Haar小波运算矩阵法对部分振动方程

文摘

我们利用Haar小波运算矩阵法对分数阶非线性振动方程和找到解决方案的分数阶自由和强迫Duffing-Van der波尔振荡器和高阶分数杜芬方程在大间隔。结果比较与其他技术的结果和精确解。

1。介绍

Haar小波是小波的最低Daubechies家庭成员和便于计算机实现,由于可用性Haar尺度和小波函数的显式表达式(1]。操作方法是由陈和萧2为统一的网格。Haar小波技术的基本思想是将微分方程转化为代数方程组的有限的变量。Haar小波技术求解线性齐次和非齐次,常量,变量系数一直在讨论(3]。

分数阶迫使Duffing-Van der波尔振荡器由以下给出二阶微分方程(4]: 在哪里卡普托导数;代表定期开车时间与时间的函数,在那里的角频率的驱动力;是强迫的力量;和系统的阻尼参数。Duffing-Van der波尔振荡方程可以表示三个物理情况:(1)单井,;(2)double-well,;(3)双波峰,。

quasilinearization方法介绍了贝尔曼和Kalaba [5,6)作为一个泛化的牛顿迭代法7)解决个人或普通和偏微分方程的非线性系统。quasilinearization方法适用于一般非线性普通或任意阶的偏微分方程。

与quasilinearization Haar小波技术(8- - - - - -10)申请整数阶非线性微分方程的近似解。在[11),我们扩展Haar小波- quasilinearization技术部分非线性微分方程。

当前工作的目的是探讨解决高阶分数杜芬方程,分数阶自由和强迫Duffing-Van der波尔(DVP)振荡器使用哈雾wavelet-quasilinearization技术。我们已经讨论了三种特殊情况的DVP振荡方程如单井、double-well,隆起的两倍还要多。

2。预赛

在本节中,我们审查的基本定义部分分化和部分集成12]。(1)Riemann-Liouville分数积分算子的秩序如下:Riemann-Liouville分数阶积分的顺序被定义为为。(2)Riemann-Liouville和卡普托分数导数运算符如下:Riemann-Liouville分数阶导数的秩序被定义为为,在那里,,。

她的分数阶导数的秩序被定义为为,在那里,,。

3所示。的Haar小波

哈尔函数只包含一个小波在一些其他地方的子区间的时间和保持零和是正交的。的th制服Haar小波,被定义为(2] 在哪里;是膨胀参数,在哪里和是翻译参数。是最大级别的分辨率和的最大价值是在哪里。特别是,在那里特征函数在区间是哈雾缩放功能。统一的Haar小波,wavelet-collocation方法的应用。搭配点的制服Haar小波通常作为在哪里。

3.1。部分Haar小波的积分

任何函数可以表示的统一哈雾系列在哪里Haar小波系数作为吗。

任何两个变量的函数可以近似为在哪里是系数矩阵可以由内积。

的Riemann-Liouville部分积分给出统一的Haar小波在哪里,,。

4所示。收敛性分析

我们的工作是基于quasilinearization技术和Haar小波方法;首先,我们分析的融合方案,然后根据工作描述他们的收敛的作用。

4.1。收敛Quasilinearization技术(6]

考虑非线性二阶微分方程:

应用quasilinearization技术(10)的收益率让有一些初始近似值。每个函数是一个线性方程的解决方案(11),总是被认为是已知的和从先前的迭代中获得。

根据(6),让和,我们有这表明quasilinearization技术具有二次收敛,如果有收敛。

4.2。Haar小波方法的收敛性(15]

让是一个可微函数和假设一阶导数有界;也就是说,存在;对所有, Haar小波函数的近似是由 Babolian和Shahsavaran15)给Haar小波近似的误差标准, 或作为和最大程度的解决,根据(16),我们得出这样的结论:误差成反比的水平分辨率。方程(16)确保收敛Haar小波近似分辨率更高级别的,也就是说,当是增加了。

