文摘

在本文中,我们的目标是探讨最优控制到一个新的数学模型,描述了agree-disagree意见在民意调查中,我们提出并分析了在Bidah et al ., 2020。我们第一次的模型和召回不同的隔间。我们制定最优控制问题,补充我们的模型与客观的功能。提出了最优控制策略减少反对的人数和干预措施的成本。我们证明解决控制问题的存在,我们采用Pontryagin的最大原则找到存在的必要条件的最优控制,和龙格-库塔forward-backward扫描数值近似方法是用来解决最优控制系统,我们使用各种初始条件和参数进行数值模拟研究几个场景。最后,全局灵敏度分析是进行基于偏秩相关系数法和拉丁超立方体抽样研究各种参数对目标函数的影响,并确定最具影响力的参数。

1。介绍

舆论研究的著名的断言是,当公民暴露于双方的线索和政治信息,他们遵循更易用方线索和忽略政客们的信息。这个断言的理论基础源于防卫改变态度模式(1]。这些模型表明,人们使用简单的决策规则和线索时缺乏动机或系统处理信息的能力。因为大多数公民缺乏知识和对政治缺乏兴趣,方信号通常被认为最影响公民的意见(2]。

当一个人同意采取不同的位置,有偏见的分析参数的问题发生。暂时的人变得积极寻找有利的信息在保护和抑制不利于问题的想法。这种偏见搜索信息可能增加了态度的转变的可能性(1]。吸引公民参与政治生活的关注,党候选人必须提供一定的福利,因为这个任务需要时间,知识,动机,和金钱。公民参与是保证如果有比例与政治管理者和个人经济利益,心理和社会成本(3]。

候选人和媒体经常用民意调查选举之前和期间先确定哪些候选人很可能取胜。这些民意调查样本的潜在选民的意向调查,揭示了预计投票配额。然后,未来的结果允许候选人协商和讨论意见基于一个特定的结果。民意调查通常用于确定人的位置在政治生活中,选票,归属感,和政治取向通过回答问题他们的意见,个人特征,他们的活动。这些答案都收集,统计,数学分析和解释。这些分析允许候选人方改善他们的竞选策略,以改变他们的位置在舆论长期(4]。

民意调查中发挥关键作用的政治运动导致一个更新的性能。这些更新吸引大量媒体的关注,提供一个很好的机会工作在新的政治评论在投票日之前的几周5,6),知道民意调查被广泛批评为影响选民的看法和离开政治和关注流行。然后,通过战略沟通民意调查的结果,候选人可以定义的选举竞争,鼓励民众动员(7]。在任何时候,政党领袖的候选人可以选择政党或其他选举候选人,关注各种各样的政治和性别问题,根据调查的结果。投票在民意调查中可以用来平衡不同元素的党的领导人的演讲8]。

在许多情况下涉及两国的决定。只有两位候选人时,创建一个强有力的政治极化的机会可能会增加。一些先前的研究表明,美国选举吸引互联网的极化,在博客和Twitter上有强烈的政治极化(9,10]。第二轮的选举过程还需要一个双边的决定。在第一轮,公民投票在一大串的政党,但在最后一轮,他们只能投两个最终候选人。第二轮增加在该国政治极化(11]。一个双边决定在2017年总统大选的第二轮智利正在研究,以及由此产生的政治极化测量(12]。

数学模型描述真实现象中发挥至关重要的作用。在[13),作者建立了一个数学模型,描述了舆论的进化在民意调查通过考虑到类的同意,不同意,和无知的人。他们执行一些计算和统计实验来验证理论结果,并提供更有趣的见解的最有影响力的参数模型的平衡阀值。

在本文中,我们研究舆论控制如何旋转的事件和选民的偏好和预期竞争和他们如何说服自己面对候选人在民意调查的信息。我们开始用数学模型描述的进化在民意调查意见。然后,我们介绍两种控制功能代表了媒体和公众的积极和消极的影响对人们的态度。我们在数学上证明这些控件的存在,我们确定最优控制旨在最小化目标函数使用Pontryagin的最高原则。更有效率的发展模型和建模过程的准确性需要可靠的统计方法。灵敏度分析是一个最近使用的方法(14- - - - - -17),这是用于开发决策、建议、理解和量化的系统,验证模型的有效性和准确性,甚至确定其他研究的重要参数(18]。敏感性分析是一种工具来评估变化的影响在输入参数的值仿真模型的输出值。最后,我们执行一个全局灵敏度分析来确定模型的参数和成本之间的关系函数。数值模拟提供说明结果的效率。

