baef ref-type="sec" rid="sec3"> 第三节</xrgydF4y2Baef>。</p></年代t一个tement> </sec> <sec id="sec2"> <title>2。初步</tgydF4y2Baitle> <p>让我们回想一下,在<xrgydF4y2Baef ref-type="bibr" rid="B29"> 29日</xrgydF4y2Baef>],Lei和林引入了一个新的空间,名叫Lei-Lin空间<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M88"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="script"> X</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> −</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn> 1</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>,它属于一个类定义的规范是基于傅里叶变换,但并不包含在<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M89"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> l</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>。在[<xrgydF4y2Baef ref-type="bibr" rid="B3"> 3</xrgydF4y2Baef>],Benameur和班能定义有用的空间研究抛物型pd的适定性问题,椭圆,色散类型。更准确地说,<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M90"> <mml:mrow> <mml:mi> σ</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> ∈</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> ℝ</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>,我们定义<dgydF4y2Baisp-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M91"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="EEq10"> <mml:mtd> <mml:mtext> (10)</gydF4y2Bamml:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="script"> X</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> σ</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> ℝ</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mfenced open="{" close="}" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> f</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> ∈</gydF4y2Bamml:mo> <mml:msup> <mml:mi mathvariant="normal"> 年代</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mrow> <mml:mo> ′</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> ℝ</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ;</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mi> f</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> ^</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mover> </mml:mrow> <mml:mo> ∈</gydF4y2Bamml:mo> <mml:msubsup> <mml:mi> l</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mrow> <mml:mtext> 疯狂的</gydF4y2Bamml:mtext> </mml:mrow> <mml:mn> 1</gydF4y2Bamml:mn> </mml:msubsup> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> ℝ</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mtext> 和</gydF4y2Bamml:mtext> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> ξ</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> ↦</gydF4y2Bamml:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mfenced open="|" close="|" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> ξ</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> σ</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mi> f</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> ^</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mover> </mml:mrow> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> ξ</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ∈</gydF4y2Bamml:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> l</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> ℝ</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ,</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>配备标准<dgydF4y2Baisp-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M92"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="EEq11"> <mml:mtd> <mml:mtext> (11)</gydF4y2Bamml:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mfenced open="‖" close="‖" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> f</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> χ</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> σ</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> =</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mstyle displaystyle="true"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="true"> ∫</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> ℝ</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mfenced open="|" close="|" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> ξ</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> σ</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mfenced open="|" close="|" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mi> f</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> ^</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mover> </mml:mrow> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> ξ</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mfenced> <mml:mtext> d</gydF4y2Bamml:mtext> <mml:mi> ξ</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:mstyle> <mml:mo> 。</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula></p> <p>为了证明定理<xrgydF4y2Baef ref-type="statement" rid="thm3"> 3</xrgydF4y2Baef>,我们需要下面的引理。</p><年代t一个tement id="lem1"> <title>引理1。</tgydF4y2Baitle> <p>为<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M93"> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mo> /</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn> 3</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> <mml:mo> <</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> α</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> <</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn> 1</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>,<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M94"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mi> H</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> ˙</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mover> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> α</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> ℝ</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ⟶</gydF4y2Bamml:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="script"> X</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mo> −</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mi> α</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> ℝ</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>。更准确地说,如果<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M95"> <mml:mrow> <mml:mi> f</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> ∈</gydF4y2Bamml:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mi> H</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> ˙</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mover> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> α</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> ℝ</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ∩</gydF4y2Bamml:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> l</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> ℝ</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>。然后,我们有<dgydF4y2Baisp-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M96"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="EEq12"> <mml:mtd> <mml:mtext> (12)</gydF4y2Bamml:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mfenced open="‖" close="‖" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> f</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="script"> X</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mo> −</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mi> α</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ≤</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> C</gydF4y2Bamml:mi> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mfenced open="‖" close="‖" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> f</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> l</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn> 3</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mi> α</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> −</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mo> /</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> α</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mfenced open="‖" close="‖" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> f</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mi> H</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> ˙</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mover> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> α</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mo> −</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mi> α</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mo> /</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> α</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:mo> 。</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula></p> </statement> <statement id="proof2"> <title>证明。</tgydF4y2Baitle> <p>为<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M97"> <mml:mrow> <mml:mi> λ</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> ></gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn> 0</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>,把<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M98"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mfenced open="‖" close="‖" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> f</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="script"> X</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mo> −</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mi> α</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> =</gydF4y2Bamml:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> 一个</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> λ</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> +</gydF4y2Bamml:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> B</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> λ</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>,在那里<dgydF4y2Baisp-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M99"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="EEq13"> <mml:mtd rowspan="2"> <mml:mtext> (13)</gydF4y2Bamml:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> 一个</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> λ</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> =</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mstyle displaystyle="true"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="true"> ∫</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mfenced open="|" close="|" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> ξ</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> <</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> λ</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mfenced open="|" close="|" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> ξ</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mo> −</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mi> α</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mfenced open="|" close="|" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mi> f</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> ^</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mover> </mml:mrow> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> ξ</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mfenced> <mml:mtext> d</gydF4y2Bamml:mtext> <mml:mi> ξ</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> ,</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mrow> </mml:mstyle> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> B</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> λ</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> =</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mstyle displaystyle="true"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="true"> ∫</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mfenced open="|" close="|" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> ξ</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> <</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> λ</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mfenced open="|" close="|" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> ξ</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mo> −</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mi> α</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mfenced open="|" close="|" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mi> f</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> ^</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mover> </mml:mrow> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> ξ</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mfenced> <mml:mtext> d</gydF4y2Bamml:mtext> <mml:mi> ξ</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:mstyle> <mml:mo> 。</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula></p> <p>让我们开始通过控制第一项;使用cauchy - schwarz不等式,我们得到的<dgydF4y2Baisp-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M100"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="EEq14"> <mml:mtd rowspan="4"> <mml:mtext> (14)</gydF4y2Bamml:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> 一个</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> λ</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> =</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mstyle displaystyle="true"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="true"> ∫</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mfenced open="|" close="|" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> ξ</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> <</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> λ</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mfenced open="|" close="|" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> ξ</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mo> −</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mi> α</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo> ×</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mfenced open="|" close="|" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mi> f</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> ^</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mover> </mml:mrow> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> ξ</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mfenced> <mml:mtext> d</gydF4y2Bamml:mtext> <mml:mi> ξ</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:mstyle> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mo> ≤</gydF4y2Bamml:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mstyle displaystyle="true"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="true"> ∫</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mfenced open="|" close="|" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> ξ</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> <</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> λ</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mfenced open="|" close="|" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mi> f</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> ^</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mover> </mml:mrow> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> ξ</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mfenced> <mml:mtext> d</gydF4y2Bamml:mtext> <mml:mi> ξ</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:mstyle> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mo> /</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mstyle displaystyle="true"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="true"> ∫</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mfenced open="|" close="|" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> ξ</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> <</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> λ</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mfenced open="|" close="|" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> ξ</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mo> −</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn> 4</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mi> α</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mtext> d</gydF4y2Bamml:mtext> <mml:mi> ξ</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:mstyle> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mo> /</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mtd> </mml:mtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mo> ≤</gydF4y2Bamml:mo> <mml:msqrt> <mml:mrow> <mml:mn> 4</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mi> π</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:msqrt> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mfenced open="‖" close="‖" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> f</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> l</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mstyle displaystyle="true"> <mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mo stretchy="true"> ∫</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn> 0</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mi> λ</gydF4y2Bamml:mi> </mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> r</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 3</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mo> −</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn> 4</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mi> α</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mtext> d</gydF4y2Bamml:mtext> <mml:mi> r</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:mstyle> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mo> /</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mtd> </mml:mtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mo> ≤</gydF4y2Bamml:mo> <mml:msqrt> <mml:mrow> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mn> 4</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mi> π</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 4</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mo> −</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn> 4</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mi> α</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:mfrac> </mml:mrow> </mml:msqrt> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mfenced open="‖" close="‖" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> f</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> l</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> λ</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 4</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mo> −</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn> 4</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mi> α</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mo> /</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo> 。