每个迭代quasilinearization技术给出了线性微分方程这是解决得到近似的价值,Haar小波方法。由于我们的解决方案的问题一阶导数有界了根据(16),收敛速度如果我们考虑到更高层次的决议;也就是说,我们可以获得更准确的结果,同时增加同时,quasilinearization技术工作;也就是说,给定一个初始近似,我们得到解决方案线性微分方程(11)Haar小波方法和在下个迭代中,我们得到了等等。自quasilinearization技术是二阶准确所以它给快速收敛,如果有收敛。我们得出结论:解决方案由Haar小波quasilinearization技术收敛于精确解当两个和方法。

5。应用程序

在本节中,我们解决自由Duffing-Van der波尔分数阶的振荡器,迫使Duffing-Van der波尔振荡器的分数阶和高阶分数Haar wavelet-quasilinearization杜芬方程的方法和比较其他方法获得的结果与精确解。

5.1。迫使Duffing-Van Der波尔振荡方程(4]

例1。考虑到阶分数迫使DVP振荡方程初始条件和。

应用quasilinearization技术(17),我们得到与初始条件和。

现在我们应用Haar小波方法(18)和近似Haar小波的高阶导数项系列

低阶积分得到的衍生品(19),使用初始条件替代(19)和(20.)(18) 与最初的近似和。(1)(单井,)。,,,,。(2)(Double-well,)。,,,,。(3)(双波峰,)。,,,,。

使用Haar小波quasilinearization技术获得的结果在第五次迭代的三种情况下,单井,double-well,和双波峰,表中给出1,2,3,分别。在这里,我们解决方程的顺序,,水平分辨率。我们将获得的解决方案与变分迭代法(13),同伦摄动法(13,基于四阶龙格-库塔数值解(RK)方法。也绝对误差相对于RK方法如表所示1,2,3。结果表明,获得更准确的变分迭代法相比,同伦摄动方法。




第五代

		(13]	(13]		绝对误差

0.2	0.9900451	0.99004	0.99004	0.9900451	3.1e−8
0.4	0.9607026	0.96075	0.9607	0.9607024	1.5e−7
0.6	0.9134154	0.91383	0.91341	0.9134150	3.5e−7
0.8	0.8502496	0.85216	0.85025	0.8502491	5.8e−7
1.0	0.773523	0.77973	0.77353	0.773522	8.0e−7




第五代

		(13]	(13]		绝对误差

0.2	1.009945	1.00994	1.00994	1.009945	9.8e−9
0.4	1.039114	1.03911	1.03918	1.039114	6.7e−8
0.6	1.085448	1.08544	1.08621	1.085448	1.9e−7
0.8	1.145384	1.14539	1.14937	1.145384	3.9e−7
1.0	1.213777	1.21382	1.22785	1.213778	6.4e−7




第五代

		(13]	(13]		绝对误差

0.1	1.00250	1.0025	1.0025	1.00250	2.5e−9
0.2	1.01001	1.01001	1.01001	1.01001	4.3e−11
0.5	1.06301	1.063	1.06296	1.06301	4.3e−8
0.75	1.14347	1.14346	1.14209	1.14347	9.8e−8
1.0	1.26039	1.26035	1.25055	1.26039	3.9e−7

数据1,2,3显示的解决方案(17)对单井、double-well分别和双波峰的情况。我们在不同的顺序画出解决方案(17)。我们固定的解决方案在第五次迭代和水平分辨率或。也解决方案的四阶龙格-库塔方法(RK的解决方案)也一起策划解决方案获得的Haar小波quasilinearization技术(哈雾解决方案)和数字1,2,3显示哈雾解收敛于当RK的解决方案方法2。

5.2。自由Duffing-Van der波尔振荡方程(16]