本文的组织结构如下:部分2介绍了模型,给出一些细节不同的隔间和模型的参数。在第三节我们目前的最优控制问题,推导出控制存在的充分条件和必要的最优性条件。第四节提供了数值结果和讨论的几个场景。在第五节执行、全局灵敏度分析确定了该控制模型最重要的参数。第六节总结了纸。

2。模型的表示

在这里,我们提出一个数学模型从[13)描述的进化同意和不同意的意见调查期间,和类型的调查我们认为是调查,可以回答一致,分歧,或以其他方式。因此,调查的目标人群是重整旗鼓分成三组,并使用隔间模型因此被制定。三个隔间被认为是在这个模型描述如下:(1)冷漠(我)个人:犹豫不决或矛盾的人,或那些还不知道投票或投票时弃权的人因个人原因。这一类弱或不存在的态度的思想、政党或候选人和缺乏任何强大的正面或负面关联(19]。(2)同意(一个):人同意这个想法被研究。(3)不同意(D):人不认同这个想法被研究。

建模过程,使用一组假设。他们如下:(1)目标人口混合,即冷漠人均匀分布在整个人口(2)招聘和死亡率颞规模考虑下可以忽略不计;因此,没有个人招募,没有个人死在调查期间(3)个人有权利相互通信,因此可以说服自己(4)不确定他们的意见都漠不关心的人(5)投票时弃权的人漠不关心

每个人都有自己的协议或分歧的原因;冷漠的人能说服同意人速度的原因或不同意的原因人的速度 。同意个人可以相信不同意人的速度 ,或不同意人相信同意个人速度 。人们可以投票时弃权或失去兴趣没有任何直接接触个人从相反的意见组;然后,人们变得冷漠速度一致 ,和不同意人们变得冷漠 。所有联系人的建模标准发生率。流程图描述不同的隔间之间的交互模型图1。

所有这些假设和注意事项都写成下列常微分方程组: 在哪里 ,和 。同时, ,和注意, ;因此,人口规模被认为是一个常数。的总结表中给出了参数的描述1。

3所示。最优控制问题

3.1。模型的表示和控制

民意调查中发挥重要作用在当代政治活动,党的领导人用民意调查在竞选活动中动员选民和调整他们的竞选策略,因为党性能更新从新闻机构备受关注,经常作为政治评论的基础在选举日之前的几周。众所周知,了解选民的位置可以塑造行为的选民,而且它经常被批评为对他们的观念的影响20.,21]。这个解释说,在世纪之交,三十多世界各地的民主国家有禁运的出版民意调查接近选举日(8]。

竞选的成功在很大程度上取决于它的能力将新信息对其有利,以及党的领导人的方式回应民意调查是这个过程中最重要的支柱之一。

在这里,我们调查的影响,媒体计划和宣传在民意调查中改变人们的看法。为此,我们引入两个控制变量:第一个代表宣传的影响和积极的媒体项目,吸引更多的人积极的舆论组基于真实的事实,为人们提供更准确和真实的信息在一个简单的方法,所有人使用如WhatsApp, Facebook和Twitter。因此,控制目标漠不关心组让他们同意,也就是说,一个无关紧要的人成为达成率 。

第二个控制代表了媒体的负面影响项目竞争对手。这种控制目标的反对和弃权的人改变他们的想法给他们提供竞争对手的负面信息或信息澄清某些模棱两可至少激励他们,不要投弃权票。例如,游击队转变他们的意见政策信息时远离他们的政党的立场提供了一个令人信服的理由这样做(2]。因此,不同意(弃权)个人速度再次变得冷漠 。因此,控制模型采用以下形式: 在哪里 ,和 。

3.2。最优控制问题

现在,我们考虑最小化目标函数的最优控制问题 在哪里 , ,和小正的常数保持平衡的大小 , ,和 ,分别。积极的常量和平衡二次控制项的大小。背后的原因考虑一段有限的时间范围是控制通常是限制在一个有限的时间窗口。我们工作的目标是最小化冷漠和反对团体利用可能的最低成本的运用控制变量和试图增加同意的人的数量。

