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国际数学和数学科学杂志》上
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研究文章|开放获取

体积 2010年 |文章的ID 530964年 | https://doi.org/10.1155/2010/530964

j . o . Olaleru Akewe, ”在多步迭代方案近似Contractive-Like运营商的公共不动点”,国际数学和数学科学杂志》上, 卷。2010年, 文章的ID530964年, 11 页面, 2010年。 https://doi.org/10.1155/2010/530964

在多步迭代方案近似Contractive-Like运营商的公共不动点

j . o . Olaleru1和 h . Akewe1

1拉各斯,尼日利亚拉各斯大学数学系

学术编辑器:曼弗雷德·h·莫勒
收到了 2009年11月11日
修改后的 2010年1月15日
接受 2010年1月22日
发表 2010年3月14日

文摘

我们引入Jungck-multistep迭代和强烈表明,它是收敛的唯一公共不动点的一副弱广义contractive-like运营商巴拿赫空间上定义兼容。作为推论,结果表明,Jungck-Mann, Jungck-Ishikawa, Jungck-Noor迭代也可以用来近似这种映射的公共不动点。结果改进,推广,和扩展的工作Olatinwo和Imoru (2008), Olatinwo (2008)。因此,在文学广义几个结果。

1。介绍

石川,皮卡德的收敛,曼努尔和多步迭代常用近似不动点的几个类单quasicontractive运营商,例如,看到<一个href="#B1">1- - - - - -<一个href="#B26">6]。

让 巴拿赫空间, 的一个非空的凸子集 和 ∶ → 的self-map 。

定义1.1。让 0 ∈ 。皮卡德迭代计划 { } ∞ = 0 被定义为 + 1 = , ≥ 0 。 ( 1 。 1 )

定义1.2。对于任何给定的 0 ∈ ,曼迭代计划(<一个href="#B8">7] { } ∞ = 0 被定义为 + 1 = 1 − + , ( 1 。 2 ) 在哪里 { } ∞ = 0 是真实的序列在[0,1)这样的吗 ∑ ∞ = 0 = ∞ 。

定义1.3。让 0 ∈ 。石川迭代计划(<一个href="#B5">8] { } ∞ = 0 被定义为 + 1 = 1 − + , = 1 − + , ( 1 。 3 ) 在哪里 { } ∞ = 0 , { } ∞ = 0 是真实的序列在[0,1)这样的吗 ∑ ∞ = 0 = ∞ 。

观察,如果 = 0 为每一个 ,然后石川迭代过程(<一个href="#EEq1.3">1.3)降低到曼迭代计划(<一个href="#EEq1.2">1.2)。

定义1.4。让 0 ∈ 。努尔迭代(或者三步)计划(<一个href="#B9">9] { } ∞ = 0 被定义为 + 1 = 1 − + , = 1 − + , = 1 − + , ( 1 。 4 ) 在哪里 { } ∞ = 0 , { } ∞ = 0 , { } ∞ = 0 是真正的序列 ( 0 , 1 ) 这样 ∑ ∞ = 0 = ∞ 。

动机和使用努尔的优势的迭代中,看到<一个href="#B10">5,<一个href="#B9">9,<一个href="#B11">10]。

观察,如果 = 0 为每一个 ,然后努尔迭代过程(<一个href="#EEq1.4">1.4)降低到石川迭代计划(<一个href="#EEq1.3">1.3)。

定义1.5。让 0 ∈ 。多步迭代计划(<一个href="#B27">11] { } ∞ = 0 被定义为 + 1 = 1 − + 1 , = 1 − + + 1 , = 1 , 2 , … , − 2 , − 1 = 1 − − 1 + − 1 , ≥ 2 , ( 1 。 5 ) 在哪里 { } ∞ = 0 , { } , = 1 , 2 , … , − 1 真正的序列 ( 0 , 1 ) 这样 ∑ ∞ = 0 = ∞ 。

