文摘
在本文中,我们引入一个模糊分级算子半群的发电机将模糊半群的模糊分数阶导数 。我们建立他们的一些礼仪和一些结果模糊分级柯西问题的解决方案。
1。介绍
部分半群相关问题的部分运营商发起的力量首先博赫纳[1]。Balakrishnan [2]研究部分权力的问题关闭运营商和生成的半群。分数柯西问题关联到一个樵夫半群研究Popescu [3]。Abdeljawad et al。4研究了分数算子半群。生成的半群线性算子引入了模糊数值函数的加和加5]。Kaleva [6]介绍了非线性半群由一个非线性函数。在过去的几十年里,部分分化已经被科学家申请解决几个分数微分方程,证明了分数微积分是很有用的在一些领域的应用和现实生活中的问题,如,但肯定不是有限的,在物理(量子力学、热力学和固态物理),化学,理论生物学和生态学、经济学、工程、信号和图像处理、电气控制理论、粘弹性、纤维光学、stochastic-based,金融,乌龟走路,白格斯和弗里德曼模式,正态分布的内核,time-fractional非线性色散pd,分数multipantograph系统,time-fractional广义费雪方程和time-fractional 方程,非线性time-fractional薛定谔方程(7- - - - - -14]。
模糊的概念引入了分数导数由[15和开发的16- - - - - -19),但这些研究人员试图把模糊分数阶导数的定义。他们中的大多数使用模糊分数导数的积分。其中两个是最受欢迎的Riemann-Liouville定义和卡普托的定义。上面提到的所有定义满足模糊线性分数阶导数的性质。这是唯一的财产继承自第一个模糊导数的定义。获得的部分衍生品在这个微积分似乎复杂,失去了一些基本的属性,通常衍生品等产品规则和链式法则。然而,这些部分运营商的半群的属性在某些情况下表现良好。最近,Harir et al。20.)定义了一个新的行为端正的简单分数导数称为“模糊”整合分数导数只是依赖的基本极限定义导数。他们证明了乘积法则和分数中值定理解决一些(整合)分数微分方程18]。
在这里,我们介绍运营商的模糊部分半群与模糊关联整合分数导数,证明是一个非常富有成果的工具来解微分方程。然后,我们表明,该半群是模糊分级柯西问题的解决方案 ,和 根据模糊一致的分数导数引入(20.]。
2。预赛
让我们表示的 模糊子集的类的实轴满足以下属性21]:(我) 是正常的,也就是说。,there exists an 这样 ,(2) 模糊凸,即。,因为 和 , (3) 是断断续续的,(iv) 紧凑。
然后,被称为模糊数的空间。很明显, 。为 ,表示 ,然后从(我)(iv),它遵循的 - - - - - -水平集 ,对所有 ,我们是一个封闭的有界区间表示的 。
在这里,表示所有的家庭非空的紧凑的凸子集并定义加法和标量乘法像往常一样。
引理1(见[22])。让
模糊集。然后,
当且仅当
,对所有
。
以下对模糊数算术运算是众所周知的,下面的频繁使用。如果
,然后
为
,如果存在
这样
,然后Hukuhara差异吗和用
。
让我们定义
由方程
在哪里中定义的分离度规吗
。
定理1(见[23])。
是一个完备度量空间。
我们列出以下属性
:
对所有
和
。
定理2(见[24])。存在一个真实的巴拿赫空间这样可以嵌入一个凸锥吗与顶点0 。此外,以下条件成立:(我)的嵌入是等距的,(2)添加在诱发添加在 ,(3)一个非负实数的乘法产生相应的操作 ,(iv) 是密集的 ,(v) 是关闭的。
备注1。让 作为 。验证以下属性: , ,对所有 , ,自 。
3所示。模糊 - - - - - -算子半群
定义1(见[20.])。让 是一个模糊函数。“模糊整合分数导数”被定义为(限制在度量空间是吗 )。 对所有 。让代表 。因此, 如果是 - - - - - -微的有些 和存在,那么
定义2。让 。定义的模糊分级积分 。 积分是通常的黎曼反常积分。
定义3。让 。一个家庭的运营商被称为模糊分级 - - - - - -半群(或模糊 - - - - - -半群)的运营商(我) ,在哪里标识映射在吗 ,(2) ,对所有 。
定义4。一个 - - - - - -半群被称为 - - - - - - 半群如果(一)这个函数 : ,定义为 ,是连续的 ,对所有 ,也就是说, (b)存在常数 和 这样 ,对所有 。
例1。定义上的线性算子 。然后,是一个模糊 - - - - - -半群。事实上(我) ,对所有 ,(2)为 , (一)为 ,然后 ,然后使用的话1,我们推断出 。因此,Hukuhara区别存在,我们有 然后, 自 ,然后 。(b)为 。因此,是一个模糊 - - - - - - 半群上 。
定义5。的整合 - - - - - -的导数在 被称为 - - - - - -无穷小算子的模糊 - - - - - -半群 ,与域= 我们将编写这样的发电机。
引理2。让
和
:
两个操作员。
模糊的操作员吗
- - - - - -半群在当且仅当的运营商是
- - - - - -半群定义凸闭集和
。
通过使用定义5证明引理的证明类似5 (18),省略了。
定理3。让是一个 - - - - - - 半群的无穷小发电机 。然后,对所有 这样 ,对所有 ;映射 是 - - - - - -可微的,
证明。让
和
,为
,我们有
自
,然后
现在,使用定理2.4 (20.),我们得到
对于一些
。如果
,然后
和
。
因此,
通过使用洛必达法则,我们得到的
。
例2。让 上是连续的 。定义 然后,显然是一个 - - - - - - 半群的收缩 。
备注2。如果 和 在定义4,我们说是一个收缩模糊半群。为 , 和 每当 这
4所示。模糊部分柯西问题
让 是连续的,考虑部分初始值的问题 在哪里 。
众所周知,而不是微分方程(24),它可以研究同等分数积分方程。 对所有 和 。
一个解决方案方程(24)是独立的初始时间 。事实上,让 和表示 。然后, 和 。因此,和都是相同的分数微分方程的解决方案不同的初始值。
定理4。让
。
如果是一个解决模糊分级初值问题,
然后,
是一个模糊半群。此外,是问可微的w.r.t和
。
证明。让 和 。正如上面获得的, 部分初值问题的解决方案吗 , 。因此, 我们设置 ,然后 和 。微分方程的解决方案,是 - - - - - -可微的对和 。
定理5。让 。假设一个模糊半群是 - - - - - -可微的w.r.t ,对所有 。然后,是解决部分初值问题 在哪里 。
证明。由
- - - - - -半群性质和使用的证明定理3,我们获得
和
。
最后,我们表明,该模糊指数函数中引入模糊半群的推广(5]。
定理6。如果 是一个有界的线性算子,模糊指数函数幂级数表示吗
证明。让 是一个有界的线性算子定义的加和加(5]。然后, 因此,6满足条件。因此, 柯西问题的解决方案吗 。定义由一个幂级数 现在,通过定理3.9 (5), 在[5),所以是一个模糊半群,因此通过定理呢5,是一个解决问题的办法 因为一个有界的线性算子是Lipschitzian,它遵循由定理6.1 (25)的问题 ,有一个独特的解决方案。因此, ,对所有 。
数据可用性
没有数据被用来支持本研究。
的利益冲突
作者宣称没有利益冲突。