半保留的积分方程组有两个内核

文摘

非齐次的可解性和解决方案的属性和齐次向量积分方程,在那里,是矩阵值函数,非负可积的元素,被认为是在一个半保留(单数)的案例中,矩阵是随机矩阵substochastic。结果表明,在一定条件下非齐次方程与相应的齐次同时拥有一个积极的解决方案。

1。作品简介:问题陈述

考虑标量或矢量积分方程在整个行有两个内核(见[1- - - - - -4): 的内核函数与非负矩阵值函数元素;和是给定的,寻求列向量(vectorfunctions);分别。假设 在这里的空间- ()顺序矩阵值函数和列向量的空间,在勒贝格空间组件。零向量或矩阵用。矩阵或向量之间的不平等,集成的操作和其他操作离散。

表示由以下维行向量: 让是一个矩阵。如果 然后矩阵是一个随机的(准确的转置,看到5])。如果 然后矩阵substochastic很大程度上。我们将调用矩阵真的substochastic,如果和统一的substochastic如果存在这样 让我们介绍如下矩阵与方程(1.1):

我们将调用内核保守、耗散或均匀耗散如果矩阵是随机的,真的substochastic,或统一substochastic分别。我们将使用类似的名称到内核。

我们将调用(1.1半保留的,如果其中一个内核,是保守的,另一个是耗散。没有普遍性的损失,可以假设之一 在统一的半保留的情况下(1.1)我们有 而在保守的情况下,两个内核被认为是保守的。

如果,然后(1.1)是减少到著名的维纳霍普夫积分方程: 在这里和是限制的和,分别。

标量和矢量理论的保守维纳霍普夫方程(1.10)(是保守的)发展了很长一段路。许多均匀半空间内(保守的)物理过程描述这样的方程。他们是辐射传输的基本利益(RT)、气体分子运动论(见[6,7]),在随机过程的数学理论,等等。

在RT,保守的方程(1.10)对应于缺乏内辐射损失的媒体(纯散射的情况下)。然而,这样的损失发生的辐射媒体的退出。的耗散,里面有损失的媒体。

方程(1.1)与两个内核出现在一些更普遍的和更复杂的问题,在物理过程发生在无限媒体组成的两个相邻均匀半空间内(见[7])。在这些半空格,流程可能耗散或保守。应用程序的另一个领域是与RT系统硕士。

在RT理论,自由在(1.1)的角色初始辐射的来源。保守的和半保留的情况下属于单数的情况(1.1)。在这些情况下,独特的可解性(1.1在“标准”的功能空间是违反了。

的结果关于保守标量方程(1.1)已经通过Arabadzhyan [3]。保守的系统或半保留的方程,两个内核没有治疗过。

本文致力于解决方案的可解性和属性的非齐次和齐次向量方程(1.1)。主要要注意统一半保留的情况下(1.9)。它将表明,在一定条件下非齐次方程(1.1)和对应的齐次方程具有积极的局部可积的解决方案。

2。辅助命题

2.1。积分运算符

让。考虑巴拿赫空间(B-space)和相应的B-space向量值函数(向量列)。在这里是转置的标志。的准则被定义为 考虑线性拓扑空间的函数,每个有限区间上可积,空间具有的拓扑离散收敛。

上面介绍的单位算子在每个空间用。让下面的类卷积矩阵运营商在整个行:如果,然后 操作员行为的空间,,在其他空间的向量值函数。

类是一种代数的核函数运营商产品内核函数的卷积的因素。

我们估计运营商的标准在B-space。让是下面的矩阵:。把(离散)模量(2。2)和集成之后,我们来到了不平等:

这个不等式左边乘以向量之后,我们来到了不平等: 从这里估计如下:

让我们介绍一下投影仪投影(运营商)的空间,可和或局部可和功能平等:

在这里是跳的亥维赛功能单位。在每一个空间中,我们有

表示由下面的运营商,其内核函数参与(1.1): 方程(1.1)承认以下操作条目 在哪里。

的投影机运营商的对角矩阵的对角元素。

操作员是一个积分算子:

在这里对角矩阵的对角元素吗。

2.2。可逆性的运营商在

我们估计的标准在。首先假设内核函数是任意的元素。让,。一个可以获得以下不平等(类似于(2。3)): 在这里。

我们有,,在那里

乘(2.11)左边的向量,我们得到 因此,我们证明如下。

引理2.1。下面的估计的规范操作在是有效的:

如果,那么操作员正处于收缩状态,因此,运营商是可逆的,(1.1),有一个独特的解决方案。如果与此,然后。

按照积分方程的一般理论和两个内核(见[1,2]),可逆性的运营商在,有必要实现nondegeneration的下列条件: 在这里是单位矩阵;的矩阵和(elementwise)傅里叶变换和,分别。例如,,。

