让 R 是半素环与退化 * ,让 U 是一个 * 理想的 R 。然后 * 是通勤 U 当且仅当 * 强commutativity-preserving上 U 。

第一个假设 * 是通勤 U ;也就是说, ( x , x * ] = 0 对所有 x ∈ U 。通过线性化得到 (1) ( x , y * ] = ( x * , y ] ∀ x , y ∈ U 。 由此可见, ( x y , x * ] = ( ( x y ) * , x ] 因此 x ( y , x * ] = ( y * , x ] x * ,( 1),我们得到 (2) x ( y * , x ] = ( y * , x ] x * ∀ x , y ∈ U 。 自 U 是一个 * 理想( 2)的收益率 (3) x ( x , y ] = ( x , y ] x * ∀ x , y ∈ U 。 替换 z y 为 y , z ∈ U ,我们现在得到 x ( x , z y ] = ( x , z y ] x * ,所以 x z ( x , y ] + x ( x , z ] y = ( x , z ] y x * + z ( x , y ] x * 。使用( 3)来代替这个等式的最后一学期了 z x ( x , y ] 和第二项 ( x , z ] x * y ,我们看到, ( x , z ] ( x , y ] + ( x , z ] ( x * , y ] = 0 ,所以由( 1), (4) ( x , z ] ( x , y + y * ] = 0 ∀ x , y , z ∈ U 。 替换 z 通过 z w 收益率 ( x , z ] U ( x , y + y * ] = { 0 } 对所有 x , y ∈ U ,所以 ( x , y + y * ] U ( x , y + y * ] = { 0 } 对所有 x , y ∈ U 。由于半素环的理想是半素环,我们得出结论 (5) ( x , y + y * ] = 0 ∀ x , y ∈ U 。 现在( 5)可以写成 (6) ( x , y ] = ( y * , x ] , 所以通过替换 x 通过 x * 我们得到了 ( x * , y ] = ( y * , x * ] 。但是,( 6) ( x * , y ] = ( y , x ] ;因此 ( y , x ] = ( y * , x * ] 对所有 x , y ∈ U ,所以 * 强commutativity-preserving上 U 。

反过来,我们假设 * 强commutativity-preserving上 U ,这意味着 ( x , y ] = ( x * , y * ] 对所有 x , y ∈ U 。替换 x y 为 y ,我们得到 (7) x ( x , y ] = ( x , y ] x * ∀ x , y ∈ U 。 这是方程( 3),所以我们可能会说 (8) ( x , y + y * ] = 0 ∀ x , y ∈ U , 和 y + y * ∈ Z ( U ) 对所有 y ∈ U 。它遵循一次 ( y , y * ] = 0 对所有 y ∈ U ;也就是说, * 是通勤 U 。

让 R 是一个'与对合环 * , c h 一个 r ( R ) ≠ 2 。如果 * 通勤是一些非零吗 * 理想 U ,然后 年代 ⊆ Z 。

它遵循从( 5),如果 y ∈ 年代 ∩ U ,然后 y ∈ Z ( U ) ,因为在一个'环的中心的中心中包含的非零理想 R , 年代 ∩ U ⊆ Z ( R ) 。假设 年代 ∩ U ≠ { 0 } ,让 z ∈ ( 年代 ∩ U ) ∖ { 0 } 。然后对任何 年代 ∈ 年代 , 年代 z ∈ U ∩ 年代 ,所以 年代 z ∈ Z ( R ) 。自 z 并不是一个零因子,我们得到了什么 年代 ∈ Z ( R ) 。

完成证明,我们只需要证明 年代 ∩ U ≠ { 0 } 。相反,假设 年代 ∩ U = { 0 } 。然后对任何 y ∈ U , y + y * = 0 ;因此 U ⊆ K 。但对于任何 k ∈ K , k 2 ∈ 年代 ;因此 y 2 = 0 对所有 y ∈ U ,我们有反驳的著名结果Levitzki [ 4引理1.1]。