</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula></p> <p>因此,<dgydF4y2Baisp-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M101"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="EEq15"> <mml:mtd> <mml:mtext> (15)</gydF4y2Bamml:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> 一个</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> λ</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ≤</gydF4y2Bamml:mo> <mml:msqrt> <mml:mrow> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mn> 4</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mi> π</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 4</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mo> −</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn> 4</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mi> α</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:mfrac> </mml:mrow> </mml:msqrt> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> λ</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mo> −</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mi> α</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mfenced open="‖" close="‖" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> f</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> l</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> 。</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula></p> <p>类似的计算上述产量<dgydF4y2Baisp-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M102"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="EEq16"> <mml:mtd rowspan="4"> <mml:mtext> (16)</gydF4y2Bamml:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> B</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> λ</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> =</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mstyle displaystyle="true"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="true"> ∫</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mfenced open="|" close="|" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> ξ</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ></gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> λ</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mfenced open="|" close="|" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> ξ</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> α</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mfenced open="|" close="|" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mi> f</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> ^</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mover> </mml:mrow> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> ξ</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mfenced> <mml:mo> ×</gydF4y2Bamml:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mfenced open="|" close="|" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> ξ</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mo> −</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn> 3</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mi> α</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mtext> d</gydF4y2Bamml:mtext> <mml:mi> ξ</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:mstyle> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mo> ≤</gydF4y2Bamml:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mstyle displaystyle="true"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="true"> ∫</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mfenced open="|" close="|" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> ξ</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ></gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> λ</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mfenced open="|" close="|" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> ξ</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mi> α</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mfenced open="|" close="|" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mi> f</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> ^</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mover> </mml:mrow> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> ξ</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mfenced> <mml:mtext> d</gydF4y2Bamml:mtext> <mml:mi> ξ</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:mstyle> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mo> /</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mstyle displaystyle="true"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="true"> ∫</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mfenced open="|" close="|" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> ξ</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ></gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> λ</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mfenced open="|" close="|" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> ξ</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mo> −</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn> 6</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mi> α</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mtext> d</gydF4y2Bamml:mtext> <mml:mi> ξ</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:mstyle> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mo> /</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mtd> </mml:mtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mo> ≤</gydF4y2Bamml:mo> <mml:msqrt> <mml:mrow> <mml:mn> 4</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mi> π</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:msqrt> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mfenced open="‖" close="‖" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> f</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mi> H</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> ˙</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mover> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> α</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mstyle displaystyle="true"> <mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mo stretchy="true"> ∫</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> λ</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mi> ∞</gydF4y2Bamml:mi> </mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> r</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 3</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mo> −</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn> 6</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mi> α</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mtext> d</gydF4y2Bamml:mtext> <mml:mi> r</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:mstyle> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mo> /</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mtd> </mml:mtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mo> ≤</gydF4y2Bamml:mo> <mml:msqrt> <mml:mrow> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mn> 4</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mi> π</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 6</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mi> α</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> −</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn> 4</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:mfrac> </mml:mrow> </mml:msqrt> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> λ</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mo> −</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn> 3</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mi> α</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mfenced open="‖" close="‖" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> f</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mi> H</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> ˙</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mover> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> α</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> 。</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula></p> <p>然后,<dgydF4y2Baisp-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M103"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="EEq17"> <mml:mtd> <mml:mtext> (17)</gydF4y2Bamml:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> B</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> λ</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ≤</gydF4y2Bamml:mo> <mml:msqrt> <mml:mrow> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mn> 4</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mi> π</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 6</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mi> α</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> −</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn> 4</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:mfrac> </mml:mrow> </mml:msqrt> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> λ</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mo> −</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn> 3</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mi> α</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mfenced open="‖" close="‖" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> f</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mi> H</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> ˙</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mover> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> α</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> 。</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula></p> <p>结合(<xrgydF4y2Baef ref-type="disp-formula" rid="EEq15"> 15</xrgydF4y2Baef>)和(<xrgydF4y2Baef ref-type="disp-formula" rid="EEq17"> 17</xrgydF4y2Baef>),我们得到<dgydF4y2Baisp-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M104"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="EEq18"> <mml:mtd> <mml:mtext> (18)</gydF4y2Bamml:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mfenced open="‖" close="‖" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> f</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="script"> X</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mo> −</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mi> α</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ≤</gydF4y2Bamml:mo> <mml:msqrt> <mml:mrow> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mn> 4</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mi> π</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 4</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mo> −</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn> 4</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mi> α</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:mfrac> </mml:mrow> </mml:msqrt> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> λ</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mo> −</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mi> α</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mfenced open="‖" close="‖" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> f</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> l</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> +</gydF4y2Bamml:mo> <mml:msqrt> <mml:mrow> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mn> 4</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mi> π</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 6</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mi> α</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> −</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn> 4</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:mfrac> </mml:mrow> </mml:msqrt> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> λ</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mo> −</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn> 3</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mi> α</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mfenced open="‖" close="‖" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> f</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mi> H</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> ˙</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mover> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> α</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> 。</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula></p> <p>优化<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M105"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mfenced open="‖" close="‖" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> f</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="script"> X</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mo> −</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mi> α</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>,它可以选择<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M106"> <mml:mrow> <mml:mi> λ</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> =</gydF4y2Bamml:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mfenced open="‖" close="‖" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> f</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mi> H</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> ˙</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mover> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> α</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo> /</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mfenced open="‖" close="‖" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> f</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> l</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mo> /</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> α</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>获得(<xrgydF4y2Baef ref-type="disp-formula" rid="EEq12"> 12</xrgydF4y2Baef>)。</p></年代t一个tement> </sec> <sec id="sec3"> <title>3所示。主要定理的证明</tgydF4y2Baitle> <p>本节的主要目的是研究渐近行为的全球解决方案给出的定理<xrgydF4y2Baef ref-type="statement" rid="thm1"> 1</xrgydF4y2Baef>。证明了从[<xrgydF4y2Baef ref-type="bibr" rid="B33"> 33</xrgydF4y2Baef>]。</p><p>gydF4y2Ba首先,我们需要<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M107"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> θ</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 0</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo> ∈</gydF4y2Bamml:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="script"> X</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mo> −</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mi> α</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>。