IJMMS 国际数学和数学科学杂志》上 1687 - 0425 0161 - 1712 Hindawi出版公司 214030年 10.1155 / 2008/214030 214030年 研究文章 一些人估计Schrodinger-Type运营商与某些非负电位 刘 余 丁 Youzheng 肖 杰 数学和力学 北京科技大学 北京100083年 中国 ustb.edu.cn 大学的科学 山东建筑大学 250101年济南,山东省 中国 2008年 13 11 2008年 2008年 04 09年 2008年 01 11 2008年 03 11 2008年 2008年 版权©2008 这是一个开放的文章在知识共享归属许可下发布的,它允许无限制的使用,分布和繁殖在任何媒介,提供最初的工作是正确的引用。

我们认为Schrodinger-type操作符<在l在e-formula> H = ( − Δ ) 2 + V 2 ,非负的潜力<在l在e-formula> V 属于相反的Holder类<在l在e-formula> B 问 1 为<在l在e-formula> 问 1 ≥ n / 2 ,<在l在e-formula> n ≥ 5 。的<在l在e-formula> l p 估计的运算符<在l在e-formula> ∇ 4 H − 1 有关<在l在e-formula> H 得到的时候<在l在e-formula> V ∈ B 问 1 和<在l在e-formula> 1<米米l:米o> < p ≤ 问 1 / 2 。我们还获得运营商的弱型估计<在l在e-formula> ∇ 4 H − 1 在同等条件下的<在l在e-formula> V 。

 1。介绍

近年来,已经有相当多的活动研究的薛定谔运营商(见[ 1- - - - - - 4])。在本文中,我们考虑Schrodinger-type操作符 H = ( − Δ ) 2 + V 2 在 ℝ n ,<米米l:米text> n ≥ 5, 的潜力<在l在e-formula> V 属于<在l在e-formula> B 问 1 为<在l在e-formula> 问 1 ≥ n / 2 。我们感兴趣的<在l在e-formula> l p 算子的有界性<在l在e-formula> ∇ 4 H − 1 ,潜在的<在l在e-formula> V 满足弱条件比( 5定理1 (2))。其他运营商的估计与Schrodinger-type运营商可以在[ 2, 5]。

请注意,在本地非负<在l在e-formula> l 问 可积函数<在l在e-formula> V 在<在l在e-formula> ℝ n 是说属于<在l在e-formula> B 问 ( 1<米米l:米o> < 问 < ∞ ) 如果存在<在l在e-formula> C > 0 这样反向持有人不平等 ( 1 | B | ∫ B V ( x ) 问 d x ) 1<米米l:米o> / 问 ≤ C ( 1 | B | ∫ B V ( x ) d x ) 适用于每一个球<在l在e-formula> B 在<在l在e-formula> ℝ n 。

它遵循从[ 3),<在l在e-formula> B 问 类有一个属性“自我完善”,也就是说,如果<在l在e-formula> V ∈ B 问 ,然后<在l在e-formula> V ∈ B 问 + ε 对于一些<在l在e-formula> ε > 0 。

我们现在给运营商的主要结果<在l在e-formula> ∇ 4 H − 1 在这篇文章中。

<年代tatement id="thm1"> 定理1.1。

假设<在l在e-formula> V ∈ B 问 1 , 问 1 ≥ n / 2。 然后<在l在e-formula> 1<米米l:米o> < p ≤ 问 1 / 2 存在一个正的常数<在l在e-formula> C p 这样 ∥ ∇ 4 H − 1 f ∥ l p ( ℝ n ) ≤ C p ∥ f ∥ l p ( ℝ n ) 。

定理的证明 1。1,我们获得以下弱型估计。

<年代tatement id="thm2"> 定理1.2。

假设<在l在e-formula> V ∈ B 问 1 ,<在l在e-formula> 问 1 ≥ n / 2。 然后<在l在e-formula> 1<米米l:米o> < p ≤ 问 1 / 2 存在一个正的常数<在l在e-formula> C 1 这样 | { x ∈ ℝ n : | ∇ 4 H − 1 f ( x ) | ≥ λ } | ≤ C 1 λ ∥ f ∥ l 1 ( ℝ n ) 。

