算术身份涉及伯努利方程和欧拉数

文摘

本文的目的是给出一些算术身份的伯努利方程和欧拉数。这些身份是来源于一些进积分方程在。

1。介绍

让是一个固定的奇质数。在这篇文章中,,,表示的戒指吗进理性的整数,领域进有理数,完成代数关闭,分别。的归一化,这样进标准。让是自然数的集合。

让是统一的空间可微函数。为,玻色子进积分上被定义为 和费密子进积分上由金定义如下(见[1- - - - - -8):

欧拉多项式,,由母函数定义如下(见[1- - - - - -16): 在特殊情况下,,被称为欧拉数。

由(1。3)和欧拉数的定义,我们很容易看到 关于取代通常的惯例通过(见[10])。因此,通过(1。3)和(1。4),我们有 在哪里克罗内克符号(见[9,10,17- - - - - -19])。

从(1。2),我们也可以得出以下费密子的积分方程进积分上如下: 参见[1,2]。由(1。3)和(1。6),我们得到 因此,通过(1。7),我们有 参见[1- - - - - -8,13- - - - - -16]。

伯努利多项式,由母函数定义如下: 参见[18]。在特殊情况下,,被称为伯努利数。从(1。9)和伯努利数的定义,我们注意 参见[1- - - - - -19),关于取代通常的惯例通过。由(1。9)和(1.10),我们很容易看到 参见[13]。

从(1。1),我们可以得出下面的积分方程: 在哪里和。

由(1.12),我们有 因此,通过(1.13),我们可以得到以下威特的伯努利多项式公式:

在[19),是知道的, 在哪里如果或。

本文的目的是给出一些算术身份涉及伯努利方程和欧拉数。获得我们的身份,我们使用的属性进积分方程在。

2。算术身份为伯努利方程和欧拉数

让我们把玻色子进积分上在(1.15)如下: 另一方面,我们得到 由(2。1)和(2。2),我们得到

因此,通过(2。3),我们获得以下定理。

定理2.1。为,一个

现在我们考虑费密子进积分上在(1.15)如下: 另一方面,我们得到 由(2。5)和(2。6),我们得到 因此,通过(2。7),我们获得以下定理。

定理2.2。为,一个

替换通过在(1.15),我们的身份: 让我们把玻色子进积分上在(2。9)如下:

另一方面,我们看到 由(2.10)和(2.11),我们得到 因此,通过(2.12),我们获得以下定理。

定理2.3。为,一个

我们考虑的费密子进积分上在(2。9)如下: 另一方面,我们得到 由(2.14)和(2.15),我们获得以下定理。

定理2.4。为,一个

承认

这项研究受到了基础科学研究项目通过韩国国家研究基金会(NRF)由教育部、科学和技术(2012 r1a1a2003786)。