域的粗糙边界构群的半连续

摘要

基于格林和克兰兹的一些思想，研究了一类复变量域的自同构群的半连续性。我们证明了域的半连续性失效那，但它适用于域中李普希茨边界。使用同样的想法，我们开发了一些与Lipschitz域映射相关的其他概念。这包括Bergman曲率，Bergman核的稳定性，以及一些关于等变嵌入的想法。

1.介绍

一个域是连通开集。如果是域名，那我们就让的表示双全纯的（的映射的组合物中的二进制操作下）的组自映射．什么时候是一个有界域，是一个实李群(不是复李群)。

格林和克兰兹的一个著名定理[1下面说。

定理1.1。让是一个平滑地为界，与限定功能强拟域(见[2为定义函数的概念)。有一个所以,如果为顺利界，强拟域定义功能与(一些大的自同构群的自同构群的子群是．此外，还有一个微分同胚使得映射 的单射群同态是成．

下面我们将把这个结果称为“半连续性定理”。

需要注意的是，虽然这个定理最初是在强伪凸域中证明的，同样的证据表明，其结果是真实的对于任何顺利界域．事实上，这个证明与原始证明平行于[1，在一维环境中要简单得多。

这一结果的原始证明相当复杂，它使用了[3.以及伯格曼代表坐标的概念。另一种方法，使用正常家庭，在[4.］．文献[5.提出了一种方法，当区域边界仅为时，导出半连续性定理．最近的研究[6.给出了一种新的、更强大的方法来解决降低边界平滑度的问题。文献[7.给出了解决问题的另一种方法，并证明了有限类型域的结果。

当边界的光滑度小于2次时，几何上自然会怀疑是否存在半连续性定理。一方面，几何分析的经验表明是许多积极结果的自然分水岭(见[8.])。在另一方面，李氏边界但从扩张等几何操作的角度很自然的。

本文的目的是证明在那，具有Lipschitz边界。但它适用于域李普希茨边界。造成这种差异的原因，至少隐含地与黎曼映射定理在几个复变量中的失效有关。随着演示的发展，我们将更详细地解释这一点。

2.Several-Complex-Variable情况

本节的主要结果如下。

定理2.1。让考虑域．这是一个序列具有Lipschitz边界和另一个域的强伪凸域用利普希茨边界在定义函数，并且使得李普希茨拓扑(一)为每一个那;(b) ．

参见[9.，来考虑小于的强伪凸域边界。这一结果表明，在半连续性定理失败与李氏界域。

需要理解的是，本文所考虑的所有域都具有有限的连通性。特别地，定义域的补函数只有有限多的分量。补体的每个组成部分都有Lipschitz边界。我们所做的不允许在单个点边界的部件。每个边界部分是一个开集的关闭。

我们将在[10在构造定理中阐明的例子时。我们将进行施工．但在任何地方都很容易找到类似的例子．

该定理的证明。让是这样的,(我) ;(2) ;（iii） ．
我们将通过修改单位球打造我们的域在．我们将特定用途的单位球的这些同构的，对模数小于1的复数: 参见[11］．
我们定义 放 很明显是具有光滑边界的域。这是一个将球“凸点”附接在点．
现在定义 我们看到，具有积聚在点无限多的颠簸和．这是因为这些积累点的边界的只是李普希茨。
一般我们让，为那 放 很明显是具有光滑边界的域。这是一个将球“凸点”附接在点．
现在定义为那 我们看到，具有积聚在点无限多的颠簸和．这是因为这些积累点的边界的只是李普希茨。
最后,我们让
现在很清楚在Lipschitz拓扑中定义函数。此外，[10的自同构群精确地由映射组成那．所以的自同构群是正则同构的．但也很清楚的是，自同构群只有同一性。
这就完成了定理中描述的构造。

3.单变量的情况

一变量结果如下。

定理3.1。考虑域．让是具有Lipschitz边界和定义函数的有界区域．如果足够小，无论何时有界域是否具有Lipschitz边界和定义函数令人满意的的自同构群的自同构群的子群是．此外，还有一个微分胚因此，映射 是一个单射群同态。