更强的条件下的潜力<在l在e-formula> V ,Sugano [ 5)取得了以下命题。

<年代tatement id="prop1"> 命题1.3。

假设<在l在e-formula> V ∈ B n / 2 并且存在一个常数<在l在e-formula> C 这样<在l在e-formula> V ( x ) ≤ C 米 ( x ,<米米l:米i> V ) 2 。 然后<在l在e-formula> 1<米米l:米o> < p < ∞ 存在一个正的常数<在l在e-formula> C p 这样 ∥ ∇ 4 H − 1 f ∥ l p ( ℝ n ) ≤ C p ∥ f ∥ l p ( ℝ n ) 。

作为我们的直接结果<在l在e-formula> l p 估计,我们有以下推论。

<年代tatement id="coro1"> 推论1.4。

假设<在l在e-formula> V ∈ B 问 1 为<在l在e-formula> 问 1 ≥ n / 2。 假设<在l在e-formula> ( − Δ ) 2 u + V 2 u = f 在<在l在e-formula> ℝ n 。 然后 ∥ ∇ 4 u ∥ l p ( ℝ n ) ≤ C p ∥ f ∥ l p ( ℝ n ) 为 1<米米l:米o> < p ≤ 问 1 2 。

在这篇文章中,我们将使用,除非另有注明<在l在e-formula> C 表示常量,在每个事件不一定是相同的。通过<在l在e-formula> 一个 ~ B ,我们意味着存在常数<在l在e-formula> C > 0 和<在l在e-formula> c > 0 这样<在l在e-formula> c ≤ 一个 / B ≤ C 。

2。辅助函数< inline-formula > < mml:数学xmlns: mml = " http://www.w3.org/1998/Math/MathML " id = "路" > < mml: mrow > < mml: mi > m < / mml: mi > < mml:莫弹性=“false”> (< / mml:莫> < mml: mi > x < / mml: mi > < mml: mn >, < / mml: mn > < mml: mi > V < / mml: mi > < mml:莫弹性= "假" >)< / mml:莫> < / mml: mrow > < / mml:数学> < / inline-formula >和估计的基本解决方案

在本节中,我们首先回忆起辅助函数的定义<在l在e-formula> 米 ( x ,<米米l:米i> V ) 和一些辅助功能的前题<在l在e-formula> 米 ( x ,<米米l:米i> V ) 已被证明在 3]。

<年代tatement id="lem1"> 引理2.1。

如果<在l在e-formula> V ∈ B 问 ,<在l在e-formula> 问 > 1<米米l:米o> , 然后测量<在l在e-formula> V ( x ) d x 满足条件加倍,即存在<在l在e-formula> C > 0 这样 ∫ B ( x ,<米米l:米n> 2<米米l:米i> r ) V ( y ) d y ≤ C ∫ B ( x ,<米米l:米i> r ) V ( y ) d y 适用于所有球<在l在e-formula> B ( x ,<米米l:米i> r ) 在<在l在e-formula> ℝ n 。

引理2.2。

为<在l在e-formula> 0<米米l:米o> < r < R < ∞ 和<在l在e-formula> V ∈ B 问 1 为<在l在e-formula> 问 1 ≥ n / 2<米米l:米o> , 存在<在l在e-formula> C > 0 这样 1 r n − 2 ∫ B ( x ,<米米l:米i> r ) V ( y ) d y ≤ C ( r R ) 2<米米l:米o> − n / 问 1 1 R n − 2 ∫ B ( x ,<米米l:米i> R ) V ( y ) d y 。

