IJMMS
国际数学和数学科学杂志》上
1687 - 0425
0161 - 1712
Hindawi出版公司
934295年
10.1155 / 2012/934295
934295年
研究文章
半连续性的自同构群域的边界
“将军”
史蒂文·G。
约根森
Palle E。
数学系
圣路易斯华盛顿大学
63130年密苏里州圣路易斯
美国
wustl.edu
2012年
7
11
2012年
2012年
14
08年
2012年
15
10
2012年
2012年
版权©2012年史蒂文·g·“将军”。
这是一个开放的文章在知识共享归属许可下发布的,它允许无限制的使用,分布和繁殖在任何媒介,提供最初的工作是正确的引用。
根据格林和“将军”的一些想法,我们研究自同构群域的半连续性和几个复杂的变量。我们表明,半连续性失败的领域<我nline-formula>
ℂ
n
,<我nline-formula>
n
>
1
李普希茨的边界,但它适用于域<我nline-formula>
ℂ
1
李普希茨边界。使用相同的想法,我们开发一些其他相关概念的映射李普希茨域。这些包括伯格曼曲率,稳定伯格曼内核的属性,也对等变化嵌入的一些想法。
1。介绍
一个域<我nline-formula>
ℂ
n
是一个开集连接。如果<我nline-formula>
Ω
是一个域,那么我们呢<我nline-formula>
Aut
(
Ω
)
表示该集团(映射)组成的二元运算下的双正则self-maps<我nline-formula>
Ω
。当<我nline-formula>
Ω
是一个有限域,<我nline-formula>
Aut
(
Ω
)
是一个真正的李群(从来没有一个复杂)。
一个显著的格林定理和“将军”
1)下面说。
定理1.1。
让<我nline-formula>
Ω
0
是顺利的,强伪凸域定义函数<我nline-formula>
ρ
0
(见[
2)定义函数)的概念。有一个<我nline-formula>
ϵ
>
0
所以,如果<我nline-formula>
ρ
是一个定义函数顺利有界,强伪凸域<我nline-formula>
Ω
与<我nline-formula>
∥
ρ
0
- - - - - -
ρ
∥
C
k
<
ϵ
(一些大<我nline-formula>
k
)的自同构群<我nline-formula>
Ω
自同构群的一个子群吗<我nline-formula>
Ω
0
。此外,微分同胚映射<我nline-formula>
Φ
:
Ω
→
Ω
0
这样的映射
(1.1)
Aut
(
Ω
)
∋
φ
↦
Φ
∘
φ
∘
Φ
- - - - - -
1
是一个单射群同态的<我nline-formula>
Aut
(
Ω
)
成<我nline-formula>
Aut
(
Ω
0
)
。
在下面,我们应当将这一结果称为“半连续性定理”。
值得注意的是,尽管这个定理最初证明强伪凸域的<我nline-formula>
ℂ
n
,同样的证据表明结果是正确的<我nline-formula>
ℂ
1
对于任何顺利有限域<我nline-formula>
Ω
0
。事实上证明,在平行于原始证明(
1在一维的上下文中),是相当简单的。
这个结果的原始证明,相当复杂,稳定性结果用于伯格曼内核和公制成立于(
3伯格曼)的想法,也代表坐标。另一种方法,使用普通家庭,是开发的
4]。摘要(
5)方法,推导了半连续性定理仅当域边界<我nline-formula>
C
2
。最近工作(
6]给出了一个新的和更强大的方法来减少边界平滑的这件事。摘要(
7)给了物质和另一种方法证明了有限域类型的结果。
几何自然是想知道是否有半连续性定理,当边界平滑度小于2。一方面,经验表明,几何分析<我nline-formula>
C
2
是一种天然的许多积极的结果(见[截止
8])。另一方面,李普希茨边界非常自然的观点的扩张和其他几何操作。
本文的目的是显示域的半连续性定理失败<我nline-formula>
ℂ
n
,<我nline-formula>
n
>
1
李普希茨边界。但它适用于域<我nline-formula>
ℂ
1
李普希茨边界。这种差异的原因是相连的,至少含蓄,黎曼映射定理的失败在一些复杂的变量。我们将更详细地解释这一点作为表示发展。
2。Several-Complex-Variable情况
本节的主要结果如下。
定理2.1。
让<我nline-formula>
n
>
1
并考虑域名<我nline-formula>
ℂ
n
。有一个序列<我nline-formula>
Ω
j
李普希茨强伪凸域的边界和另一个领域<我nline-formula>
Ω
李普希茨边界,这样<我nline-formula>
Ω
j
→
Ω
李普希茨拓扑中定义函数和这样
为每一个<我nline-formula>
j
,<我nline-formula>
Aut
(
Ω
j
)
=
ℤ
;
Aut
(
Ω
)
=
{
我
d
}
。
参见[
9为考虑不到的强伪凸域<我nline-formula>
C
2
边界。这一结果表明,半连续性定理失败与李普希茨域边界。
应该明白,所有的域被认为是在本文有限的连接。特别是,补的领域只有有限许多组件。和每个组件的补充李普希茨边界。我们所做的<我talic>
