文摘
本文的目的是定义hyperideal扩张。Hyperideal扩张与' hyperideals和初级hyperideals相关联。然后,我们定义一些属性。总理和初级hyperideals众多结果可以扩展到扩张。
1。介绍
外部表面理论引入了马蒂(1934)。外部表面有许多应用几个部门的纯粹和应用数学。一个超群的马蒂是一个非空的集合赋予一个hyperoperation (1),整个非空的集的集合 ,满足结合律和繁殖公理。规范超群超群的马蒂是一个特殊的类。更一般的结构,满足环带公理是一般意义上的高度: 如果+和是一个超级是两个hyperoperations这样吗 是一个超群,是一个关联hyperoperation,分配+。有不同的观念hyperrings [1]。如果只有加法+ hyperoperation和乘法通常的操作,那么我们说是一种添加剂超。这种类型的一个特例是超级引入Krasner (1957) (2]。此外,Krasner(1983)介绍了一类超hyperfields和除法hyperrings hyperfields。如果只有是一个hyperoperation,我们应当这样说是一个乘法超(2]。介绍了乘法hyperrings轮值表(1982);随后,许多作者在这一领域(Nakassis, 1988;Olson和沃德,1997;Procesi轮值表,1999;轮值表,1996)2]。研究了代数外部表面在接下来的几十年,如今许多数学家。
虽然调查了主理想东升(3),的概念主要hyperideals统一' hyperideals和初级hyperideals尚未被研究过。所以,这工作显示了hyperideal扩张的一些基本性质;然后我们展示一些新的结果主要hyperideals。这篇介绍性的部分后,部分2致力于一些相关的定义和属性吗主要理想和hyperideals以后需要。节3,hyperideal扩张和的定义主要hyperideals将和这些概念的一些基本性质进行了研究。
2。预赛
在这篇论文 表示Krasner超。
定义1(见[4])。一个Krasner超是一个代数结构 满足以下公理:(1) 是一个规范的超群;也就是说,(我)对于每一个 , ,(2)对于每一个 , ,(3)存在 这样 对于每一个 ,(iv)对于每一个 存在一个独特的元素 这样 ,(v) 意味着 和 ,(2) 作为双边吸收半群在零元素;也就是说, 。(3)乘法是分配hyperoperation +。
定义2(见[2])。让 是一个超是一个非空的子集 。然后据说subhyperring的如果 本身就是一个高度。
定义3(见[1])。一个subhyperring的超是左(右)hyperideal如果 ( )为所有 和 。被称为hyperideal如果既是左和右hyperideal。
引理4(见[2])。一个非空的子集的超是一个hyperideal当且仅当吗(1) 意味着 ,(2) 和 暗示 。
定义5(见[2])。让和hyperrings。一个映射从成据说是一个很好的(强)同态,如果所有 ,
定义6(见[1])。让 是一个超级同态。的内核 ,表示 ,组的元素吗映射到在 ;也就是说, 。
定义7(见[2])。一个hyperideal的超被称为'如果每当hyperideal ,要么 或 。
定义8(见[2])。让是一个超级hyperideal 。的激进 ,用 ,被定义为 对于一些 。
定义(见[92])。一个hyperideal的超如果当被称为初级hyperideal ,要么 或 。
3所示。Hyperideal扩张和主要Hyperideals
定义10。扩大hyperideals或短暂hyperideal扩张,是一个函数分配到每个hyperideal的超另一个hyperideal相同的戒指,满足以下条件:(我) 。(2) 意味着 为 hyperideals的 。
例11。让表示所有hyperideals超集
。恒等函数
,在哪里
对于每一个
,是一个hyperideals的扩张。
为每一个hyperideal定义
的激进
。然后是一个hyperideals扩张。
定义12。给定一个扩张hyperideal hyperideals的的被称为主如果
和
暗示
对所有
。
明显的定义主要hyperideals可以也说
和
意味着
对所有
。
示例13。
(1)Hyperideal
是
- - - - - -主要当且仅当它是质数。让是主要hyperideal。我们表明,是质数。假设
这是主
或
所以是一个典型的hyperideal。
相反,让是一个' hyperideal。假设
。自是质数
或
和是主。
(2)Hyperideal
是
- - - - - -主要当且仅当它是主要的。让是主。我们表明,是主要的。假设