观察,多步迭代是一个泛化的努尔,石川,曼迭代。事实上,如果 = 1 在(<一个href="#EEq1.5">1.5),我们有曼迭代(<一个href="#EEq1.2">1.2),如果 = 2 在(<一个href="#EEq1.5">1.5),我们有石川迭代(<一个href="#EEq1.3">1.3),如果 = 3 ,我们有努尔迭代(<一个href="#EEq1.4">1.4)。

我们注意到,尽管许多作家在不动点的存在对一双quasicontractive地图,例如,看到<一个href="#B1">1,<一个href="#B4">12- - - - - -<一个href="#B24">15),对这些常见的近似不动点的收敛迭代技术。Jungck是第一个引入迭代计划,现在叫Jungck迭代计划(<一个href="#B6">13)近似的公共不动点现在被称为Jungck收缩地图。辛格et al。<一个href="#B24">15)最近介绍了Jungck-Mann迭代过程,并讨论了它的一双收缩图的稳定性。Olatinwo和Imoru<一个href="#B15">16],Olatinwo [<一个href="#B16">17,<一个href="#B17">18)建立在工作介绍Jungck-Ishikawa和Jungck-Noor迭代计划和使用他们的收敛近似重合点(而不是公共不动点)的一些对广义contractive-like运营商假设每一个成对的地图之一是内射。然而,一双quasicontractive巧合点地图不需要公共不动点。我们介绍Jungck-multistep迭代和证明其收敛性可以用来近似双quasicontractive映射的公共不动点没有假设任何运营商的吸水。因此使用的迭代序列的泛化用于(<一个href="#B15">16- - - - - -<一个href="#B17">18]。的吸水的地图并不认为我们的结果和这些映射的公共不动点近似而不仅仅是巧合点使我们的结果有所改善的推论的结果Olaleru [<一个href="#B14">19],Olatinwo和Imoru [<一个href="#B15">16]。因此,很多结果处理融合的皮卡,曼,石川和多步迭代单一quasicontractive运营商巴拿赫空间上广义。

2。预赛

让 巴拿赫空间, 任意设置 , ∶ → 这样 ( ) ⊆ ( ) 。

然后我们有以下定义。

定义2.1(见[<一个href="#B6">13])。对于任何 ∈ ,存在一个序列 { } ∞ = 0 ∈ 这样 + 1 = 。Jungck迭代定义为序列 { } ∞ = 1 这样 + 1 = , ≥ 0 。 ( 2 。 1 ) 这个过程成为Picard迭代时 = 和 = ,在那里 身份映射 。

同样,地图是地图Jungck收缩 , 令人满意的

( , ) ≤ ( , ) , 0 ≤ < 1 ∀ , ∈ 。 ( 2 。 2 ) 如果 = 和 = ,然后地图令人满意(<一个href="#EEq2.2">2.2)成为了著名的收缩地图。

定义2.2(见[<一个href="#B24">15])。对于任何给定的 ∈ ,Jungck-Mann迭代方案 { } ∞ = 1 被定义为 + 1 = 1 − + , ( 2 。 3 ) 在哪里 { } ∞ = 0 是真实的序列在[0,1)这样的吗 ∑ ∞ = 0 = ∞ 。

定义2.3(见[<一个href="#B17">18])。让 ∈ 。Jungck-Ishikawa迭代计划 { } ∞ = 1 被定义为 + 1 = 1 − + , = 1 − + , ( 2 。 4 ) 在哪里 { } ∞ = 0 , { } ∞ = 0 是真正的序列 ( 0 , 1 ) 这样 ∑ ∞ = 0 = ∞ 。

定义2.4(见[<一个href="#B17">18])。让 ∈ 。Jungck-Noor迭代(或者三步)计划 { } ∞ = 1 被定义为 + 1 = 1 − + , = 1 − + , = 1 − + , ( 2 。 5 ) 在哪里 { } ∞ = 0 , { } ∞ = 0 , { } ∞ = 0 是真正的序列 ( 0 , 1 ) 这样 ∑ ∞ = 0 = ∞ 。

