关于素数和半素数环上的2周期映射

抽象的

一幅地图f的环R进入本身是第2期对所有;退化是很多研究的例子。给出了半素数和素数环对合的一些交换性结果，研究了素数和半素数环上周期2的导子和广义导子的存在性。

1.介绍

让做一个有中心的戒指，对于每一个,让表示换向器−．请注意,和对所有表面需要反复使用。

让的非空子集．一幅地图据说是第2期上的如果对所有， 和被称为A.-subset if.．如果对所有,然后据说是通勤上;如果对所有，然后，如在[1]，被称为强commutativity-preserving上．

我们假设读者熟悉定义衍生和退化．我们定义了一个添加剂图成为一个(职责。左)广义推导上如果（resp。，)为所有， 在哪里是一个推导，称为相关的推导。如果 右广义推导和左广义推导是否都有相同的关联推导广义推导。（请注意，此定义与HVALA的定义不同[2］;他的广义推导就是我们正确的广义推导。)

我们的目的是研究半素数和素数环的某些子集上的对合、导子以及周期2的广义导子的存在性和性质。

2.对合环的两个交换性结果

有几个具有以下戒指的已知的换向结果（CF. [3.， 第3章]）。我们现在存在一个结果，显示了两个换向条件的等同物用于参与的半圆环的阴性。

定理1。让是一个有以下内容的半圆环,让是A.- 是的．然后是通勤如果并且只有强交换性是守恒的吗．

证明。第一个假设是通勤;那是，对所有．通过线性化我们得到 由此可见,因此，和（1),我们得到 自是一个理想(2)的收益率 替换为，，我们现在得到,所以．使用(3.）通过以下方程式取代最后一个术语和第二个词，我们看到了，所以（1）， 替换通过收益率对所有,所以对所有．由于半素环的理想是半素环，我们得出 现在 （5）可能被重写为 所以通过替换通过我们得到了．但是,(6）;因此对所有,所以强交换性是守恒的吗．
对于交谈，我们假设强交换性是守恒的吗， 意思就是对所有．替换为，我们得到 这只是等式（3.），所以我们可能会争辩 和对所有．它马上就会跟上对所有;那是，是通勤．

刚才的证明得到了素数环对合的一个结果。在陈述我们的定理之前，我们提到我们正在使用这些符号和分别表示环中对称元素和斜元素的集合与退化．

定理2。让成为一个有退化的素环， 和．如果在一些非零的上下班理想,然后．

证明。它来自(5） 如果,然后，因为在素数环中，非零理想的中心包含在，．假设,让．然后对任何,所以．自不是零分层，我们得到了．
要完成证明，我们只需要显示．认为，相反，这．然后对任何，;因此．但对于任何，;因此对所有，我们反驳了莱维茨基的一个著名结论[4引理1.1]。

3.关于周期2导数的不存在性

如果是一个代数通过琐碎的乘法，地图给出是期间的推导。我们不知道是否存在不太明显的例子。

显然是任何推导期间2的一定是击倒，所以存在没有这样．它遵循一个戒指对于1，不允许任何周期为2的推导．

确实存在半素环承认一个双射的推导，例如，the代数与基础， 和是通常的分化。显然这个例子不是第2期的不是，我们将表明半峰圈承认不会导出时期2的推导．

定理3。让成为一个半素数环非零右理想。然后承认没有衍生这样第2期是上吗．

证明。假设存在衍生上这样对所有．为了，和条件收益率 自，我们得到 和替换通过在 （10),我们得到 替换为在 （11），我们得到;因此 但是半素,所以对所有，和（9）， 因此 哪一个（10)的收益率对所有．特别是,对所有，与莱维茨基的结果相反。

推论4。半素环不允许对上的周期2求导．

备注5。当然是任何推导第2期的满足．如图所示。5一个非交换半素环，虽然它没有周期为2的导数，但它可能有许多非零的导数;对于任何非中心幂等项，内导是一个例子。

4.周期2的广义推导

任何戒指都承认了期间2的正确广义推导，即身份图及其负面。而且，如果1,与,然后定义了期间的正确的广义推导。我们表明，在许多主要戒指中，没有其他可能性。

我们将利用几个简单引理。

引理6。让成为一个任意的环。如果广义推导是在,然后．

证明。让和．然后,所以， 在哪里相关的推导是．自，结果马上就出来了。

引理7。让是一个主要的戒指,让是对．如果正确的广义推导对所有第2期是上吗,然后是身份图（RESP。，身份映射的负面）．

证明。考虑案件对所有．如果 是第2期，我们有;因此 替换通过，我们得到;那是，对所有．鉴于(15)和假设，这个方程给出 这是众所周知的，也很容易证明是素质和那是非零导数吗和意味着．因此，来自（16)我们的结论是因此身份地图在上面吗．如果类似的论点是有效的对所有．

引理8。让是一个主要的戒指,让是对上的广义推导与相关的推导．如果第2期是上吗,然后．

证明。对所有人，＝;因此 替换通过在 （17)的收益率 让和和替换通过在 （18），我们得到，所以（18我们获得 如果，我们得出结论:．但自是素质和，很容易表明这一点意味着;因此声称。

定理9。让是一个(不一定是交换的)域与1，与．如果是一个正确的广义推导第2期，然后是单位映射还是它的负数。

证明。请注意, 服用在 （17)和(18),让,我们有和对所有．由此可见,;那是，;因此 如果,我们有或者,所以对所有或者对所有．但是由lemma.7这意味着;因此和 自是第2期，因此对所有．因此,或者，所以（22），是单位映射还是它的负数。

推论10。让是一个交换积分域．如果周期2的右广义推导是在,然后是单位映射还是它的负数。

证明。如果有1，结果是直接来自定理的9．如果没有1个，定义在分数领域通过．使用这个事实由引理8，我们可以表明这一点定义良好，是对的广义推导吗．由定理9，是身份映射还是它的负数接下来就是这个是身份映射还是它的负数．

定理11。让是一个主要的戒指和．如果是期间2的广义推导与相关的推导,然后是单位映射还是它的负数。

证明。由引理6，;因此上的广义推导限制．因为素环的中心是一个交换域，所以由推论得出10那对所有或者对所有．如果前者成立，那么，以及这个事实,给对所有和．服用给了对所有根据引理7,身份地图在上面吗．一个类似的论点表明，如果对所有，是单位映射的负数。

利益冲突

作者声明本论文的发表不存在利益冲突。

参考

1. H. E. Bell和M. N. Daif，“关于换向和强大的换向保存地图”加拿大数学通报，第37卷，no。4, 443-447页，1994。查看在：出版商的网站|谷歌学术搜索|MathSciNet
2. B. Hvala，“环中的广义衍生”，代数中的通信，卷。26，不。4，pp。1147-1166，1998。查看在：出版商的网站|谷歌学术搜索|Zentralblatt Math.|MathSciNet
3. i . n . Herstein戒指有以下戒指，芝加哥大学出版社，芝加哥，生病，美国，1976年。查看在：MathSciNet
4. i . n . Herstein环理论的主题，《1965年芝加哥大学数学课堂笔记》。
5. H. E. Bell和L. C. Kappe， "导子满足某些代数条件的环"Acta Mathematica Hungarica第53卷，第2期。3-4页，339-346页，1989。查看在：出版商的网站|谷歌学术搜索|MathSciNet

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