。自是主要我们可以这么说
或
。这是
或
。所以是主要的。
相反让是一个初级hyperideal。假设
。自主要hyperideal
或
,从而
或
。
备注14。(1)如果和两个hyperideal扩张和吗
为每个hyperideal
,然后每主要hyperideal也主。因此,特别是,一个' hyperideal主要为每一个hyperideal扩张。让是主。假设,
,
和
。自是主要和
和
,从而
。
(2)给定两个hyperideal扩张和
,定义
。然后也是一个hyperideal扩张。自和hyperideal扩张
和
,然后
和
。
让和的是任何hyperideals和
。因此
和
。最后我们发现
。
(3)让是一个hyperideal扩张。定义
。然后仍然是一个hyperideal扩张。
对所有
,我们表明,
对于任何
,如果
;然后
。的定义
,我们得出这样的结论:
。对于任何
,如果
,那么主要hyperideals含有也包含
。此外,可能会有主要hyperideals含有但不包含
。因此,我们得出这样的结论:
。
引理15。一个hyperideal是主要为任意两个hyperideals当且仅当和 ,如果 和 然后 。
证明。让是主。假设
和
,但
,然后我们可以选择
和
。然后
但
和
。这与假设是主。
相反,如果条件满足,任何两个元素和
,假设
和
。然后
和
。所以
。因此
意味着
。因此是主。
回想一下,如果和交换环的理想吗 ,然后他们的理想商表示( )定义为 。我们还记得理想商( )本身就是一个理想 。
定理16。让是一个hyperideal扩张。然后(1)如果是一个主要hyperideal和是hyperideal ,然后 ,(2)对于任何主要hyperideal和任何子集的 , 也主。
证明。(1)定义的
,尽管
,
,
和
。自是一个hyperideal
,然后我们得到
。换句话说
。自是主,如果
然后
。
相反,自
然后
。
(2)
,假设
和
。那么存在一个
这样
。但
。因此
。自
,
。通过这种方法我们得到
是主。
定理17。如果这样hyperideal扩张吗 对于每个hyperideal ,然后,对任何主要hyperideal , 。
证明。对所有hyperideals,因为
,
。
相反,让
。我们表明,
。
然后存在哪个是最小的正整数与
。如果
然后
。如果
然后
。但
,所以
。因此
和
。
4所示。扩张与额外的属性
在本节中,我们调查主要hyperideals哪里满足其他条件并证明更多的结果对这样的扩张。
定义18。hyperideal扩张如果它满足是交叉保护 据说全球扩张如果任何超级同态 的扩张和都是交叉保护和全球。
对于任何 , :
和 。
。因此和都是交叉保护和全球。
定理19。让是一个十字路口保留hyperideal扩张。如果 是主要的hyperideals和 对所有 ,然后 是主。
证明。让是一个十字路口保留hyperideal扩张。如果 和 ,然后 对于一些 。但 和是主,所以 。但 。因此 。所以是主。
定义20。让是一个超是一个hyperideal扩张。如果对于一个 , 然后被称为幂零。
请注意,幂零元素的戒指是零元素的戒指。也幂零元素是完全普通的幂零元素。
定理21。让是一个全球扩张。让hyperideal的是主,然后每一个零商超的因子 是幂零。
证明。让是主。如果
是零因子
,然后有一个
与
。这意味着
和
。自是主要的所以
;也就是说,
。
让
是天然的商超同态。作为是全球性的,我们有什么
。
自到,所以
。因此我们得到
,所以是幂零。
定理22。如果是全球的, 是一个超级同态,那么,对于任何主要hyperideal的 , 是一个主要的hyperideal 。
证明。让 与 。如果 然后 但 。所以,当是主, 。所以 。因此是主。
定理23。让 是一个同态满射超。然后hyperideal的包含是主要的hyperideal 。
证明。如果是主,然后由
和定理22,是主。现在假设是主。如果
和
和
,然后有
与
。然后
意味着
和
意味着
和
意味着
。
所以
,因此
。现在只需要一个证明
。但这是直接从
这是满射。
对应定理主要Hyperideals。让 是一个超级超级的同态 到一个超级 ,让 是全球性的恶性扩张。然后 诱发一对一的夹杂物保持一致 主要的hyperideals 包含 和 主要的hyperideals 如果在这样一个方式 是一个 主要的hyperideal 那 包含 ,然后 是相应的 主要的hyperideal ,如果 是一个 主要的hyperideal ,然后 是相应的 主要的hyperideal 。
的利益冲突
作者宣称没有利益冲突。