定义2.5。让 ∈ 。Jungck-multistep迭代计划 { } ∞ = 1 被定义为 + 1 = 1 − + 1 , = 1 − + + 1 , = 1 , 2 , … − 2 , − 1 = 1 − − 1 + − 1 , ≥ 2 , ( 2 。 6 ) 在哪里 { } ∞ = 0 , { } , = 1 , 2 , … , − 1 ,是真正的序列在[0,1)这样 ∑ ∞ = 0 = ∞ 。

观察到Jungck-Noor Jungck-multistep迭代是一个泛化,Jungck-Ishikawa Jungck-Mann迭代。事实上,如果 = 1 在(<一个href="#EEq2.6">2.6),我们有Jungck-Mann迭代(<一个href="#EEq2.3">2.3),如果 = 2 在(<一个href="#EEq2.6">2.6),我们有Jungck-Ishikawa迭代(<一个href="#EEq2.4">2.4),如果 = 3 ,我们有Jungck-Noor迭代(<一个href="#EEq2.5">2.5)。

观察,如果 = 和 = ,那么Jungck-multistep (<一个href="#EEq2.6">2.6),Jungck-Noor (<一个href="#EEq2.5">2.5),Jungck-Ishikawa (<一个href="#EEq2.4">2.4),Jungck-Mann (<一个href="#EEq2.3">2.3)迭代,分别成为了多步(<一个href="#EEq1.5">1.5),努尔(<一个href="#EEq1.4">1.4),石川(<一个href="#EEq1.3">1.3),曼(<一个href="#EEq1.2">1.2)迭代过程。

最通用的contractive-like运营商已经研究了几个作者Zamfirescu运营商。

假设 巴拿赫空间。地图 ∶ → 被称为Zamfirescu运营商如果

为 − 为 ≤ ℎ 米 一个 x 为 − 为 , 为 − 为 + 为 − 为 2 , 为 − 为 + 为 − 为 2 , ( 2 。 7 ) 在哪里 0 ≤ ℎ < 1 参见[<一个href="#B26">6]。

众所周知,运营商满足(<一个href="#EEq2.7">2.7Kannan)概括的地图(<一个href="#B7">4)和Chatterjea地图(<一个href="#B3">3]。Zamfirescu [<一个href="#B26">6]证明Zamfirescu操作符有一个独特的不动点,可以用皮卡德近似迭代(<一个href="#EEq1.1">1.1)。Berinde [<一个href="#B2">2)表明,石川迭代可以用来近似Zamfirescu算子的不动点 是巴拿赫空间时所示第一作者(<一个href="#B12">20.),如果 普遍是一个完整的可度量局部凸空间(包括巴拿赫空间),曼迭代可以用来近似Zamfirescu算子的不动点。一些研究人员已经研究了这些迭代的收敛速度对Zamfirescu运营商。例如,它已经表明,皮卡德迭代(<一个href="#EEq1.1">1.1)收敛速度比曼迭代(<一个href="#EEq1.2">1.2)在处理Zamfirescu运营商。例如,参见[<一个href="#B22">21]。这仍然是一个主题的研究条件曼迭代收敛的速度比石川处理Zamfirescu运营商时,反之亦然。

我们现在考虑以下条件。 是巴拿赫空间 一组非空的这样 ( ) ⊆ ( ) 和 , ∶ → 。为 , ∈ 和 ℎ ∈ ( 0 , 1 ) :

为 − 为 ≤ ℎ 米 一个 x 为 − 为 , 为 − 为 + 为 − 为 2 , 为 − 为 + 为 − 为 2 , ( 2 。 8 ) 为 − 为 ≤ ℎ 米 一个 x 为 − 为 , 为 − 为 + 为 − 为 2 , 为 − 为 , 为 − 为 , ( 2 。 9 ) 为 − 为 ≤ 为 − 为 + 为 − 为 , > 0 , 0 < < 1 , ( 2 。 1 0 ) 为 − 为 ≤ 为 − 为 + ( 为 − 为 ) 1 + 为 − 为 , 0 ≤ < 1 , ≥ 0 , ( 2 。 1 1 ) 为 − 为 ≤ 为 − 为 + ( 为 − 为 ) , 0 ≤ < 1 。 ( 2 。 1 2 ) 在哪里 ∶ ℜ + → ℜ + 是一个单调递增序列 ( 0 ) = 0 。

