康托尔限制集拓扑变换群的年代¹

文摘

的极限集的拓扑变换群由两个发电机被证明是完全断开(或薄)和完美如果条件(电流-电压)感到满意。具体应用到双周期黎卡提微分方程。

1。介绍

概念限制设置的变换群扮演着一个重要的角色在现代数学的理论和应用。

假设是一个变换群(或半群)形成一些连续self-mapping豪斯多夫空间。对于任何,一组 被称为一个轨道通过的作用下。对于任何一个子集的,让 一个子集的被称为不变集如果 一个子集的被称为至少不变集的如果它是一个非空的关闭不变集,在其中没有任何非空的真子集是关闭不变的。基于元素的连续性,很容易获得以下命题。

命题1.1。让是不变的。对于任何,如果有这样的一个点那 然后

对于任何,至少不变集的被称为限制设置的轨道如果 很容易证明下面的命题。

命题1.2。如果拓扑空间紧凑,然后变换群的作用下(或半群),任何至少不变集完美的如果不是有限的。

因此,很有可能限制设置的作用下可能是完全不连通和完善(一个康托尔集),可能是与分形结构当一些测量连接。

它是现代非线性科学研究中的一个重要课题的具体结构限制设置为给定的非线性系统,特别是确定极限集是一组完全不连通和完善(简单,称为一个康托尔集)。然而,它通常不是一项容易的任务,因为系统的强非线性和nonintegrability。因此有必要探索Cantor-type极限的存在条件。

作为一个例子,一个传统的动力系统是一个连续(或离散)组或者半群(或),作用于多方面的。相关的组或半群通常是由一个单独的发电机。这两个限制设置和通过一个点限制设置的轨道由目前的极限集相应的组定义(1]。如果一个至少不变集或一组限制的动力系统是康托尔类型,则称为相关的复杂的运动确定的混乱。这种复杂的运动被认为是广泛的。和一些方法来确定最不变的动力系统是康托尔集类型,如Melnikov函数的方法,已经发育良好。

研究高维叶理的叶子在现代几何结构理论,或者具体地说,一个微分方程的复杂领域,研究结构的生叶形成的解决方案集合管(黎曼面)作为它的叶子在相空间中,需要研究相应的单值组或完整群,这是一种代表的基本群的绿叶叶(2- - - - - -4]。不同的动态系统,通常是由单值组几个发电机。显然,一组复杂的限制的单值组应该反映的复杂结构相应的叶理和它的叶子。

除了几何的兴趣,至少不变的结构设置的单值组通常涉及相应的常微分方程的可积性。在不同的理论常微分方程的可积性,如分析理论(3,5,6],李群理论[7,8,微分伽罗瓦理论9- - - - - -11)等等,通常暗示,几乎所有的可积的常微分方程,至少不变集的绿叶在复数域应该有一个简单的结构,或者准确地说,应该相应的单值组可以解决的(3,10]。

具体地说,普通二阶线性齐次方程的有理函数系数,众所周知,每一个普通二阶线性齐次方程对应黎卡提微分方程(12];在正交如果它是可积的,然后每个至少不变集的极限集)(包括相应的黎卡提微分方程的单值组应该是一个有限集合,每个有限至少不变集对应一个代数曲线黎卡提微分方程的解决方案。否则,如果一组限制的单值组不是有限的,尤其是如果它是康托尔的类型,那么普通黎卡提微分方程及其相应的二阶线性齐次方程显然不是正交的可积。

为了调查的黎卡提微分方程更为复杂系数,关等人研究了混凝土双周期与维尔斯特拉斯黎卡提微分方程椭圆函数系数(13- - - - - -18];关认为其单值组和提出大致方法检查是否限制康托尔集类型基于数值结果。

摘要,这个方法提高到一个定理更精确和更一般的形式2。结合的结果(19),康托尔的存在限制的关键参数设置完全节给出3。

2。这个定理和证明

定理2.1 . .让是一个变换群维球体, 是由两个发电机和,在那里和都是同胚的转换到吗。至少不变量组也完全不连通和完美,独特的限制的轨道吗如果所有下列条件(电流-电压)感到满意。 这两个和有两个固定的点吗,分别为, 在哪里位于内部的两个弧的隔开和,而位于另一个的内部。 的弧和都是不变的吗,也就是说, 和弧和都是不变的吗。 对于这两个和, 的换向器和, 正好有两个不同的固定的点和位于内部电弧,也就是说, 在哪里更接近于比。在这篇文章中,代表没有两端开放的弧和,代表,与两端封闭的弧和, 下的行为和,点和转换成其他三个弧不同吗:

证明。让 转换的同胚的性质和条件(2)和(v),我们可以看到 让 ,让 然后下面的事实和结论可以一步一步。事实1。的闭集是由四个分开收弧 事实2。很明显, 事实3。(我),(2)和(3),它遵循 这 事实4。显然,换向器的和也是一个同胚的转换。(iv)的条件,由此可见, 或 如果 事实5。让代表所有非零的整数的集合,让 然后转换的家庭变化的家庭分开收弧,凝聚和和家庭的转换变化的家庭分开收弧与和作为他们的凝聚点。事实6。让 ,让 然后接下去
为一个整数大于1,我们可以归纳 显然,闭集形成一个家庭的收弧和冷凝分离点。这些封闭的结束弧属于集 和这些凝结点属于集
很明显, 7。让的设置分开收弧的结束,让 从这个事实3获得,它遵循
这两个和明显的不变量作用下吗。事实8。从这些事实3和4,接下去 9。显然,通过建设集, 和任何元素和在,如果 然后
是一个不变的开集。10。的定义, 从事实3,4,8, 11。让 然后从事实10,很容易看到,没有内在的闭集。从事实3和4,接下去 这没有孤立点。因此,作为一个限制的是一套完全不连通和完善。12。求是3和4,很容易看到 由此可见,是一个不变的闭集的。
通过以上事实定理证明。

3所示。定理的应用

在[13我们认为是双周期在复数域黎卡提微分方程: 的系数维尔斯特拉斯椭圆函数满足吗 在哪里 是真正的时期。

由于双周期性,(3所示。1)可以被视为一个微分方程定义的环面(18]。

通过数值结果,我们猜测解决方案空间分形极限时设置。

在[18),关有定性证明分形结构的存在,临界值是大约0.227−评估。

在[19),使用的对称(3所示。1),关等人获得的精确公式两个发电机和单值的(3所示。1),它所代表的默比乌斯转换扩展的复杂的飞机上如下: 的参数取决于参数在(3所示。1)通过 此外,它是进一步证明 在哪里是弗洛凯指数相关的二阶线性常微分方程 因此,(3所示。4),(3所示。5)和(3所示。6)给发电机的确切关系的单值组,弗洛凯指数和参数在方程。在微分方程理论中,这是一种非常罕见的情况下,这些能获得确切的关系。

现在确切的关系(3所示。4)和(3所示。5),我们可能会看到,如果 然后扩展虚轴,左半复平面对应负实部和右一半复平面对应正实部都是不变集。和扩展虚轴是同胚的的点,分别是固定的吗和。注意,当且仅当真正的参数满足 然后 所以,要么 或 的换向器和,,正好有两种不同的固定扩展虚轴上的点,

在这种情况下,要么两个固定的点都位于点之间的时间间隔和,如果持有,或者它们都位于之间的时间间隔和,如果是举行。很容易进一步证明条件(i) - (v)如果都满意。因此,至少不变量组扩展虚轴上完全不连通和完美。因此,由定理获得了关键的价值康托尔的存在限制设置可以完全确定。

现在,可以看出,如果双周期黎卡提微分方程(3所示。1)不是由正交可积和极限方程的绿叶就像一个集坎特的书限制设置的,因为每一个点对应的单值组是一片叶子的叶理的限制(18]。

相关的豪斯多夫维数最少的不变的单值组评估(18通过一些措施考虑)。

4所示。结论

获得的定理提供了条件确定变换群有两个发电机有一组Cantor-like限制。部分中的示例3显示了这个定理可以应用于研究叶理的极限集的复杂性。这个定理也适用于离散群体的理论来确定一个离散群是一群富克斯的第二种20.]。

承认

这个项目是由中国国家自然科学基金的支持。

引用

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