整合分数阶先生流行病模型的解决方案

文摘

本文整合分数阶爵士流行模型解决了通过非线性问题的一种分析技术,即整合分数微分变换法(CFDTM)和变分迭代法(VIM)。这些模型的非线性系统整合分数微分方程(CFDE)没有解析解。VIM是基于整合分数导数和证明。结果显示,两种方法在协议和OFDE是准确的和有效的解决系统。

1。介绍

蔓延的问题(非)致命疾病在人群中被认为有一个恒定的大小在此期间流行COVID-19)。流行病模型的目标是尽可能去理解和控制疾病的传播(1]。在时间 ,假设人口组成(我) :易受影响的数量,没有疾病,但可以得到它。(2) :infectives的数量,这种疾病,可以传染给他人。(3) :删除的数量,不能让疾病或传输;他们自然免疫力或他们已经从疾病中恢复,并且免于再次得到它或他们被隔离或已经死亡。的数学模型不能区分这些可能性。

假设有一个稳定的恒定速率敏感和infectives之间的固定比例常数导致传播。然后,在时间 ,容易成为感染: 在哪里是一个积极的常数。如果 的速度目前infectives变得孤立,呢 和新孤立是由

如果我们让 ,然后下面的非线性常微分方程系统决定了疾病的进展: 与初始条件

以下简单的爵士模型(2- - - - - -5)转换为整合分数微分方程和测试的效率变分迭代法(6)和微分变换法(7- - - - - -11解决这样的模型)。

部分分化和整合运营商有不同的定义,我们可以提到,Riemann-Liouville定义(12,13),卡普托定义(14),等等。最近,哈利勒et al。15)引入了一个新的简单的分数阶导数的定义命名为整合分数导数(CFD),它可以纠正缺陷的其他定义。CFD的主要优点可以总结如下16- - - - - -19]:(1)它满足所有普通导数的概念和规则,如:商,产品,和链规则,而其他部分定义不符合这些规则(2)它可以扩展到解决精确和数值分数微分方程和系统轻松高效地

原因考虑与其对应的整数阶分数阶系统,分数阶微分方程是整数阶微分方程的推广。同时,利用分数阶微分方程可以帮助我们减少错误引起的被忽视的参数模拟现实生活中的现象。

我们喜欢认为分数阶方程比整数阶的造型更适合生物、经济、和社会系统(一般复杂的自适应系统),记忆效应是很重要的。

我们工作的主要目标是引入整合分数阶的方法研究一个特定的先生在一个恒定的人口模型。在这种情况下,整合模型将爵士的分数阶系统转化为一个一致的分式方程,解决了利用变分迭代法和一致的数值微分变换方法的比较。

2。整合分数导数和一些属性

在本部分中,我们回顾一些定义和一些整合分数导数的结果。更多细节,读者可以参考(15,18,20.- - - - - -25]。整合分数阶导数的秩序被定义为 对所有 ,和分数阶导数的定义是0

让 和是 - - - - - -可微的点 ,如果是可微的,那么

的分数积分次序被定义为 积分是通常的黎曼反常积分。

3所示。整合部分先生的数学建模模型

实际的整合部分模型进化这种流行病的人口规模由以下给出整合分数微分系统: 与初始条件

3.1。整合分数微分变换方法

在[9,11),假设是无限的 - - - - - -对一些人来说,可微函数 。 可以扩展的分数幂级数展开一个点呢 作为

在这里,表示的分数导数的应用次了。整合分数微分变换被定义为

然后,逆整合分数微分变换被定义为

基本数学运算由整合分数微分变换方法列出。

命题1。(我)如果 ,然后 。(2)如果 ,然后 。(3)如果 ,然后 。(iv)如果 ,然后 。(v)如果 ,然后 ,在哪里

3.1.1。应用程序整合分数微分变换方法

方程(10)可以改写如下:

因此,递归关系获得

与初始条件 和参数 , ,应用的条件(17);然后,封闭形式的解决方案 可以写成

3.2。变分迭代法

为了说明变分迭代法的基本思想,我们考虑下面的非线性微分方程的算子形式: 在哪里是一个线性算子,是一个非线性算子,任何真正的函数被称为非齐次项。然后,相应的校正功能方程(19)是由 在哪里是一般的拉格朗日乘子26通过变分),可以确定最优理论(27),被认为是限制变异,即 。考虑以上的固定条件修正功能。

定理1。考虑整合分数微分方程(10)。然后,给出了变分迭代公式 在哪里 是th近似,秩序的整合分数阶导数吗 ,和订单的部分积分吗 。

证明。方程(10)可以重写等价 用方程(22通过拉格朗日乘子 ,和收益率 现在,在应用双方的方程(23)将给 然后,方程的修正功能(10)将阅读如下: 在这种情况下,价值的 ,不能从方程(评估容易25),这将是一个功能与分数积分。方程(25)可以表示如下: 在哪里和是受限制的变化 和 。从方程(26),我们得到 利用分部积分方程(27)成为(方程(28)和(29日)类似于方程的证明(27)) 拉格朗日乘数 ,和可以获得的 对所有 边界条件: ,对所有 。解决最后的初值问题对所有 ,一般的拉格朗日乘子被发现是 因此,取代的价值成相应的校正功能(25)给下面的迭代公式:

3.2.1之上。变分迭代法的应用

应用变分迭代法利用定理1,

与初始条件 和参数 , ,我们获得

它可以被观察到的结果流行系统方程(10)是完全同意的结果整合分数微分变换方法。数据1,2和3。

4所示。结论

在这项研究中,我们发现了与两个数值方法近似解流行病模型。这些方法都是基于整合导数在过去几年非常受欢迎。首先,通过使用 - - - - - -导数,我们已经重新定义了符合微分变换方法( )和变分迭代法( )。然后,我们演示了该方法的效率和精度,应用它们流行病模型。它是发现,生成的近似解由我们的方法与相应的近似解完全一致 。此外,针对他们的可用性,我们的方法适用于许多流行病模型/和分数阶。

数据可用性

没有数据被用来支持本研究。

的利益冲突

作者宣称没有利益冲突。

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