我们寻求一个最优控制 这样 主题(4)- (6),

为了找到一个最优解,首先我们发现拉格朗日方程和哈密顿为我们的最优控制问题。事实上,给出最优问题的拉格朗日

3.3。存在一个最优的解决方案

证明存在一个最优解的问题(8),我们将使用一个结果,定理1在以下,确保最优控制问题的解的存在定理中包含III.4.1和推论III.4.1 [22]。问题(8拉格朗日形式)是一种最优控制问题

在上述背景下,我们说一双 是可行的,如果满足柯西问题(11)。我们表示所有可行的对的集合 。接下来,我们回忆起以下。

定理1。(见[22])。对于问题(8),假设和是连续和存在正的常数和这样, , , , ,和 ,我们有(1) (2) (3) 是一个非空的组(4) 是关闭的(5)有一个紧集这样 对于任何一个状态变量(6) 我年代凸, ,和 上凸(7) ,对于一些 和 然后,存在 最小化在 。应用定理1我们的问题,我们得到以下结果:

定理2。存在一个最优控制 和一个相应的初值问题的解(8), ,成本最小化的功能在(8)/ 。

证明。首先,请注意,如果我们和方程(4)- (6),我们得出这样的结论:总人口常数: 。因此, 此外, , ,和 。我们立即获得(1)和(2)。
条件(3)和(4)是直接的定义自 。我们得出这样的结论:所有的状态变量在紧集 和条件(5)。自控制和状态方程是线性相关的二次控制,我们获得(6)。最后, 我们建立(7) 。因此,遵循从定理的结果1。

3.4。描述的最优控制

我们寻求拉格朗日函数的最小值。为此,我们定义了哈密顿如下:

找到最优解,我们Pontryagin的最大原则应用到哈密顿(23),我们获得以下定理。

定理3。让 ,和是最优的解决方案与最优控制变量相关状态和最优控制问题(8)。然后,存在伴随变量 满足 横截性条件 。此外,最优控制和是由

证明。确定伴随方程和横截性条件下,我们利用哈密顿定义为(15)。从设置 ,和 和区分关于 ,和 ,我们获得 的最优性条件,我们有 然后 从 我们有 正如我们下面有界控件上面的0和1,

4所示。数值模拟

我们现在目前的数值模拟与优化系统来自前面的数学模型。我们写了一个代码使用不同的数据和模拟结果。我们使用迭代方法解决最优系统progressive-regressive龙格-库塔四阶方案。这样的数值程序称为forward-backward扫描方法,政府系统初始猜测是解决向前,然后伴随系统解决了落后。首先,从一个初始猜测伴随变量 , ,和 ,我们解决前进龙格-库塔四阶状态方程的过程。然后,这些状态值是用来解决伴随方程的向后龙格-库塔四阶过程因为横截性条件(24- - - - - -27]。后来,我们更新的最优控制值使用状态和主脉的变量的值在前面的步骤中获得的。最后,我们执行前面的步骤,直到达到公差标准。

为了显示我们的工作的重要性,在这里,我们考虑两个数据表中给出的例子1。

4.1。示例1

在接下来的模拟中,我们使用参数值1中给出的数据表1。我们选择这些参数在这里因为我们知道调查的结果,在这种情况下,控制干预是必要的,见图2。调查对象252人,包括250冷漠,一个人同意,一个人不同意。审讯期间5天,允许用户改变他们的想法。

图2描述了状态变量 , ,和的模型(1)- (3当没有控制干预。可以看出。从一开始的调查直到17个小时,批准的人数显著增加,然后开始不断减少,直到调查结束,而不同的人的数量增加迅速约17小时,它继续增长,直到调查结束。冷漠的人的数量迅速减少17个小时,从250年到70年,开始略有下降。

大约90小时,我们可以预测这个调查的结果,在分歧的人数继续增加,和一致的人数继续减少。然而,实现控制策略可能需要一段时间影响的结果,因此,建议提前控制引入。

图3描述了模型的状态变量(1)- (3当控制应用于调查的开始。可以看出,批准的人数增加,稳定在200人左右,直到调查结束。和冷漠的人的数量减少和稳定在50人左右,直到调查结束时,虽然不赞成的人数大约需要零值。在5小时内这个控制策略给出了令人满意的结果。