我们在这里看到的情况是鲜明的对比，对于多复变数。我们对这个结果证明将依靠均匀的平面域，其在多复变数没有模拟的结果。

该定理的证明。修复域然后让的距离从在李氏拓扑。
经典函数理论的一个标准结果是:平面上的一个有限连通区域，没有补的分量等于一个点，它与切除了有限多个非平凡闭圆盘的平面保角等效-参见[12］．称这个正形映射为定义域的“规范化”。这个结果的特别之处在于它的证明是有建设性的很容易就能看出是否接近正常化只是因为接近．事实上，正常化将接近的在拓扑。只是因为它一旦接近在李氏拓扑则是自动关闭在平滑的轮廓（因为边界由穷个平凡的圆圈）。
因此，我们可以应用semicontintuity定理的一维版本看边界上的自同构群的规格化的自同构群的子群是．和微分同胚映射存在如常。现在，我们可以使用正火保角映射到传输这个结果回到原来的域和．
这样证明就完成了。

我们注意到另一种构造标准化映射的方法是通过格林函数。这种方法也是非常明确和建设性的。椭圆型边值问题的稳定性结果是众所周知的。这再次证明了半连续性定理通过转移到标准化区域。

4.一个复维的相关结果

关键Greene和克兰茨在工作[3.]和[1是Bergman核的一个稳定性结果。在这个定理中，作者考虑了一个基域和一个“附近”域．通常，我们在合适拓扑结构的定义函数接近来定义“附近”。但它是有用的注意的是，在这种情况下，有一个微分同胚，这是在一个合适的身份接近拓扑。有了这个想法，格林和“将军”证明了以下事实。

定理4.1。让是一个固定的、光滑有界的强伪凸域。让是一个领域关闭”在一个拓扑。让是在前面的段落中描述的映射。如果足够小，那么伯格曼核呢为了接近在拓扑的一些．

这一结果也拥有一个复杂的维度，并在这方面的证明实际上是容易得多。

我们现在的话是，这个定理实际上是在李氏拓扑真实。我们用最后一节的说法。也就是说，如果接近在李普希茨拓扑，则进行归一化是否接近正常化在平滑的拓扑中。这个定理的一维版本4．1适用于标准化域。结果如下。

5.等变化嵌入

Maskit的一个可爱的结果[13是下面的内容。

定理5.1。让是任何平面结构域。再有就是一价，全纯嵌入使图象域的自同构群仅由线性分数变换组成。

Maskit结果的一个优雅的推论是平面区域是否有固定三个点的自同构是标识映射。在此之前，因为很明显，任何线性分式变换，修复三点身份。

这里我们想指出，这篇论文的观点给出了这个定理的“穷人版本”。为让是任何有Lipschitz边界的域，我们已经讨论过了。所以补的每个分量都是一个有Lipschitz边界的区域的闭包。标准化映射发送这个域到由有限多个不相交圆为界的平面区域。很容易看出，使用Schwarz反射和Schwarz引理，这样一个域的任何共形自映射都必须是线性分数阶。所以任何固定三个点的地图一定是单位矩阵。

6.包子黄/罗赛定理

几个复杂变量的经典结果如下(见[14那15])。

定理6.1。让是一个有界域。让和假设的邻域内的强伪凸是什么．假设有一个点和同构的这样作为．然后是双全纯到单位球。

同样，Krantz [16证明了下面的结果。

定理6.2。让是一个有界域有这样的特性：靠近是一个曲线。假设有一个点和同构的这样作为．然后与单位圆盘保角等效。

在本节中，我们将重新检查定理6.2在本文中，即，在相对于具有Lipschitz边界有限连通域的上下文。如所指出的，这样的结构域是共形地等同于一个域它的边界是由有限多个圆组成的。现在我们有以下几种可能性。(一)如果只有一个圆就是光盘，没有什么需要证明的。(b)如果由两个圆圈组成，一个在另一个里面是(保形相当于)环。则该域的自同构群是单位圆的两个副本。特别是，它是紧凑的。那么定理的假设6.2没有获得。(c)如果由两个圆，这两者都不是内部的其它，那么该域是无界的。这种结构域的构群紧凑，定理的假说6.2不适用。(d)如果由至少三个圆，与各界但一个躺在另一个的内部，那么它是公知的（见[17]或[18的自同构群是有限的。然后是定理的假设6.2没有获得。