不允许单点边界组件。每个边界组件是开集的闭包。
我们将使用一些想法(
10在构造定理的例子阐述。我们将使我们的建设<我nline-formula>
ℂ
2
。但很容易产生类似的例子<我nline-formula>
ℂ
n
。
这个定理的证明。
让<我nline-formula>
ψ
∈
C
c
∞
(
ℂ
n
)
是这样的,
增刊
ψ
⊆
B
(
0
,
1
)
;
ψ
≥
0
;
ψ
(
0
)
=
1
。
我们将建立域通过修改单位球<我nline-formula>
B
在<我nline-formula>
ℂ
2
。我们将特定的单位球,使用这些同构<我nline-formula>
一个
一个复数的模量小于1:
(2.1)
Ψ
一个
(
z
1
,
z
2
)
=
(
z
1
- - - - - -
一个
1
- - - - - -
一个
¯
z
1
,
1
- - - - - -
|
一个
|
2
z
2
1
- - - - - -
一个
¯
z
1
)
。
参见[
11]。
我们定义
(2.2)
η
1
(
z
1
,
z
2
)
=
- - - - - -
1
+
|
z
1
|
2
+
|
z
2
|
2
- - - - - -
(
1
10
)
ψ
(
10
(
(
z
1
,
z
2
)
- - - - - -
(
3
4
,
1
2
)
)
)
。
集
(2.3)
U
1
=
{
(
z
1
,
z
2
)
∈
ℂ
2
:
η
1
(
z
1
,
z
2
)
<
0
}
。
很明显<我nline-formula>
U
1
是一个域,光滑的边界。它是一个球和一个附加在“撞”<我nline-formula>
(
3
/
4
,
1
/
2
)
。
现在定义
(2.4)
Ω
1
=
⋃
j
=
- - - - - -
∞
∞
Ψ
1
/
10
2
j
(
U
1
)
。
我们可以看到,<我nline-formula>
Ω
1
有无限多的疙瘩积累点<我nline-formula>
(
1
,
0
)
和<我nline-formula>
(
- - - - - -
1
,
0
)
。这是因为这些积累点的边界<我nline-formula>
Ω
1
只是李普希茨。
一般来说我们,<我nline-formula>
k
≥
2
,
(2.5)
η
k
(
z
1
,
z
2
)
=
- - - - - -
1
+
|
z
1
|
2
+
|
z
2
|
2
- - - - - -
(
1
1
0
k
)
×
ψ
(
1
0
k
(
(
z
1
,
z
2
)
- - - - - -
(
(
1
2
)
k
- - - - - -
1
- - - - - -
(
1
2
)
2
k
,
1
- - - - - -
(
1
2
)
k
)
)
)
。
集
(2.6)
U
k
=
{
(
z
1
,
z
2
)
∈
ℂ
2
:
η
k
(
z
1
,
z
2
)
<
0
}
。
很明显<我nline-formula>
U
k
是一个域,光滑的边界。它是一个球和一个附加在“撞”<我nline-formula>
(
(
1
/
2
)
k
- - - - - -
1
- - - - - -
(
1
/
2
)
2
k
,
1
- - - - - -
(
1
/
2
)
k
)
。
现在定义,<我nline-formula>
k
≥
2
,
(2.7)
Ω
k
=
Ω
k
- - - - - -
1
∪
⋃
j
=
- - - - - -
∞
∞
Ψ
1
/
10
2
j
+
k
- - - - - -
1
(
U
k
)
。
我们可以看到,<我nline-formula>
Ω
k
有无限多的疙瘩积累点<我nline-formula>
(
1
,
0
)
和<我nline-formula>
(
- - - - - -
1
,
0
)
。这是因为这些积累点的边界<我nline-formula>
Ω
1
只是李普希茨。
最后,我们让
(2.8)
Ω
=
⋃
k
=
1
∞
Ω
k
。
现在很明显,<我nline-formula>
Ω
k
→
Ω
李普希茨拓扑中定义函数。此外,的想法
10)表明,自同构群<我nline-formula>
Ω
k
包括准确的映射<我nline-formula>
Ψ
1
/
10
2
j
+
k
- - - - - -
1
,<我nline-formula>
j
∈
ℤ
。所以自同构群<我nline-formula>
Ω
k
是正规的同构<我nline-formula>
ℤ
。但同样清楚的是,自同构群<我nline-formula>
Ω
由单独的身份。
完成施工中所描述的定理。
3所示。单变量的情况
单变量的结果是这样的。
定理3.1。
考虑域名<我nline-formula>
ℂ
1
。让<我nline-formula>
Ω
0
⊆
ℂ
1
是一个有限域李普希茨边界和定义函数<我nline-formula>
ρ
0
。如果<我nline-formula>
ϵ
>
0
是足够小,那么,无论何时<我nline-formula>
Ω
是一个有限域李普希茨边界和定义函数<我nline-formula>