首先注意控制功能迅速降低和解决在恒定值,直到审讯结束的时间,见图3 (b)。的控制需要从110小时零值,这意味着不再需要这种类型的控制,而控制保持到最后的调查。这个模拟显示了最优控制的有效性减少的人数拒绝和增加的人数批准。

还在这里,我们考虑不同的场景,在该场景中,控制策略实现检测后批准的人数减少,也就是说,40小时后从一开始的调查。图4描述了模型的状态变量(4)- (6)介绍了在控制的情况下瞬间 。我们可以看到,在发现减少的人数一致,两者之间 和 ,建立了控制控制情况为了增加的人数一致,从而改变的人数的增加不同意降低为零,但这一次,控制也维持在一个固定值,直到最后,虽然控制趋于0约100小时,相比情况介绍了控制的调查。

这个场景的模拟表明,可以有效地控制调查结果,即使不进行控制的调查。在某些情况下,当局要等看到事件的过程中没有控制,因为它可以获得令人满意的结果没有任何类型的控制,但这并非总是如此。显然,这第二个场景比第一个场景更便宜,因为应用控制了从一开始的调查可能需要更多的努力和成本。

作为一个不同的场景,我们讨论以后一个而不是两个控制控件的使用。图5(一个)描述了模型的状态变量(4)- (6只有控制时)使用。可以看出,这种策略的控制也有效地减少反对的人数和增加批准的人的数量约5个小时。

可以看出,批准的人数增加到210人,然后开始向200年略有下降的民意调查,而冷漠的人数减少到48个人,然后开始增加对50个人的调查。请注意,不赞成的人数大约需要零值。

我们可以看到,控制变量以1到8小时的最大价值开始下降,见图5 (b)。这个控制变量取大值时的情况相比,两个控制使用。因此,在这种控制策略,额外的努力有必要获得良好的效果。

图6(一)描述了模型的状态变量(4)- (6只有控制时)使用。我们可以看到,批准的人数增加到175人,然后稳定在这个数字,直到调查结束,而冷漠的人数减少65人,然后稳定在这个数字,直到调查结束。注意,不赞成的人数还需要一个小值为10个人。

它也可以看到控制变量以1到4小时的最大价值开始下降,见图6 (b)。这个控制变量大约需要相同的值时的情况相比,两个控制使用。因此,更多的努力开始时需要获得良好的效果。

在只使用的场景控制模型的状态变量稳定在大约18个小时,当他们稳定在5个小时当我们使用在第二个场景中控制。模拟这些场景表明,单一控制就足以让一个好的结果,但它需要更多的能量,努力,和更多的成本。

4.2。示例2

在接下来的模拟中,我们使用参数值表2中给出数据1。在这种情况下,我们也知道调查结果,需要控制干预,见图7。

在这个例子中,我们使用估计的参数(19)对应的数据批准由路透社轮询系统进行的调查显示美国总统如何发挥他应有的作用[28]。这个调查的数据收集约115周,从1月29日,2017年4月7日,2019年,他们给出的比例。这个调查回答以下三个问题:批准,不批准,复杂的感情。

图7描述了状态变量 , ,和的模型(1)- (3当没有控制干预。可以看出,从调查到25周的开始,不赞成的人数显著增加,稳定在55%左右,直到调查结束,而那些同意减少约25周和稳定在41%左右,直到调查结束。冷漠的人数几乎是固定在8%左右从一开始到最后的投票。

因此,在30周,我们可以预测这个调查的结果。调查是由反对意见时,即当不同的人的数量超过的人数一致。因此,建议引入一些控件来控制局势。

图8(一个)描述了模型的状态变量(4)- (6当控制应用于调查的开始。可以看出,批准的人数增加,稳定在80%左右的人口,直到调查结束。和冷漠的人的数量增加,稳定在16%左右,直到调查结束时,虽然不赞成的人数需要小值约为4%。这种控制策略在不到10周内给出令人满意的结果。

注意控制功能以减少值,直到调查结束时,见图8 (b)。的控制小值相比,值了 ,这意味着投入更多的精力投资于积极的媒体和宣传选举平台,加上一点努力打乱竞争对手与负面的媒体,是一个重要的控制策略,以帮助候选人带来更多的人在他身边。这个模拟显示了最优控制的有效性减少反对的人的数量和增加的人数批准。