</p><p>gydF4y2Ba让<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M108"> <mml:mrow> <mml:mi> ε</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> ></gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn> 0</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>,这样<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M109"> <mml:mrow> <mml:mi> ε</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> ≤</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mrow> <mml:mn> 1</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mo> /</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn> 8</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>。为<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M110"> <mml:mrow> <mml:mi> n</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> ∈</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> ℕ</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>,把<dgydF4y2Baisp-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M111"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="EEq19"> <mml:mtd> <mml:mtext> (19)</gydF4y2Bamml:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal"> 一个</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> =</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mfenced open="{" close="}" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> ξ</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> ∈</gydF4y2Bamml:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> ℝ</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo> ;</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mfenced open="|" close="|" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> ξ</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ≤</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> n</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mtext> 和</gydF4y2Bamml:mtext> <mml:mfenced open="|" close="|" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mi> θ</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> ^</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mover> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 0</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> ξ</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ≤</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> n</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> 。</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula></p> <p>我们有<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M112"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal"> ℱ</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> −</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn> 1</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mn> 11</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal"> 一个</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> 。</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> θ</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 0</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="true"> ^</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mover> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>是收敛的<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M113"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="script"> X</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mo> −</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mi> α</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>来<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M114"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> θ</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 0</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>。然后,有<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M115"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> n</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 0</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ∈</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> ℕ</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>这样<dgydF4y2Baisp-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M116"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="EEq20"> <mml:mtd> <mml:mtext> (20)</gydF4y2Bamml:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mfenced open="‖" close="‖" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> θ</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 0</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo> −</gydF4y2Bamml:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal"> ℱ</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> −</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn> 1</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mn> 11</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal"> 一个</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> θ</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 0</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="true"> ^</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mover> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="script"> X</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mo> −</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mi> α</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ≤</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mrow> <mml:mi> ε</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> /</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn> 4</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> <mml:mo> ,</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi class="cond"> </mml:mi> <mml:mo> ∀</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> n</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> ≥</gydF4y2Bamml:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> n</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 0</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> 。</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula></p> <p>让<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M117"> <mml:mrow> <mml:mi> n</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> ≥</gydF4y2Bamml:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> n</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 0</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>是一个固定的整数。把<dgydF4y2Baisp-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M118"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="EEq21"> <mml:mtd rowspan="2"> <mml:mtext> (21)</gydF4y2Bamml:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:msubsup> <mml:mi> θ</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mi> n</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mn> 0</gydF4y2Bamml:mn> </mml:msubsup> <mml:mo> =</gydF4y2Bamml:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal"> ℱ</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> −</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn> 1</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mn> 11</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal"> 一个</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> 。</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> θ</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 0</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="true"> ^</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mover> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ,</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:msubsup> <mml:mi> w</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mi> n</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mn> 0</gydF4y2Bamml:mn> </mml:msubsup> <mml:mo> =</gydF4y2Bamml:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> θ</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 0</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo> −</gydF4y2Bamml:mo> <mml:msubsup> <mml:mi> θ</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mi> n</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mn> 0</gydF4y2Bamml:mn> </mml:msubsup> <mml:mo> 。</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula></p> <p>然后,<dgydF4y2Baisp-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M119"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="EEq22"> <mml:mtd rowspan="2"> <mml:mtext> (22)</gydF4y2Bamml:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mfenced open="‖" close="‖" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mi> w</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mi> n</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mn> 0</gydF4y2Bamml:mn> </mml:msubsup> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="script"> X</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mo> −</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mi> α</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ≤</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> ε</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> /</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn> 4</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ,</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:msubsup> <mml:mi> θ</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mi> n</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mn> 0</gydF4y2Bamml:mn> </mml:msubsup> <mml:mo> ∈</gydF4y2Bamml:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="script"> X</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mo> −</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mi> α</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> ℝ</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ∩</gydF4y2Bamml:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> l</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> ℝ</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> 。</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula></p> <p>考虑到系统<dgydF4y2Baisp-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M120"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="EEq23"> <mml:mtd> <mml:mtext> (23)</gydF4y2Bamml:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mtable> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mtext> 路上</gydF4y2Bamml:mtext> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> α</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mrow> <mml:mfenced open="{" close="" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mtable class="cases"> <mml:mtr columnalign="left"> <mml:mtd columnalign="left"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo> ∂</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> t</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> w</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> +</gydF4y2Bamml:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mo> −</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> Δ</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> α</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> w</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> +</gydF4y2Bamml:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> u</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> w</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mi> ·</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> ∇</gydF4y2Bamml:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> w</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> =</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn> 0</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mo> ,</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi class="cond"> </mml:mi> <mml:mi> x</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> ∈</gydF4y2Bamml:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> ℝ</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo> ,</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> t</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> ></gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn> 0</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mo> ,</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mrow> </mml:mtd> </mml:mtr> <mml:mtr columnalign="left"> <mml:mtd columnalign="left"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> w</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn> 0</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mo> ,</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> x</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</gydF4y2Bamml:mo> <mml:msubsup> <mml:mi> w</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mi> n</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mn> 0</gydF4y2Bamml:mn> </mml:msubsup> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> x</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> 。</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mrow> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula></p> <p>对所有<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M121"> <mml:mrow> <mml:mi> n</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> ≥</gydF4y2Bamml:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> n</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 0</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>,我们有<dgydF4y2Baisp-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M122"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="EEq24"> <mml:mtd> <mml:mtext> (24)</gydF4y2Bamml:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mfenced open="‖" close="‖" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mi> w</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mi> n</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mn> 0</gydF4y2Bamml:mn> </mml:msubsup> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="script"> X</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mo> −</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mi> α</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ≤</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mfrac> <mml:mi> ε</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mn> 4</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mfrac> <mml:mo> 。</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula></p> <p>使用定理<xrgydF4y2Baef ref-type="statement" rid="thm1"> 1</xrgydF4y2Baef>;然后,存在一个全球独一无二的解决方案<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M123"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> w</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ∈</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi mathvariant="script"> C</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> ℝ</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> +</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo> ,</gydF4y2Bamml:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="script"> X</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mo> −</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mi> α</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> ℝ</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ∩</gydF4y2Bamml:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> l</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> ℝ</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> +</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo> ,</gydF4y2Bamml:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="script"> X</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> ℝ</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>。</p><p>gydF4y2Ba此外,<dgydF4y2Baisp-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M124"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="EEq25"> <mml:mtd> <mml:mtext> (25)</gydF4y2Bamml:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mfenced open="‖" close="‖" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> w</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> t</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="script"> X</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mo> −</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mi> α</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> +</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn> 1</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mo> −</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn> 4</gydF4y2Bamml:mn> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mfenced open="‖" close="‖" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mi> w</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mi> n</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mn> 0</gydF4y2Bamml:mn> </mml:msubsup> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="script"> X</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mo> −</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mi> α</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mstyle displaystyle="true"> <mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mo stretchy="true"> ∫</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn> 0</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mi> t</gydF4y2Bamml:mi> </mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mfenced open="‖" close="‖" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> w</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="script"> X</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mtext> d</gydF4y2Bamml:mtext> <mml:mi> 年代</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:mstyle> <mml:mo> ≤</gydF4y2Bamml:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mfenced open="‖" close="‖" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mi> w</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mi> n</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mn> 0</gydF4y2Bamml:mn> </mml:msubsup> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="script"> X</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mo> −</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mi> α</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi class="cond"> </mml:mi> <mml:mo> ∀</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> t</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> ≥</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn> 0。