ρ
令人满意的<我nline-formula>
∥
ρ
0
- - - - - -
ρ
∥
唇
<
ϵ
然后自同构群<我nline-formula>
Ω
自同构群的一个子群吗<我nline-formula>
Ω
0
。此外,微分同胚映射<我nline-formula>
Φ
:
Ω
→
Ω
0
这样的映射
(3.1)
Aut
(
Ω
)
∋
φ
↦
Φ
∘
φ
∘
Φ
- - - - - -
1
∈
Aut
(
Ω
0
)
是一个单射群同态。
我们看到这里的情况形成鲜明对比,对于一些复杂的变量。我们证明这个结果将为平面域依赖单值化,因此没有模拟在一些复杂的变量。
这个定理的证明。
修复领域<我nline-formula>
Ω
0
,让<我nline-formula>
Ω
的距离<我nline-formula>
ϵ
从<我nline-formula>
Ω
0
李普希茨拓扑。
经典函数理论的标准结果,连接的有限域平面上,补充的没有分量等于一个点,保形相当于飞机闭着有限的许多重要的光盘excised-see [
12]。调用这个保角映射域的“正常化”。特别好对这个结果是,证明是有益的,是简单的正常化吗<我nline-formula>
Ω
接近正常化吗<我nline-formula>
Ω
0
仅仅因为<我nline-formula>
Ω
接近<我nline-formula>
Ω
0
。事实上正常化<我nline-formula>
Ω
将接近<我nline-formula>
Ω
0
在<我nline-formula>
C
2
拓扑。因为一旦关闭李普希茨拓扑然后它是自动关闭的平滑拓扑(因为有限的边界由许多重要的圆圈)。
因此我们可以申请的一维版本semicontintuity定理<我nline-formula>
C
2
边界的自同构群的正常化<我nline-formula>
Ω
自同构群的一个子群吗<我nline-formula>
Ω
0
。和微分同胚映射<我nline-formula>
Φ
像往常一样存在。现在我们可以使用保角映射将这个结果正常化回到原来的域名<我nline-formula>
Ω
0
和<我nline-formula>
Ω
。
这就完成了证明。
我们注意到另一种构造归一化映射的方法是通过格林函数。这个方法也很明确的和建设性的。稳定性结果椭圆边值问题是众所周知的。这又会导致半连续性定理的证明通过移情到规范化的域。
4所示。相关的结果在一个复杂的维度
(格林和“将军”的工作的关键
3]和[
1伯格曼内核)是一个稳定的结果。在这个定理,作者考虑基础领域<我nline-formula>
Ω
0
和“附近”域<我nline-formula>
Ω
。像往常一样,我们定义“附近”的亲密的在合适的拓扑定义功能。但它是有用的注意,在这种情况下,有一个微分同胚映射<我nline-formula>
Π
:
Ω
→
Ω
0
,这是接近一个合适的身份<我nline-formula>
C
k
拓扑。带着这个想法,格林和“将军”证明以下。
定理4.1。
让<我nline-formula>
Ω
0
是一个固定的,顺利的,强伪凸域。让<我nline-formula>
Ω
是一个域”<我nline-formula>
ϵ
关闭”<我nline-formula>
Ω
0
在一个<我nline-formula>
C
k
拓扑。让<我nline-formula>
Π
前款所描述的映射。如果<我nline-formula>
ϵ
伯格曼是足够小,那么内核<我nline-formula>
K
Ω
为<我nline-formula>
Ω
接近<我nline-formula>
K
Ω
0
∘
Π
在<我nline-formula>
C
米
拓扑的一些<我nline-formula>
0
<
米
<
k
。
这个结果同样适用于一个复杂的维度,证明在这种情况下其实是更加容易。
我们的言论现在是这个定理在李普希茨拓扑实际上是正确的。我们用最后一节的论点。也就是说,如果<我nline-formula>
Ω
接近<我nline-formula>
Ω
0
李普希茨拓扑,然后正常化<我nline-formula>
Ω
接近正常化吗<我nline-formula>
Ω
0
在一个光滑的拓扑。这一版本的定理
4.1适用于标准化领域。结果如下。
5。等变化嵌入
一个可爱的Maskit[的结果
13)是这样的。
定理5.1。
让<我nline-formula>
Ω
⊆
ℂ
是任意平面域。然后有一个单价的,全纯嵌入<我nline-formula>
Φ
:
Ω
→
ℂ
这图像域的自同构群<我nline-formula>
Φ
(
Ω
)
只有由线性分式变换。
一个优雅的,如果Maskit推论的结果<我nline-formula>
φ
是任何一个平面域的自同构修复三分呢<我nline-formula>
φ
标识映射。在此之前,因为很明显,任何线性分式变换修复三分是身份。
我们想在这儿说明,本文的思想给“穷人的版本”的定理。为让<我nline-formula>
Ω
与李普希茨任何域边界,因为我们一直在讨论。所以每个组件的补充是关闭一个地区拥有李普希茨边界。现在的正常化地图发送这一领域<我nline-formula>