让 R 是半素环和 U 一个非零理想。然后 R 承认没有推导 d 这样 d 是一段2 U 。

假设存在一个推导过程 d 在 R 这样 d 2 ( x ) = x 对所有 x ∈ U 。为 x , y ∈ U , x d ( y ) ∈ U 和条件, x d ( y ) = d 2 ( x d ( y ) ) 收益率 (9) x d ( y ) + 2 d ( x ) y = 0 ∀ x , y ∈ U 。 自 d 2 ( x y ) = x y = d ( d ( x ) y + x d ( y ) ) ,我们得到 (10) x y + 2 d ( x ) d ( y ) = 0 ∀ x , y ∈ U ; 和替换 y 通过 y r 在( 10),我们得到 (11) 2 d ( x ) y d ( r ) = 0 ∀ x , y ∈ U , r ∈ R 。 替换 r x 为 r 在( 11),我们得到 2 d ( x ) y r d ( x ) = 0 ;因此 (12) 2 d ( x ) y R d ( x ) y = { 0 } ∀ x , y ∈ U 。 但 R 是半素,所以 2 d ( x ) y = 0 对所有 x , y ∈ U ,( 9), (13) x d ( y ) = 0 ∀ x , y ∈ U 。 因此 (14) d ( x d ( y ) ) = d ( x ) d ( y ) + x d 2 ( y ) = d ( x ) d ( y ) + x y = 0 ∀ x , y ∈ U , 在一起( 10)的收益率 x y = 0 对所有 x , y ∈ U 。特别是, x 2 = 0 对所有 x ∈ U Levitzki相反的结果。

半素环 R 承认没有派生的第二阶段 R 。

当然任何派生 d 第二阶段的 R 满足 d 3 = d 。(所示 5非交换半素环),尽管它没有派生周期2,可能有许多非零派生的 d 3 = d ;对于任何非中心幂等 e ,内部的推导 d e 就是一个例子。

让 R 是一个任意的戒指。如果 F 是一个广义推导 R ,然后 F ( Z ) ⊆ Z 。

让 x ∈ R 和 z ∈ Z 。然后 F ( z x ) = F ( x z ) ,所以 F ( z ) x + z d ( x ) = d ( x ) z + x F ( z ) ,在那里 d 是相关推导的 F 。自 ( z , d ( x ) ] = 0 ,结果如下所示。

让 R 黄金戒指 c h 一个 r ( R ) ≠ 2 ,让 d 是一个派生 R 。如果正确的给出的广义推导 F ( x ) = x + d ( x ) ( r e 年代 p 。 , F ( x ) = - - - - - - x + d ( x ) ) 对所有 x ∈ R 是一段2 R ,然后 F 身份映射(分别地。,the negative of the identity map) on R 。

考虑这样一种情况 F ( x ) = x + d ( x ) 对所有 x ∈ R 。如果 F 第二阶段,我们有什么 x = F 2 ( x ) = F ( x + d ( x ) ) = F ( x ) + F ( d ( x ) ) = x + d ( x ) + d ( x ) + d 2 ( x ) ;因此 (15) 2 d ( x ) + d 2 ( x ) = 0 ∀ x ∈ R 。 替换 x 通过 x y ,我们得到 2 ( d ( x ) y + x d ( y ) ) + d 2 ( x ) y + 2 d ( x ) d ( y ) + x d 2 ( y ) = 0 ;也就是说, ( 2 d ( x ) + d 2 ( x ) ) y + x ( 2 d ( y ) + d 2 ( y ) ) + 2 d ( x ) d ( y ) = 0 对所有 x , y ∈ R 。鉴于( 15)和假设 c h 一个 r ( R ) ≠ 2 ,这个方程 (16) d ( x ) d ( y ) = 0 ∀ x , y ∈ R 。 众所周知,很容易证明 R ', d 是一个非零的推导,然后呢 一个 ∈ R 和 一个 d ( R ) = { 0 } 意味着 一个 = 0 。因此,从( 16我们得出这样的结论: d = 0 因此 F 身份映射 R 。类似的论证工作 F ( x ) = - - - - - - x + d ( x ) 对所有 x ∈ R 。

让 R 黄金戒指 c h 一个 r ( R ) ≠ 2 ,让 F 是一个合适的广义推导 R 与相关推导 d 。如果 F 是一段2 R ,然后 d ( Z ) = { 0 } 。