假设<在l在e-formula> V ∈ B 问 1 ,<在l在e-formula> 问 1 ≥ n / 2 。辅助函数<在l在e-formula> 米 ( x ,<米米l:米i> V ) 被定义为 1 米 ( x ,<米米l:米i> V ) = ˙ 吃晚饭 r > 0 { r : 1 r n − 2 ∫ B ( x ,<米米l:米i> r ) V ( y ) d y ≤ 1<米米l:米o minsize="1.5em" maxsize="1.5em"> } , x ∈ ℝ n 。

引理2.3。

如果<在l在e-formula> r = 1<米米l:米o> / 米 ( x ,<米米l:米i> V ) ,然后 1 r n − 2 ∫ B ( x ,<米米l:米i> r ) V ( y ) d y = 1。 此外, 1 r n − 2 ∫ B ( x ,<米米l:米i> r ) V ( y ) d y ~ 1,<米米l:米i> 敌我识别 r ~ 1 米 ( x ,<米米l:米i> V ) 。

引理2.4。

存在<在l在e-formula> l 0 > 0 这样,对于任何<在l在e-formula> x 和<在l在e-formula> y 在<在l在e-formula> ℝ n , 1 C ( 1<米米l:米o> + 米 ( x ,<米米l:米i> V ) | x − y | ) − l 0 ≤ 米 ( x ,<米米l:米i> V ) 米 ( y ,<米米l:米i> V ) ≤ C ( 1<米米l:米o> + 米 ( x ,<米米l:米i> V ) | x − y | ) l 0 / ( l 0 + 1<米米l:米o stretchy="false"> ) 。 特别是,<在l在e-formula> 米 ( x ,<米米l:米i> V ) ~ 米 ( y ,<米米l:米i> V ) , 如果<在l在e-formula> | x − y | < C / 米 ( x ,<米米l:米i> V ) 。

引理2.5。

存在<在l在e-formula> l 1 > 0 这样 ∫ B ( x ,<米米l:米i> R ) V ( y ) | x − y | n − 2 d y ≤ C R n − 2 ∫ B ( x ,<米米l:米i> R ) V ( y ) d y ≤ C ( 1<米米l:米o> + R 米 ( x ,<米米l:米i> V ) ) l 1 。

引理2.6。

存在<在l在e-formula> C > 0<米米l:米o> , c > 0<米米l:米o> , 和<在l在e-formula> l 0 > 0 这样,对于任何<在l在e-formula> x ,<米米l:米i> y ∈ ℝ n , c { 1<米米l:米o> + | x − y | 米 ( y ,<米米l:米i> V ) } 1<米米l:米o> / ( l 0 + 1<米米l:米o stretchy="false"> ) ≤ 1<米米l:米o> + | x − y | 米 ( x ,<米米l:米i> V ) ≤ C { 1<米米l:米o> + | x − y | 米 ( y ,<米米l:米i> V ) } l 0 + 1 。

请参考[ 3以上引理的证明)。

下一个引理得到了道和王( 6]。

<年代tatement id="lem7"> 引理2.7。

让<在l在e-formula> 问 > 年代 ≥ 0<米米l:米o> , 问 ≥ 马克斯 { 1<米米l:米o> , 年代 n / α } , α > 0<米米l:米o> , 和<在l在e-formula> k 足够大,那么有积极的常量<在l在e-formula> k 0 ,<米米l:米text> C , 和<在l在e-formula> C k 这样 ∫ | x − y | < r V ( y ) 年代 | x − y | n − α d y ≤ C r α − 2<米米l:米i> 年代 { 1<米米l:米o> + r 米 ( x ,<米米l:米i> V ) } 年代 k 0 , ∫ ℝ n V ( y ) 年代 { 1<米米l:米o> + 米 ( x ,<米米l:米i> V ) | x − y | } k | x − y | n − α d y ≤ C k 米 ( x ,<米米l:米i> V ) 2<米米l:米i> 年代 − α 对于任何<在l在e-formula> r > 0<米米l:米o> , x ∈ ℝ n , 和<在l在e-formula> V ∈ B 问 。