2.6的话。观察,如果 = 和 = ,(<一个href="#EEq2.8">2.8)是一样的Zamfirescu操作符(<一个href="#EEq2.7">2.7)已经研究了几个作者;(<一个href="#EEq2.8">2.9)成为运营商罗迪斯研究[<一个href="#B20">22];而(<一个href="#EEq2.8">2.10由Osilike(引入)成为运营商的<一个href="#B18">23]。运营商满足(<一个href="#EEq2.8">2.11)和(<一个href="#EEq2.8">2.12由Olatinwo(引入)<一个href="#B15">16]。

比较四个地图显示如下。

命题2.7。(<一个href="#EEq2.8">2.8) ⇒ (<一个href="#EEq2.8">2.9) ⇒ (<一个href="#EEq2.8">2.10) ⇒ (<一个href="#EEq2.8">2.11) ⇒ (<一个href="#EEq2.8">2.12),但是不见得都不是真的。

证明。(<一个href="#EEq2.8">2.8) ⇒ (<一个href="#EEq2.8">2.9):在此之前立即 为 − 为 + 为 − 为 2 ≤ 米 一个 x { 为 − 为 , 为 − 为 } 。 ( 2 。 1 3 ) (<一个href="#EEq2.8">2.9) ⇒ (<一个href="#EEq2.8">2.10):我们考虑每个可能性。案例1。假设 为 − 为 ≤ ℎ 为 − 为 ≤ ℎ 为 − 为 + ℎ 为 − 为 因此, 为 − 为 ≤ ℎ / ( 1 − ℎ ) ( − ) 。设置 = ℎ / ( 1 − ℎ ) 完成了证明。例2。假设 为 − 为 ≤ ℎ 为 − 为 + 为 − 为 2 ≤ ℎ 为 − 为 + 为 − + − + − 为 2 ℎ ≤ ℎ 为 − 为 + 2 ℎ 为 − 为 + 2 为 − 为 。 ( 2 。 1 4 ) 经过计算我们 为 − 为 ≤ ℎ / ( 2 − ℎ ) 为 − 为 + 2 ℎ / ( 2 − ℎ ) 为 − 为 。设置 = ℎ / ( 2 − ℎ ) 和 = 2 ℎ / ( 2 − ℎ ) 完成了证明。例3。 为 − 为 ≤ ℎ 为 − 为 ≤ ℎ 为 − 为 + ℎ 为 − 为 。
(<一个href="#EEq2.8">2.10) ⇒ (<一个href="#EEq2.8">2.11):假设 = 0 和 ( ) = 在(<一个href="#EEq2.8">2.11),我们(<一个href="#EEq2.8">2.10)。
(<一个href="#EEq2.8">2.11) ⇒ (<一个href="#EEq2.8">2.12):这是事实
为 − 为 ≤ 为 − 为 + ( 为 − 为 ) ( 1 + 为 − 为 ≤ 为 − 为 + 为 − 为 ) 。 ( 2 。 1 5 )

我们需要以下定义。

定义2.8(见[<一个href="#B1">1])。一个点 ∈ 被称为一对self-maps重合点 , 如果存在一个点 (称为点重合) 这样 = = 。Self-maps 和 据说弱如果他们上下班巧合点兼容,也就是说,如果 = 对于一些 ∈ ,然后 = 。