</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula></p> <p>此外,<dgydF4y2Baisp-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M125"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="EEq26"> <mml:mtd> <mml:mtext> (26)</gydF4y2Bamml:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mfenced open="{" close="" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mtable class="cases"> <mml:mtr columnalign="left"> <mml:mtd columnalign="left"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo> ∂</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> t</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mi> θ</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> +</gydF4y2Bamml:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mo> −</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> Δ</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> α</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mi> θ</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> +</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> u</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mi> ·</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> ∇</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> θ</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> =</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn> 0</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mo> ,</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mrow> </mml:mtd> </mml:mtr> <mml:mtr columnalign="left"> <mml:mtd columnalign="left"> <mml:mrow> <mml:mi> θ</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn> 0</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</gydF4y2Bamml:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> θ</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 0</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo> ∈</gydF4y2Bamml:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="script"> X</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mo> −</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mi> α</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo> 。</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mrow> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula></p> <p>把<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M126"> <mml:mrow> <mml:mi> θ</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> =</gydF4y2Bamml:mo> <mml:munder> <mml:munder> <mml:mrow> <mml:mi> θ</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> −</gydF4y2Bamml:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> w</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="true"> ︸</gydF4y2Bamml:mo> </mml:munder> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> θ</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:munder> <mml:mo> +</gydF4y2Bamml:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> w</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>。然后,<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M127"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> θ</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>是一个解决以下系统:<dgydF4y2Baisp-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M128"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="EEq27"> <mml:mtd> <mml:mtext> (27)</gydF4y2Bamml:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mfenced open="{" close="" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mtable class="cases"> <mml:mtr columnalign="left"> <mml:mtd columnalign="left"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo> ∂</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> t</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> θ</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> +</gydF4y2Bamml:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mo> −</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> Δ</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> α</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> θ</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> +</gydF4y2Bamml:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> u</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> θ</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mi> ·</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> ∇</gydF4y2Bamml:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> θ</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> +</gydF4y2Bamml:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> u</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> θ</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mi> ·</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> ∇</gydF4y2Bamml:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> w</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> +</gydF4y2Bamml:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> u</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> w</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mi> ·</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> ∇</gydF4y2Bamml:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> θ</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> =</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn> 0</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mo> ,</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mrow> </mml:mtd> </mml:mtr> <mml:mtr columnalign="left"> <mml:mtd columnalign="left"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> θ</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn> 0</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</gydF4y2Bamml:mo> <mml:msubsup> <mml:mi> θ</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mi> n</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mn> 0</gydF4y2Bamml:mn> </mml:msubsup> <mml:mo> ∈</gydF4y2Bamml:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="script"> X</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mo> −</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mi> α</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo> ∩</gydF4y2Bamml:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> l</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo> 。</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mrow> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula></p> <p>通过内积<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M129"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> l</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> ℝ</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>与<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M130"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> θ</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>,我们得到<dgydF4y2Baisp-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M131"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="EEq28"> <mml:mtd> <mml:mtext> (28)</gydF4y2Bamml:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mfrac> <mml:mn> 1</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mfrac> <mml:mfrac> <mml:mtext> d</gydF4y2Bamml:mtext> <mml:mrow> <mml:mtext> d</gydF4y2Bamml:mtext> <mml:mi> t</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mfenced open="‖" close="‖" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> θ</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> l</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> </mml:msubsup> <mml:mo> +</gydF4y2Bamml:mo> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mfenced open="‖" close="‖" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> θ</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mi> H</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> ˙</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mover> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> α</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> </mml:msubsup> <mml:mo> ≤</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mfenced open="|" close="|" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mfenced open="〈" close="〉" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> u</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> θ</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mi> ·</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> ∇</gydF4y2Bamml:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> w</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</gydF4y2Bamml:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> θ</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> l</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> 。</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula></p> <p>然后,<dgydF4y2Baisp-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M132"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="EEq29"> <mml:mtd rowspan="4"> <mml:mtext> (29)</gydF4y2Bamml:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mfrac> <mml:mn> 1</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mfrac> <mml:mfrac> <mml:mtext> d</gydF4y2Bamml:mtext> <mml:mrow> <mml:mtext> d</gydF4y2Bamml:mtext> <mml:mi> t</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:msubsup> <mml:mfenced open="‖" close="‖" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> θ</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> l</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> </mml:msubsup> <mml:mo> +</gydF4y2Bamml:mo> <mml:msubsup> <mml:mfenced open="‖" close="‖" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> θ</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mi> H</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> ˙</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mover> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> α</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> </mml:msubsup> <mml:mo> ≤</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mfenced open="|" close="|" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mfenced open="〈" close="〉" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> u</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> θ</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mi> ·</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> ∇</gydF4y2Bamml:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> w</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</gydF4y2Bamml:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> θ</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> l</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mo> ≤</gydF4y2Bamml:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mfenced open="‖" close="‖" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> u</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> θ</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mi> ·</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> ∇</gydF4y2Bamml:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> w</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> l</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mfenced open="‖" close="‖" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> θ</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> l</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mtd> </mml:mtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mo> ≤</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> C</gydF4y2Bamml:mi> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mfenced open="‖" close="‖" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal"> ℱ</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> u</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> θ</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mi> ·</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> ∇</gydF4y2Bamml:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> w</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> l</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mfenced open="‖" close="‖" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> θ</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> l</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mtd> </mml:mtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mo> ≤</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> C</gydF4y2Bamml:mi> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mfenced open="‖" close="‖" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal"> ℱ</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> u</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> θ</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mi> ∗</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mi mathvariant="normal"> ℱ</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> ∇</gydF4y2Bamml:mi> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> w</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> l</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mfenced open="‖" close="‖" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> θ</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> l</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> 。</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula></p> <p>年轻的不平等,我们获得<dgydF4y2Baisp-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M133"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="EEq30"> <mml:mtd rowspan="2"> <mml:mtext> (30)</gydF4y2Bamml:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mfrac> <mml:mn> 1</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mfrac> <mml:mfrac> <mml:mtext> d</gydF4y2Bamml:mtext> <mml:mrow> <mml:mtext> d</gydF4y2Bamml:mtext> <mml:mi> t</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:msubsup> <mml:mfenced open="‖" close="‖" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> θ</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> l</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> </mml:msubsup> <mml:mo> +</gydF4y2Bamml:mo> <mml:msubsup> <mml:mfenced open="‖" close="‖" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> θ</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mi> H</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> ˙</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mover> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> α</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> </mml:msubsup> <mml:mo> ≤</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> C</gydF4y2Bamml:mi> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mfenced open="‖" close="‖" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal"> ℱ</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> u</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> θ</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> l</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mfenced open="‖" close="‖" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal"> ℱ</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mo> ∇</gydF4y2Bamml:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> w</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> l</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mfenced open="‖" close="‖" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> θ</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> l</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mo> ≤</gydF4y2Bamml:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> C</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mfenced open="‖" close="‖" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal"> ℱ</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mo> ∇</gydF4y2Bamml:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> w</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> l</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:msubsup> <mml:mfenced open="‖" close="‖" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> θ</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> l</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> </mml:msubsup> <mml:mo> 。