含时变系数的整合型时空分数阶Zeldovich方程的精确解

抽象的

本文的目的是改进的子方程的方法来解决的空间 - 时间分数泽利多维奇方程涉及适形的分数阶导数的时间依赖性的系数。作为结果，我们得到的解决方案的三个家庭，包括双曲线，三角函数，合理的解决方案。这些解决方案可能有助于解释一些化学现象，包括燃烧过程。的研究表明，使用的方法是有效的和可靠的，并且可以被用作替代构造不同类型的非线性顺应性分数偏微分方程（NFPDEs）具有可变系数的新的解决方案。

1.介绍

虽然分数阶导数的概念已有300多年的历史，但在过去和现在的两个世纪中，分数阶微积分的作用越来越大，因为它的应用领域包括生物种群扩散、信号处理、等离子体物理、光纤、化学运动学、固体物理、电气网络、金融、流体流动和控制理论[1.–6.]. 特别是，非整数阶模型已被证明对描述许多尺度非常有用，即纳米尺度、微尺度和中尺度。分数阶微分方程（FDE）引起了许多研究者的兴趣。几位数学家提出了各种分数导数。最受欢迎的是里曼-刘维尔、卡普托、格伦瓦尔德-莱特尼科夫、哈达玛、埃尔德利、科伯、马尔肖和里兹[7.–10］.大多数类型的分数阶导数不满足经典的导数公式，如乘积法则、除法法则和链式法则(见[11例如])。

最近，Khalil等人在通常导数的极限形式基础上引入了一种新的分数导数[12称为整合分数阶导数。可以看出，它在理论上更容易处理，并满足上述经典性质。由于非线性分数阶偏微分方程(NFPDEs)的精确解对于理解非线性物理或化学现象的重要性，许多研究人员用符合导数来解决NFPDEs，如Aminikhah等人给出的[13用子方程法求出分数阶(1 + 1)和(2 + 1)正则长波方程的精确解。塞内塞斯和库尔特[14通过引入整合式分数复变换，得到了空间分数平流扩散方程和空间分数电报方程的精确解。Khalid和Nuruddeen利用Kudryashov方法和修正的Riccati微分方程的扩展tanh展开法建立了整合型时空分数阶Benney-Luke方程的各种解析解[15]，Al-Shawbal等人[16]施加的两个变量（G′/G, 1/G)-用展开法求高维保形时间分数阶微分方程的孤立波和周期波解，如（2） + 1） -维时间分数阶生物种群模型与非线性（3） + 1） -维KdV–Zakharov–Kuznetsov方程。利用Korkmaz等人的Sine-Gordon展开方法，研究了RLW类中一些保形分数阶方程的精确解，如保形时间分数阶RLW方程、保形时间分数阶mRLW方程和保形时间分数阶sRLW方程[17］.Koyunlu等人[18]发现拓扑1孤子解到时间分数改性EW方程和时间分数的Klein-Gordon方程由双曲函数拟设法。伊斯拉米和Talaghani [19]利用微分变换方法求解了几个保形时间分数阶偏微分方程。Kurt等人使用了经验函数法和摄动迭代算法[20]得到分数阶耦合Burgers方程的解析解和近似解。最近，Tozar等人[21]采用了一种新的扩展直接代数方法，得到了分数阶Camassa-Holm方程的广泛解。库尔特(22]，利用子方程法和剩余幂级数法得到了(2 + 1)维时间分数阶Bogoyavlensky-Konopelchenko方程新的解析和数值结果。

近年来，系数随时间变化的nfpde比常数系数的nfpde更能真实地描述许多物理或化学现象，因而受到越来越多的关注。Zhang等[23]引入采用分数黎卡提微分方程称为分数子方程的方法来找到行波解NFPDEs基于齐次平衡原理的方法。

在本文中，我们提出了一种改进的子方程法，为了减少NFPDE到ODE使用行波变换。

该方法的优点是可靠性高，计算域小，相对于exp-function方法和(G′/G, 1/G)-展开法，需要许多复杂的计算，特别是在预测解的系数是可变的情况下。此外，我们的方法给出了一系列不同类型的解。

作为一个应用，我们将使用这种方法来寻找的时空精确解分数泽利多维奇方程与顺应分数阶导数的意义与时间相关的系数： 哪里 , 是未知函数，并且 , ,和是实值函数。燃烧过程用整数阶的Zeldovich方程描述，其中 表示温度[24］.和是空间和时间适形的分数衍生物。为了 ， 和 ,方程式(1.）将被减少到标准泽利多维奇方程。

2.初步

在本节中，我们给出了整合分数阶导数的定义及其重要性质。此外，我们还描述了该方法的主要步骤。

2．1.整合分数导数

定义1。（见[12])。给定一个函数 ,然后求出了矩阵的保形分数导数正常的被定义为 总的来说 .如果是在某些情况下是可微的 对于和存在,然后定义 .