在半保留的情况下(1.9),我们有:。因此,即符号退化的点。在保守的情况下(A和B是随机矩阵),这两个条件(2.15)违反。因此,运营商是不可逆转的半保留的和保守的情况下。

3所示。半保留的非齐次方程

在本节中,我们应当考虑的问题的可解性均匀半保留的非齐次方程(1.1),(1.9)在下列附加假设:存在一个强大的积极vector-column这样。按照Perron-Frobenius定理(见[8]),这些向量的存在如果随机矩阵是安全的是一个不可约的。

3.1。一个辅助方程

首先,考虑辅助保守维纳霍普夫方程(1.10), 与保守的内核参与(1.1)。

下面的引理遵循从结果9]:

引理。方程(1.10),(3所示。1)具有最小的解决方案这是局部可积(见[9])。下面的渐近持有 承认这种渐近调整附加假设内核和自由项(见[9])。

表示由下列矩阵矩阵函数的第一时刻: 的假设离散积分的绝对收敛。让 数量的分类中起主要作用的保守的方程(1.10)(见[9])。如果,然后 如果与自由有一个有限的一阶矩:,然后。

考虑简单的迭代(1.10):

序列具有以下属性:。很容易证明序列是单调的。我们确实有 使用的感应,我们获得,这意味着序列的单调性。序列收敛拓扑的单调最小的解决方案(1.10):

3.2。的一个存在性定理(1.1)

考虑现在(1.1)条件下 让我们考虑下面的迭代(1.1):

我们有 让是任何积极的解决方案(1.1),(3所示。9): 很容易验证的感应,对于每一个。因此,如果序列收敛的拓扑,然后。

3.1的话。如果序列收敛的拓扑,然后可以取极限(3.10),将最小的正解(1.1)。

这个事实证明使用的单调性和双边不平等(参见[102)]项目。

让我们介绍的限制功能在和:

定理3.2。让条件(3所示。9)举行。然后(1.1)具有最小的正解与和
如果,然后。

证明。(集成后的3.10)/在,我们应 在哪里,。
乘(3.16)左边的向量和考虑(3所示。9),我们获得不平等 那之后,由于对序列的单调,这。我们到达以下评估: 它遵循从b . Levy著名的定理,单调且受规范约束序列是收敛的: 现在比较关系(3.10)与迭代(3所示。6),(决定根据(3.19))。由于,我们有不平等。因此。根据勒贝格定理,单调序列收敛的拓扑: 我们已经获得的缩小单调迭代序列负半轴是收敛的的缩小正半轴是收敛的。如果我们表示然后在(即。,在)。采取限制在(3.10)(见备注3所示。1),我们得到的向量函数满足(1.1),(3所示。9),因此,它是最小的解决方案。这个定理证明。

观察,在定理的假设3所示。2,局部可积的存在解决方案(1.1)可以使用的不动点原理证明了文献[10]。总之,通过这种方法,一个人不能获得的属性和(3.15)。

4所示。均匀半保留的方程

齐次系统(1.1)条件下(3所示。9)将被认为是在目前的部分: 首先考虑在相应的保守均匀维纳霍普夫方程组: 让我们制定一些结果在系统(正解的存在性4.1)(见[9])。

定理。让满足的条件(见(3所示。9)),下列条件之一(a)或(b):
(一)对称(这里的财产是转置的标志): (b)内核有一个有限的第一时刻吗(见(3所示。3)), 在哪里是由(3所示。4)。
则方程(4.2)有一个积极的解决方案。向量函数绝对是连续和单调递增。下面的渐近持有

让我们(在条件的定理)继续向量函数所有实轴按照平等(4.2)。那么平等(4.2)发生在整个实轴。

下列积分的收敛是必要的和充分的有一个负半轴上可积的扩展 如果(4.6),然后我们会有。

它遵循渐近(4.5)实现的需求(4.6),它是充分的,内核函数(离散)有限的负半轴的惯性矩,也就是说,

现在考虑,统一半保留的(4.1)。

定理4.1。让齐次方程(4.2)满足条件(3所示。9),(4.7),这两个条件(4.3)或(4.4)。那么存在一个解决方案,这个方程。渐近控制如下:

证明。根据定理,存在一个解决方案(4.1)。不平等(4.6)遵循的条件(4.7)和渐近(4.5);因此,。
我们引入一个新的寻求向量函数在(4.1)的关系: 用(4.9)(4.1),由于对(4.2),我们获得一个非齐次方程的类型(1.1)对,在这 因为,我们有。根据定理3所示。2存在一个(最小的)解决方案(1.1与自由词()4.10)这意味着强大的存在正解的形式(4.9)的齐次方程(4.1)。
渐近(4.8)遵循立即的属性和包括在定理3所示。2和定理的定理证明。

值得注意的是,在定理的条件4.1,非齐次方程(1.1)()和齐次方程(4.1)同时有积极的解决方案。

引用

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