</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula></p> <p>因此,<dgydF4y2Baisp-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M134"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="EEq31"> <mml:mtd> <mml:mtext> (31)</gydF4y2Bamml:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mfrac> <mml:mn> 1</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mfrac> <mml:mfrac> <mml:mi> d</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mrow> <mml:mi> d</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mi> t</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mfenced open="‖" close="‖" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> θ</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> l</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> </mml:msubsup> <mml:mo> +</gydF4y2Bamml:mo> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mfenced open="‖" close="‖" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> θ</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mi> H</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> ˙</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mover> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> α</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> </mml:msubsup> <mml:mo> ≤</gydF4y2Bamml:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> C</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mfenced open="‖" close="‖" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> w</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="script"> X</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="bold"> 1</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mfenced open="‖" close="‖" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> θ</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> l</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> </mml:msubsup> <mml:mo> 。</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula></p> <p>对时间积分,我们获得<dgydF4y2Baisp-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M135"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="EEq32"> <mml:mtd> <mml:mtext> (32)</gydF4y2Bamml:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mfenced open="‖" close="‖" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> θ</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> l</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> </mml:msubsup> <mml:mo> +</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mstyle displaystyle="true"> <mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mo stretchy="true"> ∫</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn> 0</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mi> t</gydF4y2Bamml:mi> </mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mfenced open="‖" close="‖" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> θ</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mi> H</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> ˙</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mover> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> α</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> </mml:msubsup> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:mstyle> <mml:mo> ≤</gydF4y2Bamml:mo> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mfenced open="‖" close="‖" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mi> θ</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mi> n</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mn> 0</gydF4y2Bamml:mn> </mml:msubsup> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> l</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> </mml:msubsup> <mml:mo> +</gydF4y2Bamml:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> C</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mstyle displaystyle="true"> <mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mo stretchy="true"> ∫</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn> 0</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mi> t</gydF4y2Bamml:mi> </mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mfenced open="‖" close="‖" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> w</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="script"> X</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:mstyle> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mfenced open="‖" close="‖" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> θ</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> l</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> </mml:msubsup> <mml:mo> 。</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula></p> <p>通过Gronwall引理,我们得到的<dgydF4y2Baisp-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M136"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="EEq33"> <mml:mtd rowspan="2"> <mml:mtext> (33)</gydF4y2Bamml:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:msubsup> <mml:mfenced open="‖" close="‖" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> θ</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> l</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> </mml:msubsup> <mml:mo> ≤</gydF4y2Bamml:mo> <mml:msubsup> <mml:mfenced open="‖" close="‖" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mi> θ</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mi> n</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mn> 0</gydF4y2Bamml:mn> </mml:msubsup> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> l</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> </mml:msubsup> <mml:mi mathvariant="normal"> 经验值</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> C</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mstyle displaystyle="true"> <mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mo stretchy="true"> ∫</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn> 0</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mi> t</gydF4y2Bamml:mi> </mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mfenced open="‖" close="‖" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> w</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="script"> X</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="bold"> 1</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:mstyle> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mo> ≤</gydF4y2Bamml:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> C</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:msubsup> <mml:mfenced open="‖" close="‖" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mi> θ</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mi> n</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mn> 0</gydF4y2Bamml:mn> </mml:msubsup> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> l</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> </mml:msubsup> <mml:mo> 。</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula></p> <p>结合(<xrgydF4y2Baef ref-type="disp-formula" rid="EEq32"> 32</xrgydF4y2Baef>)和(<xrgydF4y2Baef ref-type="disp-formula" rid="EEq33"> 33</xrgydF4y2Baef>),我们得到<dgydF4y2Baisp-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M137"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="EEq34"> <mml:mtd rowspan="2"> <mml:mtext> (34)</gydF4y2Bamml:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:msubsup> <mml:mfenced open="‖" close="‖" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> θ</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> l</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> </mml:msubsup> <mml:mo> +</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mstyle displaystyle="true"> <mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mo stretchy="true"> ∫</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn> 0</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mi> t</gydF4y2Bamml:mi> </mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mfenced open="‖" close="‖" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> θ</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mi> H</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> ˙</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mover> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> α</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> </mml:msubsup> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:mstyle> <mml:mo> ≤</gydF4y2Bamml:mo> <mml:msubsup> <mml:mfenced open="‖" close="‖" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mi> θ</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mi> n</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mn> 0</gydF4y2Bamml:mn> </mml:msubsup> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> l</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> </mml:msubsup> <mml:mo> +</gydF4y2Bamml:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> C</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 0</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:msubsup> <mml:mfenced open="‖" close="‖" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mi> θ</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mi> n</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mn> 0</gydF4y2Bamml:mn> </mml:msubsup> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> l</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> </mml:msubsup> <mml:mstyle displaystyle="true"> <mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mo stretchy="true"> ∫</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn> 0</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mi> ∞</gydF4y2Bamml:mi> </mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mfenced open="‖" close="‖" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> w</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="script"> X</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="bold"> 1</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:mstyle> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mo> ≤</gydF4y2Bamml:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 米</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> 。</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mtext> </mml:mtext> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula></p> <p>应用引理<xrgydF4y2Baef ref-type="statement" rid="lem1"> 1</xrgydF4y2Baef>来<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M138"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> θ</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>,我们推断<dgydF4y2Baisp-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M139"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="EEq35"> <mml:mtd> <mml:mtext> (35)</gydF4y2Bamml:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mfenced open="‖" close="‖" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> θ</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="script"> X</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mo> −</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mi> α</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ≤</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> C</gydF4y2Bamml:mi> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mfenced open="‖" close="‖" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> θ</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> l</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn> 3</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mi> α</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> −</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mo> /</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> α</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mfenced open="‖" close="‖" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> θ</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mi> H</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> ˙</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mover> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> α</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mo> −</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mi> α</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mo> /</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> α</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:mo> 。</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula></p> <p>然后,<dgydF4y2Baisp-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M140"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="EEq36"> <mml:mtd> <mml:mtext> (36)</gydF4y2Bamml:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mfenced open="‖" close="‖" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> θ</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="script"> X</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mo> −</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mi> α</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> α</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> /</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mrow> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn> 1</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mo> −</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> α</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:mo> ≤</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> C</gydF4y2Bamml:mi> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mfenced open="‖" close="‖" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> θ</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> l</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn> 3</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mi> α</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> −</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mo> /</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mrow> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn> 1</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mo> −</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> α</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mfenced open="‖" close="‖" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> θ</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mi> H</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> ˙</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mover> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> α</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> </mml:msubsup> <mml:mo> 。</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula></p> <p>从(<xrgydF4y2Baef ref-type="disp-formula" rid="EEq33"> 33</xrgydF4y2Baef>),<dgydF4y2Baisp-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M141"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="EEq37"> <mml:mtd> <mml:mtext> (37)</gydF4y2Bamml:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mfenced open="‖" close="‖" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> θ</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="script"> X</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mo> −</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mi> α</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> α</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> /</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mrow> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn> 1</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mo> −</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> α</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:mo> ≤</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> C</gydF4y2Bamml:mi> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mfenced open="‖" close="‖" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> θ</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mi> H</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> ˙</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mover> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> α</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> </mml:msubsup> <mml:mo> 。