还在这里,我们考虑不同的场景,在该场景中,控制策略实现检测后批准的人数减少,也就是说,40周后调查的开始。图9描述了模型的状态变量(4)- (6当控制)的情况介绍了在即时 。我们可以看到,在发现减少的人数一致,两者之间 和 ,控制是建立在协议增加个体的数量,从而改变不同意的人数增加人们减少对小值。这个场景的模拟表明,可以有效地控制调查结果,即使不进行控制的调查和只有一个控制 。

图10描述了模型的状态变量(4)- (6)的情况下只有控制介绍了在即时 。可以看出,控制有助于减少反对的人数和增加的数量无关紧要的人,但同意个人的数量仍然不足的人不同意,这意味着只有控制不足以改变选举的结果。显然,使用一个控制比使用更便宜,并使用调查的控制从一开始就需要更多的努力和成本。

5。全局灵敏度分析

敏感性分析是一种定量方法在任何类型的模型不确定性。敏感性分析的目的是确定的关键输入模型和量化的影响的不确定性模型的输入,输出。当输入因素是已知的和小的不确定性,我们可以检查输出的偏导数的函数对输入因素。这种技术被称为局部灵敏度分析(LSA),因为它的研究对输出的影响模型的基于变化因素非常接近名义值。这可以很容易地通过执行几个数值模拟计算和不同的输入因素在标称值(16]。

为了寻找关键因素舆论控制的参数,我们执行一个全局敏感性分析(GSA)。全局灵敏度分析的方法(GSA)可以确定模型的参数或输入的效率,从而提供基本信息模型的性能。全局灵敏度分析的许多方法中,有部分等级相关系数的方法(PRCC)。这些系数是类似于常见的皮尔森相关系数也处理非线性,只要输出是单调的参数(16]。我们评估变化的影响在模型的参数对输出 使用部分等级相关系数(PRCC)。

PRCC是基于抽样的方法。最有效的方法之一是拉丁超立方体抽样抽样(lh)。lh属于蒙特卡罗抽样方法的分类,提供了一个模型的无偏估计的平均输出,与优势,它需要更少的样品比简单随机抽样达到相同的精度29日]。lh是不回所谓的分层抽样技术,随机分布的参数分为400等概率区间,然后取样,假设抽样进行独立地为每一个参数,这个抽样是通过随机选择从每个pdf的表值2。每个采样间隔为每个参数完全一次,每个参数的全面探讨。这就产生了400套的值 ,400套的随机混合不同的参数值,计算了使用方程(11)。

的参数和被认为是遵循正态分布的平均值和标准偏差0.5和0.01,分别。其他参数被认为是与最小三角分布后,最大,和模式为0.0001,0.8,和基线值表1(1)数据,分别。概率分布函数的总结表2。

我们考虑显著性水平为0.05,这意味着PRCCs值大于0.05并不重要。我们发现,认为个人的利益损失的因素和反对个人的利益损失的因素呈正相关, ,而对不同意传输速度不同意同意传输速度是负相关 。不同意传输速率同意不同意传输速度无关紧要的PRCCs。

如表所示3,参数 , ,和是高度相关的 与相应的值0.3070,0.2623,分别和−0.2183。温和的传输速率之间存在相关性和 −0.1668与相应的价值。散点图比较 对每一个六个参数, , , , , ,和 ,如图11基于拉丁超立方体抽样样本量为400。这些散点图清晰地显示出的结果之间的线性关系 和输入参数。

6。结论

在本文中,我们应用最优控制到一个新的数学模型,我们提出和分析了13在民意调查中)描述了进化的观点。我们把两个控制变量。第一个礼物的影响媒体和宣传说服人们改变他们的想法,然后把他们的同意。第二控制负面影响的媒体竞争对手提供竞争对手的负面信息或信息澄清某些模棱两可至少激励他们不要去投票。我们证明了最优控制的存在,确保漠不关心的最小化和反对个人利用可能的最低成本的控制应用程序。我们通过使用Pontryagin特征最优控制的最大原则,我们开发的最优系统,解决了使用迭代的数值方法来模拟几个可能的场景,有或没有最优控制。

部分等级相关系数(PRCC)敏感性分析与目标函数作为输出参数。这个全球敏感性分析表明,成本函数是最敏感的认为个人的利益损失的因素 ,不同意个人的利益损失的因素 ,对不同意传输速度 。

数据可用性

的参数值是(19]。

的利益冲突

作者宣称没有利益冲突。