定理1。（见[12])。让和和是在微点 .然后，(1) ,总的来说(2) ,总的来说(3) ,对于所有常数函数(4) (5) （6)此外,，那么，它是可微的

定理2。（见[25])。让 是这样一个函数可微，也可微的。让被一个函数的范围来定义也可微的;然后,

2.2. 方法说明

考虑两个独立的变量NFPDE和如下: 哪里 是未知函数和是一个多项式及其保形分数阶偏导数。

我们总结了分方程法[23] 如下：步骤1. 使用广义行波变换， 哪里和为常数，是一个连续函数。这种转换可以减少nfde (4.)关于一个自变量的常微分方程所以， 哪里是一个多项式及其衍生物。步骤2. 我们假设预测的解决方案(6.）以下形式的： 哪里( )都是待以后确定。我们确定正整数通过考虑出现在最上位的衍生物和非线性项之间的齐次平衡（6.)．满足以下Riccati方程: 哪里是一个常数。我们可以发现，Riccati方程(8.)由[26] 哪里是一个常数。步骤3. 替代(7.)及(8.） 进入 （6.)，收集 ,然后设置为零时，我们得到一个超定的非线性微分方程组和 .步骤4.求解超定系统在第3步和然后利用这些结果和(8.)在(7.），可以得到的明确解决方案（6.)．最后，使用转换(5.），一个得到的精确解（4.)．

3.主要结果

让我们考虑方程(1.). 利用广义行波变换(5.)和定理1.和定理2.方程(1.)可归结为以下非线性常微分方程： 哪里 和 .我们假设方程（10)以(的形式承认一个解决方案7.). 平衡最高阶导数项非线性项 ,可以找到 .所以,

用(11)及(8.） 进入 （10)，收集所有具有相同能力的条款 然后将每一个的系数相等 与零个，一个能获得非线性微分方程的超定的系统 , , ,和 :

通过求解该系统，我们得到了四个案例。为了简单起见，我们引入符号 ,哪里为连续函数，可得到下列情况。

案例1。

案例2。

案例3。

例4。 哪里 , , , ,和是任意常数。
得到的表达式 , , ,和 ,我们构造,当 ,方程的一类双曲函数解1.）从案例1.–4.各U(x,T)有一个号码: 当 ,我们有一组方程的三角函数解(1.）从案例1.–4.各U(x,T)有一个号码: 当一个人也能获得， ,方程的有理解(1.）从案例1.–4.如下: 哪里 .

4。结论

在这项工作中，我们构建三种类型的精确解决方案，包括双曲函数解，三角函数解，和合理的解决方案，以空间 - 时间分数泽利多维奇方程与时间相关的系数适形的分数阶导数的意义通过使用子方程方法。本文所得到的解决方案，被推荐用于化学，即未来的研究，对燃烧模型。值得注意的是，这些解决方案和建议的行波转变还没有报道其他文献。我们可以得出结论，在本文中所使用的方法是方便，高效，可用于涉及与物理学和化学产生的时间依赖系数顺应分数阶导数很多NFPDEs。值得一应用其他的代数方法来NFPDEs，如EXP-功能的方法。这是我们未来的目标。