因此，通过观察，我们可以看到这个定理6.2在我们在本文中讨论的领域中是正确的。

7. Bergman度量的曲率

了解伯格曼度规在平面域上的曲率性质是一件相当有趣的事情。特别是，边界附近曲率的负性是一个有用的分析工具(见[3.])。如果是具有Lipschitz边界的平面域，则其归一化域以有限多个圆为界。伯格曼核在这样一个区域上的渐近边界行为是很容易理解的，参见[19］．特别是近一个边界点内核渐近地很像圆盘的核。因此，一个简单的计算证实了伯格曼度规在边界附近的曲率是负的。当然，这一声明以一种自然的方式回到了原始领域。

8.闭幕词

想要考虑这里给出的结果是很自然的拓扑结构，甚至拓扑。目前还没有解决这些问题的技术。

在多复变，一想也证明了两大类域半连续性定理。这将是未来篇论文的主题。

参考文献

1. R. E. Greene和S. G. Krantz，“强伪凸域的自同构群”，数学年鉴，卷。261，没有。4，第425-446，1982。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索
2. s . g .“将军”多复变量函数理论，美国数学学会，普罗维登斯，RI，美国，第二版，2001年。
3. R. E. Greene和S. G. Krantz，“复杂结构的变形，估计$\bar{\partial }$-方程和伯格曼核的稳定性数学的发展号，第43卷。1，页1 - 86,1982。视图:谷歌学术搜索
4. “紧可微流形上紧群作用的半连续性”，档案der Mathematik，第49卷，第49期。5，页450-455,1987。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索
5. R. E. Greene和S. G. Krantz，“等距群和自同构群的正规族和半连续性”，Mathematische Zeitschrift第190卷第1期4，第455-467页，1985。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索
6. R. E.格林，k . t。Kim, S. G. Krantz和a - r。强伪凸域的自同构群的半连续性:低可微性的情形太平洋数学杂志在出版社。视图:谷歌学术搜索
7. 《自同构群的收敛性和半连续性》，实时分析交流．在出版社。视图:谷歌学术搜索
8. s·g·克兰兹和h·r·帕克斯，空间域的几何，Birkhäuser，马萨诸塞州波士顿，美国，1996年。
9. 亨金和莱特，"具有非光滑边界的严格伪凸集上的函数理论，用德语和俄语总结，“报告数学1981，德国柏林，für数学研究所，德国，1981。视图:谷歌学术搜索
10. L. Lempert和L. Rubel， "独立导致了几个复杂变量"美国数学学会学报，卷。113，第一○五五年至1065年，1991。视图:谷歌学术搜索
11. w·鲁丁单位球中的函数理论ℂ^N，施普林格，纽约，纽约，美国，1980。
12. s . g .“将军”几何函数理论的基石:复变分析的探索， Birkhäuser，美国马萨诸塞州波士顿，2006年。
13. B. Maskit，平面域的保形群，美国数学杂志，卷。90，第718-722，1968。视图:谷歌学术搜索
14. J.P。罗赛，“苏尔UNE表征德拉刚玉PARMI莱域德${ℂ}^N$parson群的自同构傅里叶格勒诺布尔研究所年鉴，第29卷，第91-97页，1979年。视图:谷歌学术搜索
15. 黄b，《单位球的特性》ℂ^N其构群”发明Mathematicae，卷。41，没有。3，第253-257，1977。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索
16. S. G. Krantz，“平滑域的特征$ℂ$通过他们的自我双全纯映射”美国数学月刊，第90卷，第555-557页，1983。视图:谷歌学术搜索
17. G.朱莉娅，“Leçons拉河畔表示CONFORME DES布宜诺斯艾利斯multiplement connexes，”法国巴黎，1934年。视图:谷歌学术搜索
18. M.海因斯，“关于1-1直接共形映射的数量有限，其连通性的多次相关平面区域$\mathrm{P.}（>2）$承认本身,“医疗辅助队公报(一九四六年)第52卷第454-457页。视图:谷歌学术搜索
19. l . Apfel本地化属性和Bergman核[论文]边界行为华盛顿大学圣路易斯分校，2003。

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