比较影响在Orthomodular量子Logic-Morphological量子逻辑的分析

文摘

添加对形态学算子推广到格(塞拉,1984;Ronse, 1990;他和Ronse, 1990;他,1994)。特别是,形态为集格应用于分析通过Kripke语义逻辑(布洛赫,2002;Fujio和布洛赫2004;Fujio, 2006)。例如,一对形态运营商作为添加产生正常的模态逻辑的temporalization (Fujio和布洛赫2004;Fujio, 2006)。同时,建筑模型直观的逻辑或线性逻辑可以被描述的形态内部和/或关闭运营商(Fujio和布洛赫2004)。 This shows that morphological analysis can be applied to various non-classical logics. On the other hand, quantum logics are algebraically formalized as orhomodular or modular ortho-complemented lattices (Birkhoff and von Neumann, 1936; Maeda, 1980; Chiara and Giuntini, 2002), and shown to allow Kripke semantics (Chiara and Giuntini, 2002). This suggests the possibility of morphological analysis for quantum logics. In this article, to show an efficiency of morphological analysis for quantum logic, we consider the implication problem in quantum logics (Chiara and Giuntini, 2002). We will give a comparison of the 5 polynomial implication connectives available in quantum logics.

1。数学形态学

数学形态学是一种非线性信号处理方法使用简单的集合操作,提取特征属性的可行性的形状(1,2]。在本文中,我们将采用的配方广义格(3- - - - - -7]。

我们确定一个二元关系和通信来。也就是说,为。我们所说的关系与和交换,转置的,表示。

1.1。扩张和侵蚀

让,半序集。如果对任何家庭的它的上确界在,图像的上确界在和成立,那么我们所说的映射一个扩张从来。同样,通过改变下确界的上确界,我们可以引入一个侵蚀。我们所说的扩张和侵蚀形态学操作。两个元素的,我们有,单调,形态学操作。

例1.1(形态设置格(7])。鉴于集和,考虑他们的权力集的晶格,。让是一个二元关系。然后映射和定义为 分别扩张和侵蚀。
从转置我们可能同样定义扩张和侵蚀,。

这个例子的重要性在于,所有形态操作设置晶格之间的这种形式来表达,那之后,给一个框架的形态学操作和一个二元关系是等价的。特别是,克里普克的语义,可访问性之间的关系是二进制操作可能的世界,我们认为给克里普克框架提供形态学操作。

1.2。添加

假设两个映射和半序集之间满足条件 对于任何,。然后映射两被称为一个添加写成吗和被称为低伴随的,上伴随吗。注意,每一个伴随如果存在唯一确定。

命题1.2。两个单调映射和半序集之间满足,这是对任何必要且充分的,的关系 成立。

形态学操作和添加关系由以下给出。

命题1.3。让,半序集和,。(1)如果上面的伴随,那么它就是一个扩张。相反,如果是一个完整的上半格,那么扩张上伴随。(2)如果伴随越低,那么这是一个侵蚀。相反,如果是一个完整的下半格,然后伴随低膨胀的。

示例1.4(添加设置格(7])。在示例1.1,我们有和。注意,在每一对附益、扩张和侵蚀,和互换。

1.3。室内和闭包运算符

一个幂等单调映射在半序集被称为一个过滤器映射。一个过滤器映射可扩展性()被称为闭包算子和一个与antiextensibility ()被称为一个内部操作符。

命题1.5。让,半序集和,和。然后是一个闭包算子的和是一个内部操作员的。

示例1.6(关闭和打开)。闭包算子和内部操作符在这是添加诱导的例子吗1.4被称为关闭和开放通过,分别。同样,我们可以定义的关闭和打开随着运营商。

在任何完整的点阵,闭包算子的特点是摩尔的概念的家庭(8),摩尔家族是一个子集半序集满足以下条件。对于任何一个子集,如果的下确界在,然后适用。

命题1.7(见[7,8])。让半序集。(1)对于任何一个闭包算子,所有的全部闭集形成一个摩尔家族。(2)如果是一个完整的点阵,然后对摩尔的家人吗,有一个独特的闭包算子这样成立。

我们可以建立类似的属性内部运营商通过吸引摩尔家族的二元性(7]。

2。量子逻辑

我们指的是(9,10]量子逻辑与晶格理论相关,我们这里组装的最低必要后续讨论。

为简单起见,我们假设晶格总是最大的元素和最小元素在下面。

2.1。OL和OQL

一个ortho-complemented晶格 是一个格子,involutive和补充操作颠倒的顺序:(1) ,。(2) 。(3) 。

此外,如果和它的补充、模块化的关系 成立,那么被称为一个orthomodular晶格。

一个ortho-complemented晶格满足模块化的关系 对于任何,是一个orthomodular,而不是相反。布尔晶格是一个ortho-complemented晶格满足模块化的关系。这些类中包含订单晶格

一般来说,我们所说的集体量子逻辑(QL)orthologic(OL仿照一个ortho-complemented晶格orthomodular逻辑(OQL模仿一个orthomodular晶格。一个orthomodular晶格作为ortho-complemented晶格,我们主要与OL,额外的OQL提及一些特殊特性的内在。