</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula></p> <p>因此,通过整合和0之间<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M142"> <mml:mi> ∞</gydF4y2Bamml:mi> </mml:math> </inline-formula>,我们得到<dgydF4y2Baisp-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M143"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="EEq38"> <mml:mtd> <mml:mtext> (38)</gydF4y2Bamml:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mstyle displaystyle="true"> <mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mo stretchy="true"> ∫</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn> 0</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mi> ∞</gydF4y2Bamml:mi> </mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mfenced open="‖" close="‖" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> θ</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="script"> X</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mo> −</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mi> α</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> α</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> /</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mrow> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn> 1</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mo> −</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> α</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:msubsup> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:mstyle> <mml:mo> ≤</gydF4y2Bamml:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> C</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 0</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mstyle displaystyle="true"> <mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mo stretchy="true"> ∫</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn> 0</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mi> ∞</gydF4y2Bamml:mi> </mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mfenced open="‖" close="‖" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> θ</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mi> H</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> ˙</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mover> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> α</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> </mml:msubsup> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:mstyle> <mml:mo> 。</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula></p> <p>考虑以下的子集<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M144"> <mml:mrow> <mml:mfenced open="[" close="[" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn> 0</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mo> ,</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> ∞</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>:<dgydF4y2Baisp-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M145"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="EEq39"> <mml:mtd> <mml:mtext> (39)</gydF4y2Bamml:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> P</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> ε</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> =</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mfenced open="{" close="}" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> t</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> ≥</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn> 0</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mo> ;</gydF4y2Bamml:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mfenced open="‖" close="‖" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> θ</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> t</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="script"> X</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mo> −</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mi> α</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> ℝ</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ≥</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mfrac> <mml:mi> ε</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mn> 4</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mfrac> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> 。</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula></p> <p>我们有<dgydF4y2Baisp-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M146"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="EEq40"> <mml:mtd> <mml:mtext> (40)</gydF4y2Bamml:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mfenced open="‖" close="‖" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> θ</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> t</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="script"> X</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mo> −</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mi> α</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> ℝ</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ≥</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn mathvariant="bold"> 1</gydF4y2Bamml:mn> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> P</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> ε</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> t</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mfrac> <mml:mi> ε</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mn> 4</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mfrac> <mml:mo> 。</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula></p> <p>然后,对所有<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M147"> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mo> /</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> <mml:mo> <</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> α</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> ≤</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn> 1</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>,<dgydF4y2Baisp-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M148"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="EEq41"> <mml:mtd> <mml:mtext> (41)</gydF4y2Bamml:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mfenced open="‖" close="‖" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> θ</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> t</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="script"> X</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mo> −</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mi> α</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> α</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> /</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mrow> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn> 1</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mo> −</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> α</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> ℝ</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ≥</gydF4y2Bamml:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="bold"> 1</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> P</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> ε</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> t</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mfrac> <mml:mi> ε</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mn> 4</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mfrac> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> α</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> /</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mrow> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn> 1</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mo> −</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> α</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo> 。</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula></p> <p>因此,<dgydF4y2Baisp-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M149"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="EEq42"> <mml:mtd> <mml:mtext> (42)</gydF4y2Bamml:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mstyle displaystyle="true"> <mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mo stretchy="true"> ∫</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn> 0</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mi> ∞</gydF4y2Bamml:mi> </mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mfenced open="‖" close="‖" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> θ</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> t</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="script"> X</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mo> −</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mi> α</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> ℝ</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> α</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> /</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mrow> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn> 1</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mo> −</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> α</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:mtext> d</gydF4y2Bamml:mtext> <mml:mi> t</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:mstyle> <mml:mo> ≥</gydF4y2Bamml:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> λ</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> P</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> ε</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mfrac> <mml:mi> ε</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mn> 4</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mfrac> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> α</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> /</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mrow> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn> 1</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mo> −</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> α</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo> 。</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula></p> <p>使用不平等(<xrgydF4y2Baef ref-type="disp-formula" rid="EEq38"> 38</xrgydF4y2Baef>),我们得到<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M150"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> λ</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> P</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> ε</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> <</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> ∞</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>和<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M151"> <mml:mrow> <mml:mfenced open="[" close="[" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn> 0</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mo> ,</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> ∞</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mi mathvariant="normal"> ∖</gydF4y2Bamml:mi> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> P</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> ε</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ≠</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mo> ∅</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>。</p><p>gydF4y2Ba因此,存在<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M152"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> t</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 0</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ∈</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mfenced open="[" close="[" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn> 0</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mo> ,</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> ∞</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mi mathvariant="normal"> ∖</gydF4y2Bamml:mi> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> P</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> ε</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>。特别是,<dgydF4y2Baisp-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M153"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="EEq43"> <mml:mtd> <mml:mtext> (43)</gydF4y2Bamml:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mfenced open="‖" close="‖" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> θ</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> t</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 0</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="script"> X</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mo> −</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mi> α</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> ℝ</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> <</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mfrac> <mml:mi> ε</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mn> 4</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mfrac> <mml:mo> 。</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula></p> <p>现在,把<dgydF4y2Baisp-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M154"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="EEq44"> <mml:mtd rowspan="2"> <mml:mtext> (44)</gydF4y2Bamml:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mi> θ</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> t</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 0</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</gydF4y2Bamml:mo> <mml:munder> <mml:mrow> <mml:mi> θ</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> t</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 0</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> −</gydF4y2Bamml:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> w</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> t</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 0</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="true"> ︸</gydF4y2Bamml:mo> </mml:munder> <mml:mo> +</gydF4y2Bamml:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> w</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> t</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 0</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mo> =</gydF4y2Bamml:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> θ</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> t</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 0</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> +</gydF4y2Bamml:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> w</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> t</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 0</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> 。</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula></p> <p>因此,通过(<xrgydF4y2Baef ref-type="disp-formula" rid="EEq24"> 24</xrgydF4y2Baef>),我们得到<dgydF4y2Baisp-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M155"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="EEq45"> <mml:mtd rowspan="3"> <mml:mtext> (45)</gydF4y2Bamml:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mfenced open="‖" close="‖" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> θ</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> t</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 0</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="script"> X</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mo> −</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mi> α</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ≤</gydF4y2Bamml:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mfenced open="‖" close="‖" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> θ</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> t</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 0</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="script"> X</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mo> −</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mi> α</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> +</gydF4y2Bamml:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mfenced open="‖" close="‖" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> w</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> t</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 0</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="script"> X</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mo> −</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mi> α</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mo> ≤</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mfrac> <mml:mi> ε</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mn> 4</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mfrac> <mml:mo> +</gydF4y2Bamml:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mfenced open="‖" close="‖" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mi> w</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mi> n</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mn> 0</gydF4y2Bamml:mn> </mml:msubsup> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="script"> X</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mo> −</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mi> α</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mtd> </mml:mtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mo> ≤</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mfrac> <mml:mi> ε</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mn> 4</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mfrac> <mml:mo> +</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mfrac> <mml:mi> ε</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mn> 4</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mfrac> <mml:mo> 。