为了证明定理 1。1,我们需要估计的基本解决方案<在l在e-formula> H 。中建立了基本解的估计<在l在e-formula> H 在[ 2)当<在l在e-formula> V ( x ) 是一个非负多项式。最近,Sugano [ 5)取得了多项式衰减估计的基本解决方案<在l在e-formula> H 在较弱的条件下<在l在e-formula> V 在以下定理。

<年代tatement id="thm3"> 定理2.8。

假设<在l在e-formula> V ∈ B n / 2 ,让<在l在e-formula> Γ H ( x ,<米米l:米i> y ) 的基本解决方案<在l在e-formula> H 。 对任何正整数<在l在e-formula> N , 存在一个常数<在l在e-formula> C N 这样 0<米米l:米o> ≤ Γ H ( x ,<米米l:米i> y ) ≤ C N ( 1<米米l:米o> + 米 ( x ,<米米l:米i> V ) | x − y | ) N 1 | x − y | n − 4 。

3所示。主要结果的证明

在本节中,我们将证明定理 1。1和 1。2。

<年代tatement id="thm4"> 定理3.1。

假设<在l在e-formula> V ∈ B 问 1 , 问 1 ≥ n / 2。 然后<在l在e-formula> 1<米米l:米o> < p ≤ 问 1 / 2 存在一个正的常数<在l在e-formula> C p 这样 ∥ V 2 H − 1 f ∥ l p ( ℝ n ) ≤ C p ∥ f ∥ l p ( ℝ n ) 。

证明。

让<在l在e-formula> f ∈ l p ( ℝ n ) 和 u ( x ) = ∫ ℝ n Γ H ( x ,<米米l:米i> y ) f ( y ) d y 。 我们需要证明 ∥ V 2 u ∥ l p ( ℝ n ) ≤ C ∥ f ∥ l p ( ℝ n ) 。 写 u ( x ) = ∫ | x − y | < r Γ ( x ,<米米l:米i> y ) f ( y ) d y + ∫ | x − y | ≥ r Γ ( x ,<米米l:米i> y ) f ( y ) d y = u 1 ( x ) + u 2 ( x ) , 在哪里<在l在e-formula> r = 1<米米l:米o> / 米 ( x ,<米米l:米i> V ) 。

因为自我完善的<在l在e-formula> B 问 1 类,<在l在e-formula> V ∈ B 问 0 对于一些<在l在e-formula> 问 0 > 问 1 ,我们有 | u 1 ( x ) | ≤ C ∫ | x − y | < r | f ( y ) | | x − y | n − 4 d y ≤ C ( ∫ | x − y | < r | f ( y ) | 问 0 / 2 d y ) 2<米米l:米o> / 问 0 ( ∫ | x − y | < r | x − y | − ( n − 4<米米l:米o stretchy="false"> ) 问 ′ d y ) 1<米米l:米o> / 问 ′ = C r 4<米米l:米o> − 2<米米l:米i> n / 问 0 ( ∫ | x − y | < r | f ( y ) | 问 0 / 2 d y ) 2<米米l:米o> / 问 0 , 在哪里<在l在e-formula> 1<米米l:米o> / 问 ′ + 2<米米l:米o> / 问 0 = 1 。

因此, ∫ ℝ n | V 2 ( y ) u 1 ( y ) | 问 0 / 2 d y ≤ C ∫ ℝ n ( ∫ | x − y | < r | f ( y ) | 问 0 / 2 d y ) V ( x ) 问 0 米 ( x ,<米米l:米i> V ) n − 2<米米l:米年代ub> 问 0 d x = C ∫ ℝ n | f ( y ) | 问 0 / 2 ( ∫ | x − y | < 1<米米l:米o> / 米 ( x ,<米米l:米i> V ) V ( x ) 问 0 米 ( x ,<米米l:米i> V ) n − 2<米米l:米年代ub> 问 0 d x ) d y 。 现在,让<在l在e-formula> R = 1<米米l:米o> / 米 ( y ,<米米l:米i> V ) 。然后 ∫ | x − y | < 1<米米l:米o> / 米 ( x ,<米米l:米i> V ) V ( x ) 问 0 米 ( x ,<米米l:米i> V ) n − 2<米米l:米年代ub> 问 0 d x ≤ C R 2<米米l:米年代ub> 问 0 − n ∫ | x − y | < C R V ( x ) 问 0 d x ≤ C R 2<米米l:米年代ub> 问 0 ( R − n ∫ | x − y | < C R V ( x ) d x ) 问 0 = C ( 1 R n − 2 ∫ | x − y | < C R V ( x ) d x ) 问 0 ≤ C , 我们使用( 1。2),前题 2。3和 2。4。