Ω
有限的平面域界许多不相交的圆。很容易看到,使用施瓦兹的反射和施瓦茨引理,任何的正形self-map域必须是线性分式。所以任何此类地图修复三个点必须标识。
6。黄包/ Rosay定理
古典导致一些复杂的变量如下(见[
14,
15])。
定理6.1。
让<我nline-formula>
Ω
⊆
ℂ
n
是一个有限域。让<我nline-formula>
P
∈
∂
Ω
和假设<我nline-formula>
∂
Ω
是强伪凸的邻居吗<我nline-formula>
P
。假设有一个点<我nline-formula>
X
∈
Ω
和同构<我nline-formula>
φ
j
的<我nline-formula>
Ω
这样<我nline-formula>
φ
j
(
X
)
→
P
作为<我nline-formula>
j
→
∞
。然后<我nline-formula>
Ω
是单位球双全纯的。
在一个类似的精神,“将军”(
16]证明了下面的结果。
定理6.2。
让<我nline-formula>
Ω
⊆
ℂ
是一个有限域,让<我nline-formula>
P
∈
∂
Ω
有财产<我nline-formula>
∂
Ω
附近<我nline-formula>
P
是一个<我nline-formula>
C
1
曲线。假设有一个点<我nline-formula>
X
∈
Ω
和同构<我nline-formula>
φ
j
的<我nline-formula>
Ω
这样<我nline-formula>
φ
j
(
X
)
→
P
作为<我nline-formula>
j
→
∞
。然后<我nline-formula>
Ω
形相当于单位圆盘。
在本节中,我们将重新审视定理
6。2在本文的上下文中,与有限域与李普希茨边界。如上所述,这种域形相当于一个域<我nline-formula>
Ω
^
的边界由许多圈子有限。现在我们有以下的可能性。
如果<我nline-formula>
∂
Ω
^
由一个圆<我nline-formula>
Ω
^
是光盘,没有什么可以证明的。
如果<我nline-formula>
∂
Ω
^
由两个圆,在另一个<我nline-formula>
Ω
^
是一个环(形等效)。那么这样一个域的自同构群是单位圆的两个副本。特别是,它是紧凑的。因此定理的假设
6。2没有获得。
如果<我nline-formula>
∂
Ω
^
由两个圆,这是在其他域是无界的。这样一个域的自同构群紧凑,和定理的假设
6。2不适用。
如果<我nline-formula>
∂
Ω
^
由至少三个圆圈,圆圈,但一个躺在另一个然后众所周知(参见[
17]或[
18自同构群])<我nline-formula>
Ω
^
是有限的。然后定理的假设
6。2没有获得。
由此,我们看到,检验定理
6。2在领域的背景下,我们一直在讨论。
7所示。伯格曼的曲率度量
这是一个相当大的兴趣的问题知道伯格曼的曲率属性度量在平面域。特别是,消极的曲率边界附近的一个有用的分析工具(参见[
3])。如果<我nline-formula>
Ω
与李普希茨是一个平面域边界,那么许多圈子有限的规范化域名是有界的。伯格曼内核的渐近边界行为在这样的领域很好understood-see [
19]。特别是,一个边界点附近的内核<我nline-formula>
P
渐近很像圆盘的内核。因此,一个简单的计算证实了伯格曼的曲率度量在边界附近是负的。当然这句话拉回原始域自然的方式。
8。闭幕词
人们很自然地想考虑这里给出的结果的<我nline-formula>
C
1
拓扑甚至<我nline-formula>
C
2
- - - - - -
ϵ
拓扑。这个时候技术不可以攻击这些问题。
在一些复杂的变量,一个还想证明半连续性定理广泛类型的域。这将是未来论文的主题。
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“将军”
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光滑的域的性格特征<我nline-formula>
ℂ
双全纯的自我地图
美国数学月刊
1983年
90年
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茱莉亚
G。
Lecons苏尔la表示各单体des宜multiplement连通
法国巴黎,1934年
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亨氏
M。
1 - 1直接保角映射的数量有限的平面多连通区域连接<我nline-formula>
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承认本身上
AMS的公告
1946年
52
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伯格曼的本地化属性和边界行为内核(论文)
2003年
圣路易斯华盛顿大学
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