</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula></p> <p>因此,<dgydF4y2Baisp-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M156"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="EEq46"> <mml:mtd> <mml:mtext> (46)</gydF4y2Bamml:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mfenced open="‖" close="‖" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> θ</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> t</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 0</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="script"> X</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mo> −</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mi> α</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ≤</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mfrac> <mml:mi> ε</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mfrac> <mml:mo> ≤</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> ε</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> 。</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula></p> <p>让我们考虑以下方程:<dgydF4y2Baisp-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M157"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="EEq47"> <mml:mtd> <mml:mtext> (47)</gydF4y2Bamml:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mfenced open="{" close="" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mtable class="cases"> <mml:mtr columnalign="left"> <mml:mtd columnalign="left"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo> ∂</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> t</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mi> γ</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> +</gydF4y2Bamml:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mo> −</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> Δ</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> α</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mi> γ</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> +</gydF4y2Bamml:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> u</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> γ</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mi> ·</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> ∇</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> γ</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> =</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn> 0</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mo> ,</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi class="cond"> </mml:mi> <mml:mi> x</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> ∈</gydF4y2Bamml:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> ℝ</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo> ,</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> t</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> ></gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn> 0</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mo> ,</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mrow> </mml:mtd> </mml:mtr> <mml:mtr columnalign="left"> <mml:mtd columnalign="left"> <mml:mrow> <mml:mi> γ</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn> 0</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mo> ,</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> x</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</gydF4y2Bamml:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> γ</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 0</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo> =</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> θ</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> t</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 0</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> 。</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mrow> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula></p> <p>使用不平等(<xrgydF4y2Baef ref-type="disp-formula" rid="EEq46"> 46</xrgydF4y2Baef>)和定理<xrgydF4y2Baef ref-type="statement" rid="thm1"> 1</xrgydF4y2Baef>,我们推断存在一个独特的解决方案<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M158"> <mml:mrow> <mml:mi> γ</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> ∈</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi mathvariant="script"> C</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> ℝ</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> +</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo> ,</gydF4y2Bamml:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="script"> X</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mo> −</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mi> α</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> ℝ</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ∩</gydF4y2Bamml:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> l</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> ℝ</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> +</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo> ,</gydF4y2Bamml:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="script"> X</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> ℝ</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>的<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M159"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mtext> 路上</gydF4y2Bamml:mtext> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> α</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>这样<dgydF4y2Baisp-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M160"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="EEq48"> <mml:mtd> <mml:mtext> (48)</gydF4y2Bamml:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mfenced open="‖" close="‖" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> γ</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="script"> X</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mo> −</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mi> γ</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> +</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn> 1</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mo> −</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn> 4</gydF4y2Bamml:mn> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mfenced open="‖" close="‖" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> γ</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 0</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="script"> X</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mo> −</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mi> α</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mstyle displaystyle="true"> <mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mo stretchy="true"> ∫</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn> 0</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mi> t</gydF4y2Bamml:mi> </mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mfenced open="‖" close="‖" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> γ</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="script"> X</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:mstyle> <mml:mo> ≤</gydF4y2Bamml:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mfenced open="‖" close="‖" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> γ</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 0</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="script"> X</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mo> −</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mi> α</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi class="cond"> </mml:mi> <mml:mo> ∀</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> t</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> ≥</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn> 0。</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula></p> <p>解的存在性和唯一性quasi-geostrophic方程<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M161"> <mml:mrow> <mml:mo> ∀</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> t</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> ≥</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn> 0</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mo> </mml:mo> <mml:mi> γ</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> t</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> θ</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> t</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 0</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> +</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> t</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>。然后,<dgydF4y2Baisp-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M162"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="EEq49"> <mml:mtd rowspan="2"> <mml:mtext> (49)</gydF4y2Bamml:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mfenced open="‖" close="‖" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> θ</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> t</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 0</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> +</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> t</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="script"> X</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mo> −</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mi> α</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> =</gydF4y2Bamml:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mfenced open="‖" close="‖" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> γ</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> t</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="script"> X</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mo> −</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mi> α</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mo> ≤</gydF4y2Bamml:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mfenced open="‖" close="‖" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> γ</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 0</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="script"> X</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mo> −</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mi> α</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ≤</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> ε</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> 。</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>因此,定理<xrgydF4y2Baef ref-type="statement" rid="thm3"> 3</xrgydF4y2Baef>是证明。</p></年代ec> <back> <sec sec-type="data-availability"> <title>数据可用性</tgydF4y2Baitle> <p>没有数据被用来支持本研究。</p></年代ec> <sec sec-type="COI-statement"> <title>的利益冲突</tgydF4y2Baitle> <p>作者宣称没有利益冲突有关的出版。</p></年代ec> <sec> <title>作者的贡献</tgydF4y2Baitle> <p>所有作者的贡献同样显著,在写这篇文章。所有作者阅读和批准最终的手稿。</p></年代ec> <ref-list> <ref id="B1" content-type="book"> <label>1</gydF4y2Balabel> <element-citation publication-type="book"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> Pedlosky</年代urn一个me> <given-names> J。</ggydF4y2Baiven-names> </name> </person-group> <source> <italic> 地球物理流体动力学</gydF4y2Baitalic> <year> 1987年</gydF4y2Bayear> <edition> 2日</gydF4y2Baedition> <publisher-loc> 纽约,纽约,美国</pugydF4y2Bablisher-loc> <publisher-name> 斯普林格出版社</pugydF4y2Bablisher-name> </element-citation> </ref> <ref id="B2" content-type="article"> <label>2</gydF4y2Balabel> <element-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> 江诗丹顿</年代urn一个me> <given-names> P。</ggydF4y2Baiven-names> </name> <name> <surname> Majda</年代urn一个me> <given-names> a·J。</ggydF4y2Baiven-names> </name> <name> <surname> Tabak</年代urn一个me> <given-names> E。</ggydF4y2Baiven-names> </name> </person-group> <article-title> 形成二维准地转热的强劲方面活跃的标量</一个rticle-title> <source> <italic> 非线性</gydF4y2Baitalic> <year> 1994年</gydF4y2Bayear> <volume> 7</gydF4y2Bavolume> <issue> 6</gydF4y2Baissue> <fpage> 1495年</fp一个ge> <lpage> 1533年</gydF4y2Balpage> <pub-id pub-id-type="doi"> 10.1088 / 0951 - 7715/7/6/001</pugydF4y2Bab-id> <pub-id pub-id-type="other"> 2 - s2.0 - 0043172071</pugydF4y2Bab-id> </element-citation> </ref> <ref id="B3" content-type="article"> <label>3</gydF4y2Balabel> <element-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> Benameur</年代urn一个me> <given-names> J。</ggydF4y2Baiven-names> </name> <name> <surname> 班</年代urn一个me> <given-names> M。</ggydF4y2Baiven-names> </name> </person-group> <article-title> 全球二维QGE与亚临界耗散的存在</一个rticle-title> <source> <italic> 《数学分析和应用程序</gydF4y2Baitalic> <year> 2015年</gydF4y2Bayear> <volume> 423年</gydF4y2Bavolume> <issue> 2</gydF4y2Baissue> <fpage> 1330年</fp一个ge> <lpage> 1347年</gydF4y2Balpage> <pub-id pub-id-type="doi"> 10.1016 / j.jmaa.2014.10.066</pugydF4y2Bab-id> <pub-id pub-id-type="other"> 2 - s2.0 - 84922608855</pugydF4y2Bab-id> </element-citation> </ref> <ref id="B4" content-type="article"> <label>4</gydF4y2Balabel> <element-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> 班</年代urn一个me> <given-names> M。</ggydF4y2Baiven-names> </name> </person-group> <article-title> 全球地理好posedness和打击标准周期准地转方程在Lei-Lin-Gevrey空间</一个rticle-title> <source> <italic> 应用科学的数学方法</gydF4y2Baitalic> <year> 2017年</gydF4y2Bayear> <volume> 18</gydF4y2Bavolume> <fpage> 7488年</fp一个ge> <lpage> 7509年</gydF4y2Balpage> <pub-id pub-id-type="doi"> 10.1002 / mma.4543</pugydF4y2Bab-id> <pub-id pub-id-type="other"> 2 - s2.0 - 85065830094</pugydF4y2Bab-id> </element-citation> </ref> <ref id="B5" content-type="article"> <label>5</gydF4y2Balabel> <element-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> 越南盾</年代urn一个me> <given-names> H。</ggydF4y2Baiven-names> </name> <name> <surname> 杜</年代urn一个me> <given-names> D。</ggydF4y2Baiven-names> </name> </person-group> <article-title> 全球和衰减估计适定性问题关键耗散quasi-geostrophic方程在整个空间</一个rticle-title> <source> <italic> 离散和连续动力系统——一个</gydF4y2Baitalic> <year> 2008年</gydF4y2Bayear> <volume> 21</gydF4y2Bavolume> <issue> 4</gydF4y2Baissue> <fpage> 1095年</fp一个ge> <lpage> 1101年</gydF4y2Balpage> <pub-id pub-id-type="doi"> 10.3934 / dcds.2008.21.1095</pugydF4y2Bab-id> </element-citation> </ref> <ref id="B6" content-type="article"> <label>6</gydF4y2Balabel> <element-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> 得知崔</年代urn一个me> <given-names> D。</ggydF4y2Baiven-names> </name> <name> <surname> 李</年代urn一个me> <given-names> J。</ggydF4y2Baiven-names> </name> </person-group> <article-title> 全球超临界耗散quasi-geostrophic方程的适定性问题</一个rticle-title> <source> <italic> 通信的数学物理</gydF4y2Baitalic> <year> 2003年</gydF4y2Bayear> <volume> 233年</gydF4y2Bavolume> <issue> 2</gydF4y2Baissue> <fpage> 297年</fp一个ge> <lpage> 311年</gydF4y2Balpage> <pub-id pub-id-type="doi"> 10.1007 / s00220 - 002 - 0750 - z</pugydF4y2Bab-id> <pub-id pub-id-type="other"> 2 - s2.0 - 0037330176</pugydF4y2Bab-id> </element-citation> </ref> <ref id="B7" content-type="article"> <label>7</gydF4y2Balabel> <element-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> 逐渐繁盛</年代urn一个me> <given-names> T。</ggydF4y2Baiven-names> </name> <name> <surname> 高田</年代urn一个me> <given-names> R。</ggydF4y2Baiven-names> </name> </person-group> <article-title> 全球和病态性navier - stokes方程适定性问题与科里奥利力Besov类型的函数空间</一个rticle-title> <source> <italic> 《泛函分析</gydF4y2Baitalic> <year> 2014年</gydF4y2Bayear> <volume> 267年</gydF4y2Bavolume> <issue> 5</gydF4y2Baissue> <fpage> 1321年</fp一个ge> <lpage> 1337年</gydF4y2Balpage> <pub-id pub-id-type="doi"> 10.1016 / j.jfa.2014.05.022</pugydF4y2Bab-id> <pub-id pub-id-type="other"> 2 - s2.0 - 84904113162</pugydF4y2Bab-id> </element-citation> </ref> <ref id="B8" content-type="article"> <label>8</gydF4y2Balabel> <element-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> 江诗丹顿</年代urn一个me> <given-names> P。</ggydF4y2Baiven-names> </name> <name> <surname> 吴</年代urn一个me> <given-names> J。</ggydF4y2Baiven-names> </name> </person-group> <article-title> 2 d quasi-geostrophic方程的解决方案的行为</一个rticle-title> <source> <italic> 暹罗在数学分析》杂志上</gydF4y2Baitalic> <year> 1999年</gydF4y2Bayear> <volume> 30.</gydF4y2Bavolume> <issue> 5</gydF4y2Baissue> <fpage> 937年</fp一个ge> <lpage> 948年</gydF4y2Balpage> <pub-id pub-id-type="doi"> 10.1137 / s0036141098337333</pugydF4y2Bab-id> <pub-id pub-id-type="other"> 2 - s2.0 - 0033419179</pugydF4y2Bab-id> </element-citation> </ref> <ref id="B9" content-type="article"> <label>9</gydF4y2Balabel> <element-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> 江诗丹顿</年代urn一个me> <given-names> P。</ggydF4y2Baiven-names> </name> <name> <surname> 科尔多瓦</年代urn一个me> <given-names> D。</ggydF4y2Baiven-names> </name> <name> <surname> 吴</年代urn一个me> <given-names> J。