例2。考虑到阶分式方程自由DVP振荡器初始条件和。

哈尔wavelet-quasilinearization技术(22)给与最初的近似和。

第五次迭代结果的Haar小波quasilinearization技术在固定的水平分辨率而在如表所示4。在这里,我们考虑,,和比较Adomian分解方法的得到的解决方案(16]。方程(22)也解决了四阶龙格-库塔方法的适用性Haar小波quasilinearization技术。表4显示解决方案的Haar小波quasilinearization技术提供了更精确的结果相比Adomian分解方法。




第五代

		(13]		绝对误差

0.0	2.00000	1.99750	2.00000	2.1e−12
0.1	1.98971	1.98724	1.98971	1.7e−7
0.2	1.95936	1.95697	1.95936	3.5e−7
0.3	1.90980	1.90758	1.90980	5.4e−7
0.4	1.84202	1.84008	1.84202	7.3e−7
0.5	1.75702	1.75552	1.75702	9.2e−7
0.6	1.65586	1.65493	1.65586	1.1e−6
0.7	1.53958	1.53937	1.53958	1.3e−6
0.8	1.40923	1.53937	1.40923	1.4e−6
0.9	1.26586	1.26726	1.26586	1.6e−6
1.0	1.11054	1.11267	1.11054	1.7e−6
1.1	0.94435	0.94704	0.94435	1.9e−6
1.2	0.76846	0.77147	0.76846	2.0e−6
1.3	0.58411	0.58715	0.58410	2.1e−6
1.4	0.39267	0.39545	0.39267	2.3e−6
1.5	0.19567	0.19795	0.19566	2.4e−6

第五次迭代结果的Haar小波quasilinearization技术在固定的水平分辨率在不同的值如图4,连同RK的解决方案。图4表明,获得的解收敛于当RK的解决方案方法2。

5.3。高阶振荡方程(14]

例3。考虑到阶分数杜芬方程受初始条件:
精确解,当的话,是

Quasilinearization技术(24)给初始条件:

实现Haar小波方法(27)如下: 低阶积分得到的衍生品(29日),使用初始条件替代(29日)和(30.)(27),我们得到与初始近似:

Haar小波quasilinearization技术解决方案的6日固定水平分辨率和秩序的24)表所示5。这表明获得的解决方案是更准确比广义微分求积规则(GDQR) [14]。和代表广义微分求积的百分误差规则和Haar小波quasilinearization技术,分别。




6日迭代

	(14]	(14]	(14]

0.0	0	0	0	0	0
0.7	1.2692	1.2693	−0.002	1.2692	0.0025
1.4	2.0990	2.0993	−0.010	2.0990	0.0037
2.1	2.0929	2.0933	−0.019	2.0928	0.0048
2.8	1.2541	1.2545	−0.027	1.2541	0.0059
3.5	−0.0179	−0.0177	0.813	−0.0179	−0.1679
4.2	−1.2843	−1.2842	0.003	−1.2843	−0.0010
4.9	1.0880	−2.1051	−0.004	1.0879	0.0063
5.6	−2.0866	−2.0868	−0.014	−2.0865	−0.0046
6.3	−1.2390	−1.2395	−0.039	−1.2389	−0.0083
7.0	0.0357	0.0352	1.276	0.0358	0.2095
7.7	1.2992	1.2990	0.013	1.2992	0.0010
8.4	2.1109	2.1111	−0.009	2.1108	0.0031
9.1	2.0801	2.0805	−0.021	2.0800	0.0056
9.8	1.2237	1.2243	−0.044	1.2236	0.0099
10.5	−0.0536	−0.0529	1.146	−0.0537	−0.1965
11.2	−1.3141	−1.3136	0.037	−1.3141	−0.0042
11.9	−2.1166	−2.1166	−0.002	−2.1166	−0.0022
12.6	−2.0734	−2.0741	−0.030	−2.0733	−0.0068
13.3	−1.2084	−1.2093	−0.071	−1.2082	−0.0136
14.0	0.0714	0.0706	1.057	0.0715	0.1888

我们在第五迭代修复解决方案,水平分辨率,情节的解决方案在不同的值如图5随着精确解和图5显示解决方案的Haar小波quasilinearization技术收敛于精确解,当方法4。