Olatinwo和Imoru<一个href="#B15">16]证明了Jungck-Mann和Jungck-Ishikawa收敛 的 , 定义为(<一个href="#EEq2.8">2.8)当 是一个单射算子。这是所示(<一个href="#B14">19]Jungck-Ishikawa迭代收敛的重合点 , 定义为(<一个href="#EEq2.8">2.12)当 是一个单射算子而相同的收敛结果证明Jungck-Noor什么时候 , 是由(<一个href="#EEq2.8">2.11)(<一个href="#B17">18]。(我们注意到地图令人满意(<一个href="#EEq2.8">2.9)当然,(<一个href="#EEq2.8">2.10)- (<一个href="#EEq2.8">2.12)不需要一个巧合点(<一个href="#B24">15]。)我们,而证明独特的多步迭代的收敛性 的 , 定义为(<一个href="#EEq2.8">2.12),没有假设 是内射,提供重合点存在 , 。

3所示。主要结果

下面的引理是众所周知的。

引理3.1。让 { } 是一个非负数字这样的序列 + 1 ≤ ( 1 − ) 对于任何 ,在那里 ∈ ( 0 , 1 ) 和 ∑ ∞ = 0 = ∞ 。然后 { } 收敛于零。

定理3.2。让 巴拿赫空间 , ∶ → 对于一个任意组 这样,(<一个href="#EEq2.8">2.12)持有, ( ) ⊆ ( ) 。假设 和 有一个巧合点 这样 = = 。对于任何 ∈ Jungck-multistep迭代(<一个href="#EEq2.6">2.6) { } ∞ = 1 收敛于 。

此外,如果 = 和 , 上下班时 (例如, 和 弱相容的),然后呢 独特的公共不动点吗 , 。

证明。鉴于(<一个href="#EEq2.6">2.6)和(<一个href="#EEq2.8">2.12加上这一事实 = = ,我们有 为 为 + 1 为 为 ≤ − 1 − 为 为 为 为 − + 为 为 − 1 为 为 ≤ 1 − 为 为 为 为 − + 为 为 − 1 为 为 ( ) = + 为 − 为 1 − 为 为 为 为 − + 为 为 − 1 为 为 。 ( 3 。 1 ) 一个应用程序(<一个href="#EEq2.6">2.6)和(<一个href="#EEq2.8">2.12)给 为 为 1 为 为 ≤ − 1 − 1 为 为 为 为 − + 1 为 为 − 2 为 为 ≤ 1 − 1 为 为 为 为 − + 1 为 为 − 2 为 为 。 + ( 为 − 为 ) ( 3 。 2 ) 用(<一个href="#EEq3.2">3.2)(<一个href="#EEq3.1">3.1),我们有 为 为 + 1 为 为 ≤ − 1 − 为 为 为 为 − + 1 − 1 为 为 为 为 − + 2 1 为 为 2 为 为 = − 1 − ( 1 − ) − 1 为 为 为 为 − + 2 1 为 为 2 为 为 。 − ( 3 。 3 ) 同样,一个应用程序(<一个href="#EEq2.6">2.6)和(<一个href="#EEq2.8">2.12)给 为 2 − 为 ≤ 1 − 2 为 − 为 + 2 为 3 − 为 。 ( 3 。 4 ) 用(<一个href="#EEq3.4">3.4)(<一个href="#EEq3.3">3.3)我们有 为 为 + 1 为 为 ≤ − 1 − ( 1 − ) − 1 为 为 为 为 − + 2 1 1 − 2 为 为 为 为 − + 3 1 2 为 为 3 为 为 = − 1 − ( 1 − ) − ( 1 − ) 1 − 2 1 2 为 为 为 为 − + 3 1 2 为 为 3 为 为 。 − ( 3 。 5 ) 同样,一个应用程序(<一个href="#EEq2.6">2.6)和(<一个href="#EEq2.8">2.12)给 为 3 − 为 ≤ 1 − 3 为 − 为 + 3 为 4 − 为 。 ( 3 。 6 ) 用(<一个href="#EEq3.6">3.6)(<一个href="#EEq3.5">3.5)我们有 为 为 + 1 为 为 ≤ − 1 − ( 1 − ) − ( 1 − ) 1 − 2 1 2 为 为 为 为 − + 3 1 2 1 − 3 为 为 为 为 − + 4 1 2 3 为 为 4 为 为 = − 1 − ( 1 − ) − ( 1 − ) 1 − ( 1 − ) 2 1 2 − 3 1 2 3 × 为 为 为 为 − + 4 1 2 3 为 为 4 为 为 ≤ − 1 − ( 1 − ) − 3 1 2 3 为 为 为 为 − + 4 1 2 3 为 为 4 为 为 。 − ( 3 。 7 ) 继续上述过程 为 为 + 1 为 为 ≤ − 1 − ( 1 − ) − − 2 1 2 3 … − 2 为 为 为 为 − + − 1 1 2 3 … − 2 为 为 − 1 为 为 ≤ − 1 − ( 1 − ) − − 2 1 2 3 … − 2 为 为 为 为 − + − 1 1 2 3 … − 2 1 − − 1 为 为 为 为 − + − 1 为 为 − 为 为 ≤ 1 − ( 1 − ) − − 2 1 2 3 … − 2 为 为 为 为 − + − 1 1 2 3 … − 2 1 − − 1 为 为 为 为 − + − 1 为 为 为 为 ≤ − 1 − ( 1 − ) − − 2 1 2 3 … − 2 + − 1 1 2 3 … − 2 为 为 为 为 ≤ − 1 − ( 1 − ) 为 为 为 为 。 − ( 3 。 8 ) 因此通过引理<一个href="#lem3.1">3.1 → 。
接下来,我们表明, 是独一无二的。假设存在另一个巧合 ∗ 。然后有一个 ∗ ∈ 这样 ∗ = ∗ = ∗ 。因此,从(<一个href="#EEq2.8">2.12)我们有
为 − ∗ 为 = 为 − ∗ 为 ≤ 为 − ∗ 为 + ( 为 − 为 ) = 为 − ∗ 为 。 ( 3 。 9 ) 自 < 1 ,然后 = ∗ 所以 是独一无二的。
自 , 弱是兼容的吗 = 所以 = 。因此 是一个巧合吗 , 因为巧合点是独一无二的 = ∗ 因此 = = 因此 独特的公共不动点吗 , 和完成的证据。