数据可用性

没有数据用于支持这项研究。

的利益冲突

作者声明他们没有利益冲突。

致谢

这项工作得到了Tishreen大学的支持。

参考文献

1. Ks米勒和B。罗斯，分数阶微积分和分数阶微分方程简介，威利，霍博肯，新泽西州，美国，1993。
2. Podlubny,分数微分方程，学术杂志，圣地亚哥，加州，美国，1999。
3. F. S. Mozaffari, H. Hassanabadi, H. Sobhani，和W. S. Chung，“关于整合的分数量子力学”，韩国物理学会学报，卷。72，没有。9，第980-986，2017。查看在：出版商网站|谷歌学术搜索
4. W. S. Chung, S. Zare, H. Hassanabadi，“killingbeck和双曲势存在下的整合式分数阶schrödinger方程的研究”，理论物理中的通信，卷。67，没有。3，第250-254，2017。查看在：出版商网站|谷歌学术搜索
5. W. S.涌，S. Zarrinkamar，S.扎雷和H. Hassanabadi“在顺应分数形式主义改进的尖突潜在的散射研究”韩国物理学会学报，卷。70，否。4，pp。348-352,2017。查看在：出版商网站|谷歌学术搜索
6. Fs莫扎法里，H。哈桑纳巴迪，H。索巴尼和W。sChung，“使用保形分数阶导数研究dirac方程，”韩国物理学会学报，第72卷，第9期，第987-990页，2018年。查看在：出版商网站|谷歌学术搜索
7. UNKatugampola，“广义分数积分的新方法，”应用数学与计算，卷。218，没有。3，第860-865，2011。查看在：出版商网站|谷歌学术搜索
8. U. N. Katugampola，“新的方法来广义分式衍生物，”数学分析与应用简报，第6卷，第4期，第1-15页，2014年。查看在：谷歌学术搜索
9. a·a·基尔巴斯，h·m·斯里瓦斯塔瓦和j·j·特鲁希略，分数阶微分方程的理论与应用，爱思唯尔，荷兰阿姆斯特丹，2016。
10. S. G. Samko, A. A. Kilbas, O. I. Marichev，《分数积分与导数》，理论和应用， Gordon and Breach, Yverdon，瑞士，1993。查看在：谷歌学术搜索
11. c。朱玛丽的两个基本分数阶微积分公式的反例非线性科学与数值模拟通讯，第22卷，第1-3期，第92-942015页。查看在：出版商网站|谷歌学术搜索
12. R哈利勒，M。霍拉尼，A。尤瑟夫和M。Sababheh，“分数导数的新定义，”[计算与应用数学， vol. 264, pp. 65-70, 2014。查看在：出版商网站|谷歌学术搜索
13. H阿米尼卡，A。H雷法希·谢哈尼和H。Rezadeh，“具有保形分数阶导数的分数阶正则长波方程的子方程方法，”Scientia Iranica，第23卷，第3期，第1048-1054页，2016年。查看在：出版商网站|谷歌学术搜索
14. A.库尔特，“符合分数阶偏微分方程的新分数阶复变换”，杂志应用数学，统计和信息，第12卷，第2期2、2016。查看在：出版商网站|谷歌学术搜索
15. KA.哈立德和R。我Nuruddeen，“通过两种可靠方法对保形时空分数benney-luke方程的分析处理，”国际中华物理研究，第5卷，第5期。2, pp. 109-114, 2017。查看在：出版商网站|谷歌学术搜索
16. A. A. Al-Shawba1, F. A. Abdullah1, K. A. Gepreel，和A. Azmi，“利用(G′/G, 1/G）-expansion方法，”差分方程的研究进展， 2018年，第362卷。查看在：谷歌学术搜索
17. A.科克马兹，O。E赫普森，K。侯赛尼，H。雷扎德和M。Eslami，“RLW类共形时间分数阶方程精确解的Sine-gordon展开法，”沙特国王大学学报，第32卷，第1期，2018年。查看在：出版商网站|谷歌学术搜索
18. “分数阶修正等宽方程和分数阶klein-gordon方程的1-孤子解”，国际电气、电子和数据通信杂志，第6卷，第10期，第38-412018页。查看在：谷歌学术搜索
19. M伊斯拉米和S。A.Taleghani，“保形分数阶偏微分方程的微分变换方法，”伊朗杂志数值分析与优化，第9卷，第2期，第17-29页，2019年。查看在：谷歌学术搜索
20. A.库尔特，M。Şenol，O。塔斯博赞和M。Chand，“作为多分散沉积模型出现的分数阶耦合Burgers方程的两种可靠解法，”应用数学与非线性科学，卷。4，不。2，第523-534，2019。查看在：出版商网站|谷歌学术搜索
21. A. Tozar，A库尔特和O. Tasbozan，“新一轮海洋工程模型所产生的时间分数积扩散波方程的解决方案。”科威特科学杂志，卷。47，没有。2，第22-33，2020。查看在：谷歌学术搜索
22. A.库尔特，“在流体动力学产生的分数巴卡雅夫林奇卡亚-konopelchenko方程的新的分析和数值模拟结果，”应用数学——中国高校学报，第35卷，第1期，第101-112页，2020年。查看在：出版商网站|谷歌学术搜索
23. 张s .，“分数阶子方程方法及其在非线性分数阶偏微分方程中的应用”，物理字母A，卷。375，没有。7，第1069年至1073年，2011。查看在：出版商网站|谷歌学术搜索
24. B. H. Gilding和R. Kersner，“非线性扩散对流反应中的行波”，刊于非线性微分方程及其应用研究进展， vol. 60，施普林格，柏林，德国，2004。查看在：谷歌学术搜索
25. T. Abdeljawad，《关于整合分数微积分》[计算与应用数学，第279卷，第57-66页，2015。查看在：出版商网站|谷歌学术搜索
26. E. Fan，“扩展的tanh函数方法及其在非线性方程中的应用”，物理字母A，卷。277，没有。4-5，第212-218，2000。查看在：出版商网站|谷歌学术搜索

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