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刘昱
1和
Youzheng丁2
1数学和力学，北京科技大学，北京100083，中国的部
2山东建筑大学理学院，山东济南250101
抽象
我们认为薛定谔型运营商，其中电势非负属于反向holder类对于， 。的运营商的估计相关获得当和。我们还获得了运营商的弱型估计的相同的条件下。
1.介绍
近年来，出现了薛定谔运营商的研究相当大的活动（见[1-4]）。在本文中，我们考虑了薛定谔型运营商 其中的潜力属于对于。我们对……感兴趣算子的有界性，这里的潜力比满足较弱条件[五，定理1，（2）]。与薛定谔型运营商的一些其他运营商的估算数字在中找到。2，五]。
需要注意的是一个非负局部积函数在据说属于如果存在相反，持有人不平等 适用于每一个球在。
从[以下3]认为，类具有“自强不息”的属性，也就是说，如果， 然后对于一些。
现在我们给出了运营商的主要成果在本文中。
定理1.1。假设 那么对于存在一个正的常数这样
通过定理的证明1.1，我们得到以下的弱型估计。
定理1.2。假设，那么对于存在一个正的常数这样
根据对潜在更强的条件,Sugano [五]获得了下面的命题。
命题1.3。假设并且存在一个常数这样那么对于存在一个正的常数这样
作为一个直接后果是我们的估计，我们有如下推论。
推论1.4。假设对于假使，假设在然后
纵观本文，除非另有说明，我们将使用表示在每次出现时不一定相同的常数。通过，我们的意思是存在常数和这样。
2.辅助函数以及对基本解决方案的估计
在本节中，我们首先回顾一下辅助函数的定义以及有关辅助功能的一些引理这已经被证明[3]。
引理2.1。如果，然后测量加倍条件，即，存在满足这样 适用于所有的球在
引理2.2。对于和对于那里存在这样
假使，假设，。辅助函数由下式定义
引理2.3。如果， 然后 此外,
引理2.4。存在对于任何和在 特别是，如果
引理2.5。存在这样
引理2.6。存在 和这样，对于任何
请参阅[3用于上述引理的证明。
下一个引理由Tao和Wang在[6]。
引理2.7。让 和如果足够大，就会有正的常数和这样 对于任何和
为了证明定理1.1，我们需要给根本解决的估计。钟已建立的基本解的估计在[2)当是一个非负多项式。近日，菅野[五]已获得的基本解的多项式衰减估计上较弱的条件下在下面的定理中。
定理2.8。假设然后让是从根本上解决对于任意正整数存在一个常数这样
3.主要结果的证明
定理3.1。假设 那么对于存在一个正的常数这样
证明。让和
我们需要证明
写
哪里。
因为他们的自我完善类，对于一些， 我们有
哪里。
从而，
现在，让我们。然后
我们使用的地方(1.2），引理2.3和2.4。
因此，我们已经证明了这一点，
通过选择,引理2.7，我们马上有
从而，
因此，通过使用插值，我们有
然后我们处理。
对于，根据Holder不等式，
哪里我们申请第二个不等式和引理2.7到最后一步。
因此，，
修复然后让。通过引理2.4，2.6,2.7，
如果我们选择足够大。
从这里，我们有
从而证明了该定理。
现在我们给定理证明1.1。
定理的证明1.1。假设对于一些。由定理3.1， 我们有 它遵循 因为是卡尔德龙-Zygmund算子，为， 我们有
致谢
我对裁判提出的宝贵意见表示感谢。本课题得到国家自然科学基金天源项目(批准号:)资助。10726064.
参考文献
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