</ggydF4y2Baiven-names> </name> </person-group> <article-title> 在关键的耗散quasi-geostrophic方程</一个rticle-title> <source> <italic> 印第安纳大学数学杂志</gydF4y2Baitalic> <year> 2001年</gydF4y2Bayear> <volume> 50</gydF4y2Bavolume> <issue> 1</gydF4y2Baissue> <fpage> 97年</fp一个ge> <lpage> 108年</gydF4y2Balpage> <pub-id pub-id-type="doi"> 10.1512 / iumj.2001.50.2153</pugydF4y2Bab-id> </element-citation> </ref> <ref id="B10" content-type="article"> <label>10</gydF4y2Balabel> <element-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> Caffarelli</年代urn一个me> <given-names> l</ggydF4y2Baiven-names> </name> <name> <surname> Vasseur</年代urn一个me> <given-names> 一个。</ggydF4y2Baiven-names> </name> </person-group> <article-title> 与部分扩散和漂移扩散方程quasi-geostrophic方程</一个rticle-title> <source> <italic> 上数学</gydF4y2Baitalic> <year> 2010年</gydF4y2Bayear> <volume> 171年</gydF4y2Bavolume> <issue> 3</gydF4y2Baissue> <fpage> 1903年</fp一个ge> <lpage> 1930年</gydF4y2Balpage> <pub-id pub-id-type="doi"> 10.4007 / annals.2010.171.1903</pugydF4y2Bab-id> <pub-id pub-id-type="other"> 2 - s2.0 - 77950869887</pugydF4y2Bab-id> </element-citation> </ref> <ref id="B11" content-type="article"> <label>11</gydF4y2Balabel> <element-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> Benameur</年代urn一个me> <given-names> J。</ggydF4y2Baiven-names> </name> <name> <surname> Blel</年代urn一个me> <given-names> M。</ggydF4y2Baiven-names> </name> </person-group> <article-title> 长期衰退的全球解决方案2 d耗散准地转方程</一个rticle-title> <source> <italic> 抽象和应用分析</gydF4y2Baitalic> <year> 2012年</gydF4y2Bayear> <volume> 2012年</gydF4y2Bavolume> <lpage> 12</gydF4y2Balpage> <pub-id pub-id-type="publisher-id"> 627813年</pugydF4y2Bab-id> <pub-id pub-id-type="doi"> 10.1155 / 2012/627813</pugydF4y2Bab-id> <pub-id pub-id-type="other"> 2 - s2.0 - 84862285718</pugydF4y2Bab-id> </element-citation> </ref> <ref id="B12" content-type="incollection"> <label>12</gydF4y2Balabel> <element-citation publication-type="book"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> Carrillo</年代urn一个me> <given-names> j . A。</ggydF4y2Baiven-names> </name> <name> <surname> 费雷拉</年代urn一个me> <given-names> l·c·F。</ggydF4y2Baiven-names> </name> </person-group> <article-title> 收敛对自相似耗散quasi-geostrophic方程的渐近行为</一个rticle-title> <source> <italic> 自相似解的非线性PDE</gydF4y2Baitalic> <year> 2006年</gydF4y2Bayear> <volume> 74年</gydF4y2Bavolume> <publisher-loc> 波兰华沙</pugydF4y2Bablisher-loc> <publisher-name> 巴拿赫中心出版物</pugydF4y2Bablisher-name> <fpage> 95年</fp一个ge> <lpage> 115年</gydF4y2Balpage> </element-citation> </ref> <ref id="B13" content-type="article"> <label>13</gydF4y2Balabel> <element-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> Carrillo</年代urn一个me> <given-names> j . A。</ggydF4y2Baiven-names> </name> <name> <surname> 费雷拉</年代urn一个me> <given-names> l·c·F。</ggydF4y2Baiven-names> </name> </person-group> <article-title> 自相似解决方案和大时间渐近耗散quasi-geostrophic方程</一个rticle-title> <source> <italic> Monatshefte毛皮Mathematik</gydF4y2Baitalic> <year> 2007年</gydF4y2Bayear> <volume> 151年</gydF4y2Bavolume> <issue> 2</gydF4y2Baissue> <fpage> 111年</fp一个ge> <lpage> 142年</gydF4y2Balpage> <pub-id pub-id-type="doi"> 10.1007 / s00605 - 007 - 0447 - 7</pugydF4y2Bab-id> <pub-id pub-id-type="other"> 2 - s2.0 - 34249866834</pugydF4y2Bab-id> </element-citation> </ref> <ref id="B14" content-type="article"> <label>14</gydF4y2Balabel> <element-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> Carrillo</年代urn一个me> <given-names> j . A。</ggydF4y2Baiven-names> </name> <name> <surname> 费雷拉</年代urn一个me> <given-names> l·c·F。</ggydF4y2Baiven-names> </name> </person-group> <article-title> 亚临界耗散quasi-geostrophic方程的渐近行为</一个rticle-title> <source> <italic> 非线性</gydF4y2Baitalic> <year> 2008年</gydF4y2Bayear> <volume> 21</gydF4y2Bavolume> <issue> 5</gydF4y2Baissue> <fpage> 1001年</fp一个ge> <lpage> 1018年</gydF4y2Balpage> <pub-id pub-id-type="doi"> 10.1088 / 0951 - 7715/21/5/006</pugydF4y2Bab-id> <pub-id pub-id-type="other"> 2 - s2.0 - 43049083362</pugydF4y2Bab-id> </element-citation> </ref> <ref id="B15" content-type="article"> <label>15</gydF4y2Balabel> <element-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> 科尔多瓦</年代urn一个me> <given-names> 一个。</ggydF4y2Baiven-names> </name> <name> <surname> 科尔多瓦</年代urn一个me> <given-names> D。</ggydF4y2Baiven-names> </name> </person-group> <article-title> 最高原则应用于quasi-geostrophic方程</一个rticle-title> <source> <italic> 通信的数学物理</gydF4y2Baitalic> <year> 2004年</gydF4y2Bayear> <volume> 249年</gydF4y2Bavolume> <issue> 3</gydF4y2Baissue> <fpage> 511年</fp一个ge> <lpage> 528年</gydF4y2Balpage> <pub-id pub-id-type="doi"> 10.1007 / s00220 - 004 - 1055 - 1</pugydF4y2Bab-id> <pub-id pub-id-type="other"> 2 - s2.0 - 4544377751</pugydF4y2Bab-id> </element-citation> </ref> <ref id="B16" content-type="article"> <label>16</gydF4y2Balabel> <element-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> 利基市场</年代urn一个me> <given-names> c·J。</ggydF4y2Baiven-names> </name> <name> <surname> 本书</年代urn一个me> <given-names> G。</ggydF4y2Baiven-names> </name> </person-group> <article-title> 耗散quasi-geostrophic方程解的存在和衰减和延迟</一个rticle-title> <source> <italic> 非线性分析:理论、方法及应用</gydF4y2Baitalic> <year> 2012年</gydF4y2Bayear> <volume> 75年</gydF4y2Bavolume> <issue> 9</gydF4y2Baissue> <fpage> 3936年</fp一个ge> <lpage> 3950年</gydF4y2Balpage> <pub-id pub-id-type="doi"> 10.1016 / j.na.2012.02.017</pugydF4y2Bab-id> <pub-id pub-id-type="other"> 2 - s2.0 - 84859110490</pugydF4y2Bab-id> </element-citation> </ref> <ref id="B17" content-type="article"> <label>17</gydF4y2Balabel> <element-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> 利基市场</年代urn一个me> <given-names> c·J。</ggydF4y2Baiven-names> </name> <name> <surname> Schonbek</年代urn一个me> <given-names> m E。</ggydF4y2Baiven-names> </name> </person-group> <article-title> 衰变的弱解二维耗散quasi-geostrophic方程</一个rticle-title> <source> <italic> 通信的数学物理</gydF4y2Baitalic> <year> 2007年</gydF4y2Bayear> <volume> 276年</gydF4y2Bavolume> <issue> 1</gydF4y2Baissue> <fpage> 93年</fp一个ge> <lpage> 115年</gydF4y2Balpage> <pub-id pub-id-type="doi"> 10.1007 / s00220 - 007 - 0327 - y</pugydF4y2Bab-id> <pub-id pub-id-type="other"> 2 - s2.0 - 34848865949</pugydF4y2Bab-id> </element-citation> </ref> <ref id="B18" content-type="article"> <label>18</gydF4y2Balabel> <element-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> Schonbek</年代urn一个me> <given-names> m E。</ggydF4y2Baiven-names> </name> <name> <surname> Schonbek</年代urn一个me> <given-names> t P。</ggydF4y2Baiven-names> </name> </person-group> <article-title> 渐近行为耗散quasi-geostrophic流动</一个rticle-title> <source> <italic> 暹罗在数学分析》杂志上</gydF4y2Baitalic> <year> 2003年</gydF4y2Bayear> <volume> 35</gydF4y2Bavolume> <issue> 2</gydF4y2Baissue> <fpage> 357年</fp一个ge> <lpage> 375年</gydF4y2Balpage> <pub-id pub-id-type="doi"> 10.1137 / s0036141002409362</pugydF4y2Bab-id> <pub-id pub-id-type="other"> 2 - s2.0 - 1642618627</pugydF4y2Bab-id> </element-citation> </ref> <ref id="B19" content-type="article"> <label>19</gydF4y2Balabel> <element-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> Schonbek</年代urn一个me> <given-names> M。</ggydF4y2Baiven-names> </name> <name> <surname> Schonbek</年代urn一个me> <given-names> T。</ggydF4y2Baiven-names> </name> </person-group> <article-title> 时刻和下界的远场解quasi-geostrophic流动</一个rticle-title> <source> <italic> 离散和连续动态著</gydF4y2Baitalic> <year> 2005年</gydF4y2Bayear> <volume> 13</gydF4y2Bavolume> <issue> 5</gydF4y2Baissue> <fpage> 1277年</fp一个ge> <lpage> 1304年</gydF4y2Balpage> <pub-id pub-id-type="doi"> 10.3934 / dcds.2005.13.1277</pugydF4y2Bab-id> <pub-id pub-id-type="other"> 2 - s2.0 - 28444450853</pugydF4y2Bab-id> </element-citation> </ref> <ref id="B20" content-type="article"> <label>20.</gydF4y2Balabel> <element-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> 桶</年代urn一个me> <given-names> m . T。</ggydF4y2Baiven-names> </name> <name> <surname> Miyakawa</年代urn一个me> <given-names> T。</ggydF4y2Baiven-names> </name> </person-group> <article-title> 在存在和耗散2 d quasi-geostrophic流的时空行为</一个rticle-title> <source> <italic> Funkcialaj Ekvacioj</gydF4y2Baitalic> <year> 2010年</gydF4y2Bayear> <volume> 53</gydF4y2Bavolume> <issue> 2</gydF4y2Baissue> <fpage> 169年</fp一个ge> <lpage> 212年</gydF4y2Balpage> <pub-id pub-id-type="doi"> 10.1619 / fesi.53.169</pugydF4y2Bab-id> <pub-id pub-id-type="other"> 2 - s2.0 - 79251560019</pugydF4y2Bab-id> </element-citation> </ref> <ref id="B21" content-type="article"> <label>21</gydF4y2Balabel> <element-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> 周</年代urn一个me> <given-names> Y。</ggydF4y2Baiven-names> </name> </person-group> <article-title> 衰变率的高阶导数解决二维耗散quasi-geostrophic流动</一个rticle-title> <source> <italic> 离散和连续动态著</gydF4y2Baitalic> <year> 2006年</gydF4y2Bayear> <volume> 14</gydF4y2Bavolume> <issue> 3</gydF4y2Baissue> <fpage> 525年</fp一个ge> <lpage> 532年</gydF4y2Balpage> <pub-id pub-id-type="doi"> 10.3934 / dcds.2006.14.525</pugydF4y2Bab-id> <pub-id pub-id-type="other"> 2 - s2.0 - 33644499492</pugydF4y2Bab-id> </element-citation> </ref> <ref id="B22" content-type="article"> <label>22</gydF4y2Balabel> <element-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> 周</年代urn一个me> <given-names> Y。</ggydF4y2Baiven-names> </name> </person-group> <article-title> 解的渐近行为的二维耗散quasi-geostrophic流动</一个rticle-title> <source> <italic> 非线性</gydF4y2Baitalic> <year> 2008年</gydF4y2Bayear> <volume> 21</gydF4y2Bavolume> <issue> 9</gydF4y2Baissue> <fpage> 2061年</fp一个ge> <lpage> 2071年</gydF4y2Balpage> <pub-id pub-id-type="doi"> 10.1088 / 0951 - 7715/21/9/008</pugydF4y2Bab-id> <pub-id pub-id-type="other"> 2 - s2.0 - 52049107343</pugydF4y2Bab-id> </element-citation> </ref> <ref id="B23" content-type="incollection"> <label>23</gydF4y2Balabel> <element-citation publication-type="book"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> Cannone</年代urn一个me> <given-names> M。</ggydF4y2Baiven-names> </name> </person-group> <article-title> 谐波分析工具求解不可压缩n - s方程</一个rticle-title> <source> <italic> 手册的数学流体动力学</gydF4y2Baitalic> <year> 2004年</gydF4y2Bayear> <volume> 三世</gydF4y2Bavolume> <publisher-loc> 荷兰阿姆斯特丹</pugydF4y2Bablisher-loc> <publisher-name> 北荷兰</pugydF4y2Bablisher-name> <fpage> 161年</fp一个ge> <lpage> 244年</gydF4y2Balpage> </element-citation> </ref> <ref id="B24" content-type="book"> <label>24</gydF4y2Balabel> <element-citation publication-type="book"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> Lemarie-Rieusset</年代urn一个me> <given-names> p·G。</ggydF4y2Baiven-names> </name> </person-group> <article-title> 最近的事态发展在navier - stokes问题</一个rticle-title> <source> <italic> 查普曼&大厅/ CRC数学研究笔记</gydF4y2Baitalic> <year> 2002年</gydF4y2Bayear> <volume> 431年</gydF4y2Bavolume> <publisher-loc> 美国佛罗里达州波卡拉顿的</pugydF4y2Bablisher-loc> <publisher-name> 查普曼&大厅/ CRC</pugydF4y2Bablisher-name> </element-citation> </ref> <ref id="B25" content-type="article"> <label>25</gydF4y2Balabel> <element-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> Cannone</年代urn一个me> <given-names> M。</ggydF4y2Baiven-names> </name> <name> <surname> Karch</年代urn一个me> <given-names> G。</ggydF4y2Baiven-names> </name> </person-group> <article-title> 平滑或奇异n - s方程组的解?</一个rticle-title> <source> <italic> 杂志的微分方程</gydF4y2Baitalic> <year> 2004年</gydF4y2Bayear> <volume> 197年</gydF4y2Bavolume> <issue> 2</gydF4y2Baissue> <fpage> 247年</fp一个ge> <lpage> 274年</gydF4y2Balpage> <pub-id pub-id-type="doi"> 10.1016 / j.jde.2003.10.003</pugydF4y2Bab-id> <pub-id pub-id-type="other"> 2 - s2.0 - 1342307280</pugydF4y2Bab-id> </element-citation> </ref> <ref id="B26" content-type="article"> <label>26</gydF4y2Balabel> <element-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> 1月</年代urn一个me> <given-names> y L。</ggydF4y2Baiven-names> </name> <name> <surname> Sznitman</年代urn一个me> <given-names> 答:S。</ggydF4y2Baiven-names> </name> </person-group> <article-title> 随机瀑布和三维n - s方程</一个rticle-title> <source> <italic> 概率理论和相关领域</gydF4y2Baitalic> <year> 1997年</gydF4y2Bayear> <volume> 109年</gydF4y2Bavolume> <issue> 3</gydF4y2Baissue> <fpage> 343年</fp一个ge> <lpage> 366年</gydF4y2Balpage> <pub-id pub-id-type="doi"> 10.1007 / s004400050135</pugydF4y2Bab-id> </element-citation> </ref> <ref id="B27" content-type="article"> <label>27</gydF4y2Balabel> <element-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> Cannone</年代urn一个me> <given-names> M。</ggydF4y2Baiven-names> </name> <name> <surname> 吴</年代urn一个me> <given-names> G。</ggydF4y2Baiven-names> </name> </person-group> <article-title> 全球重要Fourier-Herz n - s方程的适定性问题空间</一个rticle-title> <source> <italic> 非线性分析:理论、方法及应用</gydF4y2Baitalic> <year> 2012年</gydF4y2Bayear> <volume> 75年</gydF4y2Bavolume> <issue> 9</gydF4y2Baissue> <fpage> 3754年</fp一个ge> <lpage> 3760年</gydF4y2Balpage> <pub-id pub-id-type="doi"> 10.1016 / j.na.2012.01.029</pugydF4y2Bab-id> <pub-id pub-id-type="other"> 2 - s2.0 - 84859111144</pugydF4y2Bab-id> </element-citation> </ref> <ref id="B28" content-type="article"> <label>28</gydF4y2Balabel> <element-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> Konieczny</年代urn一个me> <given-names> P。</ggydF4y2Baiven-names> </name> <name> <surname> Yoneda</年代urn一个me> <given-names> T。</ggydF4y2Baiven-names> </name> </person-group> <article-title> 在色散效应的科里奥利力静止的n - s方程</一个rticle-title> <source> <italic> 杂志的微分方程</gydF4y2Baitalic> <year> 2011年</gydF4y2Bayear> <volume> 250年</gydF4y2Bavolume> <issue> 10</gydF4y2Baissue> <fpage> 3859年</fp一个ge> <lpage> 3873年</gydF4y2Balpage> <pub-id pub-id-type="doi"> 10.1016 / j.jde.2011.01.003</pugydF4y2Bab-id> <pub-id pub-id-type="other"> 2 - s2.0 - 79952103165</pugydF4y2Bab-id> </element-citation> </ref> <ref id="B29" content-type="article"> <label>29日</gydF4y2Balabel> <element-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> Lei</年代urn一个me> <given-names> Z。</ggydF4y2Baiven-names> </name> <name> <surname> 林</年代urn一个me> <given-names> F.-H。</ggydF4y2Baiven-names> </name> </person-group> <article-title> 全球温和的n - s方程的解决方案</一个rticle-title> <source> <italic> 通信在纯粹和应用数学</gydF4y2Baitalic> <year> 2011年</gydF4y2Bayear> <volume> 64年</gydF4y2Bavolume> <issue> 9</gydF4y2Baissue> <fpage> 1297年</fp一个ge> <lpage> 1304年</gydF4y2Balpage> <pub-id pub-id-type="doi"> 10.1002 / cpa.20361</pugydF4y2Bab-id> <pub-id pub-id-type="other"> 2 - s2.0 - 79957784205</pugydF4y2Bab-id> </element-citation> </ref> <ref id="B30" content-type="article"> <label>30.</gydF4y2Balabel> <element-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> 费雷拉</年代urn一个me> <given-names> l·c·F。</ggydF4y2Baiven-names> </name> <name> <surname> 秘鲁首都利马</年代urn一个me> <given-names> l·s·M。</ggydF4y2Baiven-names> </name> </person-group> <article-title> 自相似解活跃的标量方程Fourier-Besov-Morrey空间</一个rticle-title> <source> <italic> Monatshefte毛皮Mathematik</gydF4y2Baitalic> <year> 2014年</gydF4y2Bayear> <volume> 175年</gydF4y2Bavolume> <issue> 4</gydF4y2Baissue> <fpage> 491年</fp一个ge> <lpage> 509年</gydF4y2Balpage> <pub-id pub-id-type="doi"> 10.1007 / s00605 - 014 - 0659 - 6</pugydF4y2Bab-id> <pub-id pub-id-type="other"> 2 - s2.0 - 84919910745</pugydF4y2Bab-id> </element-citation> </ref> <ref id="B31" content-type="article"> <label>31日</gydF4y2Balabel> <element-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> 逐渐繁盛</年代urn一个me> <given-names> T。</ggydF4y2Baiven-names> </name> </person-group> <article-title> 全球Besov Keller-Segel系统的适定性问题类型空间</一个rticle-title> <source> <italic> 《数学分析和应用程序</gydF4y2Baitalic> <year> 2011年</gydF4y2Bayear> <volume> 379年</gydF4y2Bavolume> <issue> 2</gydF4y2Baissue> <fpage> 930年</fp一个ge> <lpage> 948年</gydF4y2Balpage> <pub-id pub-id-type="doi"> 10.1016 / j.jmaa.2011.02.010</pugydF4y2Bab-id> <pub-id pub-id-type="other"> 2 - s2.0 - 79952817744</pugydF4y2Bab-id> </element-citation> </ref> <ref id="B32" content-type="article"> <label>32</gydF4y2Balabel> <element-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> de Almeida</年代urn一个me> <given-names> m F。</ggydF4y2Baiven-names> </name> <name> <surname> 费雷拉</年代urn一个me> <given-names> l·c·F。</ggydF4y2Baiven-names> </name> <name> <surname> 秘鲁首都利马</年代urn一个me> <given-names> l·s·M。</ggydF4y2Baiven-names> </name> </person-group> <article-title> 统一全球Navier-Stokes-Coriolis系统的适定性问题的一个新的重要的空间</一个rticle-title> <source> <italic> Mathematische Zeitschrift</gydF4y2Baitalic> <year> 2017年</gydF4y2Bayear> <volume> 287年</gydF4y2Bavolume> <issue> 3 - 4</gydF4y2Baissue> <fpage> 735年</fp一个ge> <lpage> 750年</gydF4y2Balpage> <pub-id pub-id-type="doi"> 10.1007 / s00209 - 017 - 1843 - x</pugydF4y2Bab-id> <pub-id pub-id-type="other"> 2 - s2.0 - 85012888630</pugydF4y2Bab-id> </element-citation> </ref> <ref id="B33" content-type="article"> <label>33</gydF4y2Balabel> <element-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> 加拉格尔</年代urn一个me> <given-names> 我。</ggydF4y2Baiven-names> </name> <name> <surname> Iftimie</年代urn一个me> <given-names> D。</ggydF4y2Baiven-names> </name> <name> <surname> 命名</年代urn一个me> <given-names> F。</ggydF4y2Baiven-names> </name> </person-group> <article-title> 渐近稳定全球navier - stokes方程的解决方案</一个rticle-title> <source> <italic> 编年史de l 'institut傅里叶</gydF4y2Baitalic> <year> 2003年</gydF4y2Bayear> <volume> 53</gydF4y2Bavolume> <issue> 5</gydF4y2Baissue> <fpage> 1387年</fp一个ge> <lpage> 1424年</gydF4y2Balpage> <pub-id pub-id-type="doi"> 10.5802 / aif.1983</pugydF4y2Bab-id> <pub-id pub-id-type="other"> 2 - s2.0 - 1342347425</pugydF4y2Bab-id> </element-citation> </ref> </ref-list> </back> </article> </body> </html>