对所有 x , y ∈ R , x y = F 2 ( x y ) = F ( F ( x ) y + x d ( y ) ) = F 2 ( x ) y + F ( x ) d ( y ) + F ( x ) d ( y ) + x d 2 ( y ) ;因此 (17) 2 F ( x ) d ( y ) + x d 2 ( y ) = 0 ∀ x , y ∈ R 。 替换 x 通过 F ( x ) 在( 17)的收益率 (18) 2 x d ( y ) + F ( x ) d 2 ( y ) = 0 ∀ x , y ∈ R 。 让 z ∈ Z 和 x ∈ R 和替换 x 通过 x z 在( 18),我们得到 2 x z d ( y ) + ( F ( x ) z + x d ( z ) ) d 2 ( y ) = 0 = z ( 2 x d ( y ) + F ( x ) d 2 ( y ) ) + d ( z ) x d 2 ( y ) ,所以由( 18我们获得 (19) d ( z ) R d 2 ( y ) = { 0 } ∀ y ∈ R 。 如果 d ( Z ) ≠ { 0 } ,我们得出这样的结论: d 2 = 0 。但自 R ', c h 一个 r ( R ) ≠ 2 ,很容易证明 d ≠ 0 意味着 d 2 ≠ 0 ;因此 d ( Z ) = { 0 } 声称。

让 R 是一个(不一定是交换)域, c h 一个 r ( R ) ≠ 2 。如果 F 是一个广义上推导吗 R 第二阶段,然后 F 身份映射或其负面的。

请注意, (20) F ( x ) = F ( 1 x ) = F ( 1 ) x + d ( x ) ∀ x ∈ R 。 采取 x = 1 在( 17)和( 18),让 c = F ( 1 ) ,我们有 2 c d ( y ) + d 2 ( y ) = 0 和 2 d ( y ) + c d 2 ( y ) = 0 对所有 y ∈ R 。由此可见, 2 d ( y ) + c ( - - - - - - 2 c d ( y ) ) = 0 ;也就是说, ( 2 - - - - - - 2 c 2 ) d ( y ) = 0 ;因此 (21) ( c 2 - - - - - - 1 ) d ( y ) = 0 ∀ y ∈ R 。 如果 d ≠ 0 ,我们有 c = 1 或 c = - - - - - - 1 ,所以 F ( x ) = x + d ( x ) 对所有 x ∈ R 或 F ( x ) = - - - - - - x + d ( x ) 对所有 x ∈ R 。但是通过引理 7这将意味着 d = 0 ;因此 d = 0 和 (22) F ( x ) = c x ∀ x ∈ R 。 自 F 第二阶段, x = c 2 x 因此 ( c 2 - - - - - - 1 ) x = 0 对所有 x ∈ R 。因此, c = 1 或 c = - - - - - - 1 ,所以由( 22), F 身份映射或其负面的。

让 R 一个交换积分域 c h 一个 r ( R ) ≠ 2 。如果 F 是一个广义的第二阶段推导吗 R ,然后 F 身份映射或其负面的。

如果 R 1,结果是直接从定理呢 9。如果 R 没有1,定义 F ^ 在球场上的分数 K 通过 F ^ ( 一个 / b ) = F ( 一个 ) / b 。使用这一事实 d = 0 由引理 8,我们可以证明 F ^ 定义,是一个广义上推导吗 K 。由定理 9, F ^ 身份映射或其消极 K 这是 F 身份映射或其消极 R 。

让 R 黄金戒指 Z ≠ { 0 } 和 c h 一个 r ( R ) ≠ 2 。如果 F 是一个广义的推导时期2 R 与相关推导 d ,然后 F 身份映射或其负面的。

由引理 6, F ( Z ) ⊆ Z ;因此 F 限制了广义推导 Z 。由于黄金戒指的中心是一个交换领域,它遵循从推论 10那 F ( z ) = z 对所有 z ∈ Z 或 F ( z ) = - - - - - - z 对所有 z ∈ Z 。如果是前者,那么 F ( z x ) = F ( x z ) ,连同这一事实 d ( Z ) = { 0 } ,给 z ( F ( x ) - - - - - - x - - - - - - d ( x ) ) = 0 对所有 x ∈ R 和 z ∈ Z 。采取 z ≠ 0 给了 F ( x ) = x + d ( x ) 对所有 x ∈ R 由引理,所以 7, F 身份映射 R 。类似的争论表明,如果 F ( z ) = - - - - - - z 对所有 z ∈ Z , F 是负的身份映射。