QL语言由一个可数的命题变量和逻辑连接词(否定)(连词)。表示由的公式他们的全部。的分离被定义为一个缩写的。

2.2。克里普克的语义

这一对所有可能的世界反射性和可访问性的关系被称为克里普克框架或正交坐标系OL。直观的二元关系意味着和“正交”。事实上,定义通过,那么我们看到reflexiveness对应,而对称 。

任何一组可能的世界,我们定义其ortho-complement设置 然后在视图的幂集格的成为ortho-complemented。一组的正交性和可能的世界被定义为 表达方面的正交性形态学操作

在正交坐标系,我们考虑一个特殊类的子集命题在,也就是说,是一个命题意味着成立。下面我们将看到,它立即遵循定义公式的OL可能被分配命题在正交坐标系。

命题2.1。在正交坐标系,因为一个命题,它是它是一个必要且充分的闭集()的形态。
(注意,我们是对称的,。)

证明。由(2.6),我们有,

推论2.2。的整体的命题形成一个低已ortho-complemented子格。

证明。请注意,,从reflexibility,我们有,所以,。因此,,。自摩尔是一个家庭,然后呢更不必说了较低的已完工。而且,由于,我们有,,我们获得。因此,关闭对互补。
让是一个低已ortho-complemented sub-lattice,让这样是一个映射(1) (2) 。我们所说的设置一个克里普克模型OL,这和Kriplke框架组成。
如果是真的,我们写和说的公式世界上可能是真的吗。我们所说的公式这样在模型中是正确的吗和写。更一般的,如果任何属于一组的公式,我们有,然后我们说是一个的结果在模型中和写。如果进一步,这些适用在任何模型,然后我们说,他们在逻辑上是真正的或逻辑的后果,分别OL。
OQL的Kripke语义orthomodular逻辑可以定义通过考虑只有那些满足orthomodular条件

3所示。含义连接词的形态分析

3.1。QL含义问题

在量子逻辑QL,暗示的问题是重要的(10]。不仅在量子逻辑,但一般来说,一个含义连接需要满足,对于任何模型,至少是条件(1) ,(2)如果和,然后。

QL,这个条件可以表示如下。对于任何Kripke模型,我们有 因此,我们把(3所示。1)作为一个暗示的要求连接在QL [10]。然后我们注意forumula在经典逻辑并不是意味着连接QL的感觉。

另一方面,有几个候选人含义连接词。然而,只有5多项式的有限表达的意义上,他们很多,,(10]:(我) ,(2) ,(3) ,(iv) ,(v) 。

这些是多项式的所有候选人的影响在自由orthomodular晶格由两个元素生成令人满意的 有一个区分OL和OQL真的影响各自的逻辑。

定理3.1(见[10])。多项式的影响 都是OQL影响,但他们都没有在OL。

证明。取决于这一事实证据(3所示。1)举行,它是必要的和充分的满足orthomodular条件(2.8)。详情我们指10]。

定理3.2。OQL的是合乎逻辑的后果,也就是说,在任何Kripke模型,我们有

证明。我们修复一个Kripke模型。解释的含义如下,我们表示公式的解释,通过,,分别。 , , , , 。
的证明 。这足以证明在形态学操作,读取 两边的补充,我们获得 通过扩张的定义。然后添加,这相当于以下: 最后一个平等之间的二元性和。然而,这包含关系总是正确的。
的证明 。这足以证明,可以作为证明。
的证明 。,或者是同一件事,就足够了。进一步,这是真的,这是必要的和充分的,这是真的,相当于。
的证明 。足以证明和证明可以做一样的证明。

4所示。结论

通过应用形态分析,克里普克在量子逻辑模型,我们表明,5中最强的多项式暗示OQL的连接词。一旦看到结果,你可能觉得人能没有形态分析。然而,关键在于是否通过看定义方程((我)(v))或其解释,可以认识到的结论。因此,形态分析的价值似乎直观易懂的“微积分”。

我们想回到以外的连接词的分析。

引用

1. g . Matheron随机集和积分几何学约翰•威利& Sons 1975。视图:Zentralblatt数学
2. j·塞拉,图像分析和数学形态学,1卷,学术出版社,伦敦,英国,1984年。视图:Zentralblatt数学
3. j·塞拉,图像分析和数学形态学,卷2,学术出版社,伦敦,英国,1988年。视图:Zentralblatt数学
4. c . Ronse“为什么数学形态学需要完整的晶格,”信号处理,21卷,不。2、129 - 154年,1990页。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索|Zentralblatt数学
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6. h·j·a . m .他形态学图像运营商、学术出版社,波士顿,质量,美国,1994年。
7. m . Fujio和i .布洛赫“非经典的逻辑通过数学形态学,”法国巴黎高等des电信、ENST技术报告2004 d010, 2004。视图:谷歌学术搜索
8. g .比尔科夫晶格理论25卷美国数学学会讨论会出版物美国,美国数学学会,普罗维登斯,国际扶轮,第3版,1967年版。
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10. m·l·d·奇亚拉和r . Giuntini“量子逻辑”哲学逻辑的手册d . m . Gabbay和f . Guenthner Eds。,卷。6, pp. 129–228, Kluwer, Dordrecht, The Netherlands, 2nd edition, 2002.视图:谷歌学术搜索

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