因此,我们已经证明了一些<在l在e-formula> 问 0 > 问 1 ≥ n / 2 , ∫ ℝ n | V 2 ( x ) u 1 ( x ) | 问 0 / 2 d x ≤ C ∫ ℝ n | f ( x ) | 问 0 / 2 d x 。 通过选择<在l在e-formula> 年代 = 2<米米l:米o> , α = 4 ,<在l在e-formula> r = 1<米米l:米o> / 米 ( x ,<米米l:米i> V ) 在引理 2。7,我们立即有 ∫ | x − y | < 1<米米l:米o> / 米 ( x ,<米米l:米i> V ) V 2 ( x ) | x − y | n − 4 d x ≤ 4 k 0 。 因此, ∫ ℝ n | V 2 ( x ) u 1 ( x ) | d x ≤ C ∫ ℝ n | f ( y ) | ( ∫ | x − y | < 1<米米l:米o> / 米 ( x ,<米米l:米i> V ) V 2 ( x ) | x − y | n − 4 d x ) d y ≤ C k 0 ∫ ℝ n | f ( y ) | d y 。 因此,通过使用插值 ∥ V 2 u 1 ∥ l p 1 ( ℝ n ) ≤ C ∥ f ∥ l p 1 ( ℝ n ) 为 1<米米l:米o> ≤ p 1 ≤ 问 0 2 。 然后我们处理<在l在e-formula> u 2 。

为<在l在e-formula> 1<米米l:米o> < p ≤ 问 0 / 2 持票人不平等, | u 2 ( x ) | ≤ C ∫ | x − y | ≥ r | f ( y ) | d y ( 1<米米l:米o> + | x − y | 米 ( x ,<米米l:米i> V ) ) N | x − y | n − 4 ≤ C ( ∫ | x − y | ≥ r | f ( y ) | p d y ( 1<米米l:米o> + | x − y | 米 ( x ,<米米l:米i> V ) ) N | x − y | n − 4 ) 1<米米l:米o> / p × ( ∫ | x − y | ≥ r d y ( 1<米米l:米o> + | x − y | 米 ( x ,<米米l:米i> V ) ) N | x − y | n − 4 ) 1<米米l:米o> / p ′ = C r 4<米米l:米o> / p ′ ( ∫ | x − y | ≥ r | f ( y ) | p d y ( 1<米米l:米o> + | x − y | 米 ( x ,<米米l:米i> V ) ) N | x − y | n − 4 ) 1<米米l:米o> / p , 在哪里<在l在e-formula> r = 1<米米l:米o> / 米 ( x ,<米米l:米i> V ) 我们应用的第二个不平等<在l在e-formula> 年代 = 0 和<在l在e-formula> α = 4 在引理 2。7最后一步。