6。结论

表明Haar小波方法quasilinearization技术给优秀的结果应用于分数阶非线性振动方程。获得的结果从Haar小波quasilinearization技术比其他方法获得的结果与精确解和良好协议或解决方案的四阶龙格-库塔方法,如表所示和数字。分数阶非线性振动方程的解收敛于整数阶非线性振动微分方程的解决方案如图1,2,3,4,5。

利益冲突

欧麦尔赛义德,Mujeeb ur Rehman宣布没有利益冲突有关的出版。

确认

作者感谢匿名审稿人的宝贵意见导致论文的改进。

引用

即Daubechies”,小波变换时频定位和信号分析,“IEEE信息理论,36卷,不。5,961 - 1005年,1990页。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索|MathSciNet
c·f·陈和c·h·萧,”Haar小波方法求解集中和分布参数系统,”IEE程序控制理论和应用程序,卷144,不。1,第94 - 87页,1997。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索
m·加戈和l .政府高级官员”,数值方法使用非递归线性常微分equatons Haar连接系数”国际计算机科学和数学杂志》上,2卷,第440 - 429页,2010年。视图:谷歌学术搜索
s a·马利克·m·库雷希,m . Zubair。哈克,“解决自由和强迫duffing-Van der波尔振荡器使用迷因计算,”基础和应用科学研究杂志》上,卷2,不。11日,第11148 - 11136页,2012年。视图:谷歌学术搜索
r . Kalaba”非线性差分方程,最大操作和单调收敛,“应用数学和力学》期刊上,8卷,第574 - 519页,1959年。视图:谷歌学术搜索
r·e·贝尔曼和r . e . KalabaQuasilinearization和非线性边值问题爱思唯尔,纽约,纽约,美国,1965年。视图:MathSciNet
孔戴s d和c . de粗野的人基本数值分析美国麦格劳-希尔,纽约,纽约,1981年。
r . Jiwari”Haar小波quasilinearization汉堡的方程,数值模拟方法”计算机物理通信,卷183,不。11日,第2423 - 2413页,2012年。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索|MathSciNet
h·考尔r·c·米塔尔和诉Mishra”Haar小波quasilinearization方法求解非线性边值问题,“美国计算数学杂志》上1卷,第182 - 176页,2011年。视图:谷歌学术搜索
h·考尔r·c·米塔尔和诉Mishra”Haar小波拟线性化方法求解巷大白鹅方程,”数学和计算机应用研究的国际期刊,卷2,47-60,2012页。视图:谷歌学术搜索
美国赛义德和m . Rehman,”哈尔wavelet-quasilinearization技术部分非线性微分方程,”应用数学和计算卷,220年,第648 - 630页,2013年。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索|MathSciNet
陈Monje c, a, y, b . m . Vinagre d·雪和诉Feliu,分数阶系统和控制工业控制的发展,施普林格,伦敦,英国,2010年。视图:出版商的网站|MathSciNet
h . Sajadi与加雷熟识,d·d·甘吉,y v . Shenas”应用数值和semianalytical方法Van der PolDuffing振子,“高级研究机械工程杂志》上,1卷,不。3、136 - 141年,2010页。视图:谷歌学术搜索
g·r·刘和t . y .吴微分方程的数值解duffing-type使用广义非线性微分求积规则,”杂志的声音和振动,卷237,不。5,805 - 817年,2000页。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索|MathSciNet
大肠Babolian和a . Shahsavaran非线性弗雷德霍姆积分方程的数值解的第二种使用Haar小波,“计算和应用数学杂志》上,卷225,不。1,第95 - 87页,2009。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索|Zentralblatt数学|MathSciNet
g . Asadi Cordshooli和a·r·瓦海德”解Duffing-van范德波尔方程使用分解方法,”理论物理的深入研究,5卷,不。1 - 4、121 - 129年,2011页。视图:谷歌学术搜索|Zentralblatt数学|MathSciNet

国际数学和数学科学杂志》上

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