3.3的话。较弱的版本的定理<一个href="#thm3.2">3.2的结果是(<一个href="#B15">16,<一个href="#B17">18), 假设单射和收敛而不是公共不动点的重合点吗 , 。此外,Jungck-multistep迭代中使用定理<一个href="#thm3.2">3.2一般比Jungck-Ishikawa和Jungck-Noor迭代中使用(<一个href="#B16">17,<一个href="#B17">18]。

它已经显示在[<一个href="#B1">1,<一个href="#B12">20.),如果 ( ) 或 ( ) 是一个完整的子空间的 ,然后映射满足广义Zamfirescu运营商(<一个href="#EEq2.8">2.8)有一个独特的巧合。因此我们有以下结果。

定理3.4。让 巴拿赫空间 , ∶ → 这样 为 − 为 ≤ ℎ 米 一个 x 为 − 为 , 为 − 为 + 为 − 为 2 , 为 − 为 + 为 − 为 2 , ( 3 。 1 0 ) 和 ( ) ⊆ ( ) 。假设 和 弱是兼容的。对于任何 ∈ Jungck-multistep迭代(<一个href="#EEq2.6">2.6) { } ∞ = 1 收敛于独特的公共不动点 , 。

自Jungck-Noor Jungck-Ishikawa Jungck-multistep迭代和Jungck-Mann迭代是特殊情况,然后我们有以下的后果。

推论3.5。让 巴拿赫空间 , ∶ → 这样 为 − 为 ≤ ℎ 米 一个 x 为 − 为 , 为 − 为 + 为 − 为 2 , 为 − 为 + 为 − 为 2 ( 3 。 1 1 ) 和 ( ) ⊆ ( ) 。假设 和 弱是兼容的。对于任何 ∈ Jungck-Noor迭代(<一个href="#EEq2.5">2.5) { } ∞ = 1 收敛于独特的公共不动点 , 。

