文摘
本文的目的是研究混合动力微分方程的边值问题与线性和非线性扰动。它概括第二类型的存在的问题。使用Leray-Schauder替代构造存在的结果,和唯一性保证了巴拿赫的定点定理。末,本文提供了一个例子来说明结果。
1。介绍
微分方程的应用在现实领域增加了不同的重要性这一理论仍在发展。混合动力微分方程是微分方程的一个分支,它也有足够的重要性。最近,它已经引起了几位数学家的注意1- - - - - -5]。在[6),作者研究了混合线性摄动微分方程如下: 在解决这些问题的存在已经确保了使用Dhage定理。
出于上述问题,我们考虑下面的混合动力微分方程边值问题: 在哪里 给出了函数和 这样 。
提出的问题可以认为是泛化的问题(1如果我们把),成为一个特例 ,而且,新奇在边界值之间的关系。使用巴拿赫的定点定理,我们展示的解的存在和唯一性,提出问题。
定点定理用于混合动力微分方程与第一或第二类型的扰动是基于解决方案的组成和或产品的两个运营商Dhage等情况。对于我们的例子,我们有一个汇集了两种类型的混合问题,我们认为使用Leray-Schauder定点定理作为第二存在的结果,我们将有一个操作符。
2。预赛
首先,我们回忆起这篇论文使用的一些基本结果。我们开始通过回忆Leray-Schauder替代。
引理1(见[7])。
让
是一个完全连续算子和
然后,设置是无限的还是至少有一个固定的点。
现在,我们记得下面的前题,我们将基地建设的解决我们的问题。
引理2(见[6])。假设 是在增加为每一个 。然后,对任何 ,这个函数 混合动力微分方程的解决方案吗 当且仅当满足下面的混合积分方程:
3所示。存在的结果
之前存在的结果,我们提出以下假设:(我)地图 是在增加为每一个 。(2)存在积极的常量和 ,这样 (3)存在积极的常量 这样 为每一个 和 。
表示 ,所有连续的空间上定义的映射成具有常态 。
引理3。让 ,然后是一个整体的解决方案(2)当且仅当它满足下列积分方程: 为每一个 。
证明。假设是一个解决方案(2),然后我们获得
然后,
因此,
通过使用第二个方程(2),我们得到
通过替换(9),我们得到
另一种含义是微不足道的。
现在,我们可以给一个积分的定义解决问题(2)。
定义1。的整体解决方案的问题(2)是一个函数
满足以下几点:(1)地图
是连续的每
,和(2)
满足下列积分方程:
为每一个
。
为了减少数学表达式的形式,考虑以下符号:
在哪里是稍后将定义一个实数。
现在,我们可以提供我们的第一个存在的结果。
定理1。假设感到满意。此外,验证假设以下条件:
然后,问题(2)有一个独特的解决方案。
证明。首先,我们定义以下收球:
在哪里
另外,我们定义以下操作符在通过
为每一个
。
证明将在两个步骤:(我)
。的确,对于
和
,我们有
(2)因此,根据(18),我们得到
(3)然后,
(iv)
是一个收缩:为
和
,我们有
它显示了是一个收缩。
因此,是一个收缩。然后,解的存在性和唯一性保证巴拿赫的定点定理。
现在,我们现在使用Leray-Schauder替代第二存在的结果。
定理2。假设和感到满意。此外,假设存在 这样
同时, 。然后,问题(2)至少有一个解决方案。
证明。让
是一个有界的子集。
然后,存在
这样
为每一个
和
。
证明将在几个步骤:(我)
一致有界:为
和
,我们有
然后,是一致有界的。(2)
是同等连续的:为
和
,我们有
因此,是等度连续的。(3)
是有限的:我们表示
让
和
,我们有
这意味着
然后,
因此,所有的假设引理1感到满意。所以,至少有一个不动点是解决我们的问题。
现在,我们举个例子来说明结果。
例1。考虑以下问题:
这个问题可以写成(2),
我们可以很容易的验证
我们有
;然后,从定理2,这个问题至少有一个解决方案。
现在,我们知道我们所寻求解决方案存在,如果它是独一无二的。我们可以轻松地通过使用以下确认:
我们把
满足条件(10)。然后,
根据定理1,我们可以推断出我们的问题有一个独特的解决方案。
4所示。结论
在本文中,我们处理一个混合微分方程与线性和非线性扰动,我们显示解决方案的存在性和唯一性使用巴拿赫的定点定理,而且,我们使用Leray-Schauder定理作为另一种保证解决方案的存在,这是第一次使用,据我们所知,这种类型的问题。在未来的研究中,我们希望推广这个问题在水平导数或初始条件的顺序(中获取灵感8,9]。
数据可用性
使用的数据来支持本研究的发现可以从相应的作者。
的利益冲突
作者宣称没有利益冲突。
作者的贡献
所有作者的贡献同样本文的写作和阅读和批准最终的手稿。