因此,对于<在l在e-formula> 1<米米l:米o> ≤ p ≤ 问 0 / 2 , ∫ ℝ n | V 2 ( x ) u 2 ( x ) | p d x ≤ C ∫ ℝ n | f ( y ) | p ( ∫ | x − y | ≥ 1<米米l:米o> / 米 ( x ,<米米l:米i> V ) | V ( x ) | 2<米米l:米i> p d x 米 ( x ,<米米l:米i> V ) 4<米米l:米i> p − 4 ( 1<米米l:米o> + | x − y | 米 ( x ,<米米l:米i> V ) ) N | x − y | n − 4 ) d y 。 修复<在l在e-formula> y ∈ ℝ n ,让<在l在e-formula> R = 1<米米l:米o> / 米 ( y ,<米米l:米i> V ) 。的前题 2。4, 2。6, 2。7, ∫ | x − y | ≥ 1<米米l:米o> / 米 ( x ,<米米l:米i> V ) | V ( x ) | 2<米米l:米i> p d x 米 ( x ,<米米l:米i> V ) 4<米米l:米i> p − 4 ( 1<米米l:米o> + | x − y | 米 ( x ,<米米l:米i> V ) ) N | x − y | n − 4 ≤ C ∫ | x − y | ≥ 1<米米l:米o> / 米 ( x ,<米米l:米i> V ) | V ( x ) | 2<米米l:米i> p d x R 4<米米l:米o> − 4<米米l:米i> p ( 1<米米l:米o> + | x − y | R − 1 ) N 1 | x − y | n − 4 ( N 1 = N − 4<米米l:米o stretchy="false"> ( p − 1<米米l:米o stretchy="false"> ) l 0 l 0 + 1 ) ≤ C k 1 R 4<米米l:米o> − 4<米米l:米i> p 米 ( y ,<米米l:米i> V ) 4<米米l:米i> p − 4 ≤ C 如果我们选择<在l在e-formula> N 足够大。

从这,我们有 ∫ ℝ n | V 2 ( x ) u 2 ( x ) | p d x ≤ ∫ ℝ n | f ( x ) | p d x 为 1<米米l:米o> ≤ p ≤ 问 0 2 。 因此,定理证明。

现在我们给出定理的证明 1。1。

<年代tatement id="proofthm1"> 定理的证明< xref ref-type =“声明”掉= " thm1 " > < / xref > 1.1。

假设<在l在e-formula> V ∈ B 问 1 对于一些<在l在e-formula> 问 1 ≥ n / 2 。由定理 3所示。1,我们有 ∥ V 2 ( ( − Δ ) 2 + V 2 ) − 1 f ∥ l p ( ℝ n ) ≤ C ∥ f ∥ l p ( ℝ n ) 为 1<米米l:米o> ≤ p ≤ 问 1 2 。 由此可见, ∥ ( − Δ ) 2 ( ( − Δ ) 2 + V 2 ) − 1 f ∥ l p ( ℝ n ) ≤ C ∥ f ∥ l p ( ℝ n ) 为 1<米米l:米o> ≤ p ≤ 问 1 2 。 因为<在l在e-formula> ∇ 4 ( − Δ ) − 2 是Calderon-Zygmund算子,对吗<在l在e-formula> 1<米米l:米o> < p ≤ 问 1 / 2 ,我们有 ∥ ∇ 4 ( ( − Δ ) 2 + V 2 ) − 1 f ∥ l p ( ℝ n ) ≤ C p ∥ ( − Δ ) 2 ( ( − Δ ) 2 + V 2 ) − 1 f ∥ l p ( ℝ n ) ≤ C p ∥ f ∥ l p ( ℝ n ) 。

定理的证明< xref ref-type =“声明”掉= " thm2 " > < / xref > 1.2。

请注意,<在l在e-formula> ∇ 4 ( − Δ ) − 2 满足 | { x ∈ ℝ n : | ∇ 4 ( − Δ ) − 2 f ( x ) | ≥ λ } | ≤ C 1 λ ∥ f ∥ l 1 ( ℝ n ) 。

因此,通过定理的证明 1。1, | { x ∈ ℝ n : | ∇ 4 ( ( − Δ ) 2 + V 2 ) − 1 f ( x ) | ≥ λ } | ≤ C 1 λ ∥ ( − Δ ) 2 ( ( − Δ ) 2 + V 2 ) − 1 f ∥ l 1 ( ℝ n ) ≤ C 1 λ ∥ f ∥ l 1 ( ℝ n ) 。

确认

我想表达我的感激之情为有价值的评论裁判。这项工作是支持的田元国家自然科学基金会的项目(NNSF)下的中国批准号10726064。

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