推论3.6。让 巴拿赫空间 , ∶ → 这样 为 − 为 ≤ ℎ 米 一个 x 为 − 为 , 为 − 为 + 为 − 为 2 , 为 − 为 + 为 − 为 2 ( 3 。 1 2 ) 和 ( ) ⊆ ( ) 。假设 和 弱是兼容的。对于任何 ∈ Jungck-Ishikawa迭代(<一个href="#EEq2.4">2.4) { } ∞ = 1 收敛于独特的公共不动点 , 。

3.7的话。(我)一个较弱的版本的推论<一个href="#coro3.6">3.6是主要的结果(<一个href="#B15">16)的收敛性是重合的 , 和 假设单射。
(2)如果 = 在推论<一个href="#coro3.5">3.5,那么我们的主要结果<一个href="#B2">2]。

推论3.8。让 巴拿赫空间 , ∶ → 这样 为 − 为 ≤ ℎ 米 一个 x 为 − 为 , 为 − 为 + 为 − 为 2 , 为 − 为 + 为 − 为 2 , ( 3 。 1 3 ) 和 ( ) ⊆ ( ) 。假设 和 弱是兼容的。对于任何 ∈ Jungck-Mann迭代(<一个href="#EEq2.3">2.3) { } ∞ = 1 收敛于独特的公共不动点 , 。

3.9的话。如果 = ,推论<一个href="#coro3.8">3.8给出的结果(<一个href="#B12">20.]。

它已经显示在[<一个href="#B1">1,<一个href="#B2">2),如果 ( ) 或 ( ) 是一个完整的子空间的 ,然后映射满足运营商(<一个href="#EEq2.8">2.9)有一个独特的巧合。因此我们有以下结果。

定理3.10。让 巴拿赫空间和空间 , ∶ → 这样 为 − 为 ≤ ℎ 米 一个 x 为 − 为 , 为 − 为 + 为 − 为 2 , 为 − 为 + 为 − 为 2 ( 3 。 1 4 ) 和 ( ) ⊆ ( ) 。假设 和 弱是兼容的。对于任何 ∈ Jungck-multistep迭代(<一个href="#EEq2.6">2.6) { } ∞ = 1 收敛于独特的公共不动点 , 。

自从Jungck-Noor、Jungck-Ishikawa Jungck-Mann Jungck-multistep迭代的迭代是特殊情况,然后我们有以下的后果。

推论3.11。让 巴拿赫空间 , ∶ → 这样 为 − 为 ≤ ℎ 米 一个 x 为 − 为 , 为 − 为 + 为 − 为 2 , 为 − 为 + 为 − 为 , ( 3 。 1 5 ) 和 ( ) ⊆ ( ) 。假设 和 弱是兼容的。对于任何 ∈ Jungck-Noor迭代(<一个href="#EEq2.5">2.5) { } ∞ = 1 收敛于独特的公共不动点 , 。

推论3.12。让 巴拿赫空间 , ∶ → 这样 为 − 为 ≤ ℎ 米 一个 x 为 − 为 , 为 − 为 + 为 − 为 2 , 为 − 为 + 为 − 为 , ( 3 。 1 6 ) 和 ( ) ⊆ ( ) 。假设 和 弱是兼容的。对于任何 ∈ Jungck-Ishikawa迭代(<一个href="#EEq2.4">2.4) { } ∞ = 1 收敛于独特的公共不动点 , 。

推论3.13。让 巴拿赫空间 , ∶ → 这样 为 − 为 ≤ ℎ 米 一个 x 为 − 为 , 为 − 为 + 为 − 为 2 , 为 − 为 + 为 − 为 , ( 3 。 1 7 ) 和 ( ) ⊆ ( ) 。假设 和 弱是兼容的。对于任何 ∈ Jungck-Mann迭代(<一个href="#EEq2.3">2.3) { } ∞ = 1 收敛于独特的公共不动点 , 。

确认

非洲数学年科学研究支持计划(AMMSI)。第一作者是感激汉普顿大学,弗吉尼亚州,美国、好客。

引用

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