数解椭圆 -Kirchhoff-Type无界域系统

抽象性

论文中确定至少三种弱解法 -基尔霍夫型潜在系统方法基于变换法 3点定理由波那诺和马拉诺获取

开工导 言

论文的目的是显示下类非局部准线性椭圆系统至少存在三种弱求 : 去哪儿 , 并 , 正实参数 , 中位数 并 . 并 受约束连续函数 归宿 满足适当生长假设 表示局部衍生 与 相形之下 )此处表示 所谓的 -Laplacian运算符 ,

系统化一号泛化椭圆方程与Kirchhoff方程相关联,由Kirchhoff in一号: 去哪儿 , , ,并 常量常量方程扩展经典D'Alembert波方程,考虑振动期间变化对字符串长度的影响显性方程特征3表示方程包含非局部系数 取决于平均 ,并因此,方程不再是点向方程参数方程3)有以下意义: 杨氏模数素材 质量密度 长度字符串 区域跨段 初始张力

上头 -Laplacian运算符非线性比线性复杂 -Laplacian运算符主要归结为非同质性近些年来,对各种数学问题的研究有可变推理举例说,我们可以指向2-12..其各种物理应用可能证明这种极大兴趣有理事实上,有非线性弹性理论应用13电子流体14,15静态热粘性流16和连续体力学17..在不同研究领域也有广度应用,如图像处理模型18号数学描述理想巴洛斯气体透析多孔介质过程19号..

求偶系统存在和多重解决方案 -基尔霍夫模型由多位作者研究,非线性源 混合生长条件不同引读者阅读20码-22号并引用该词概述联系上下文,作者取自23号矢量估值椭圆系统的存在和多重解决办法 去哪儿 受界域 ,平滑边界 , 并 ,并 并 连续函数类 .作者应用直接变换法和可变ExcentSobolev空间理论

反之,通过使用山路定理,作者 in24码显示系统存在非两用求解一号时间 , 并 连续函数类 , , ,并 验证混合生长条件

这项工作的目标是确定是否存在确定区间 谎言系统一号承认至少三种弱点解决办法,应用波南诺和马拉诺最近抽象临界结果25码更精确版定理3.226..

Lemma125码定理3.6等一等 反射实Banach空间 强制持续Gatea ;并 geaux衍生物紧凑性 假设存在 并 ,带 ,中位数(a)_一号) (a)₂)面向每个 ,函数化 强制性之后,为每个人 ,函数化 至少有三大关键点 .

其余论文组织如下段内2内含对变量指数空间的一些基础初步知识以及一些结果,我们将在此使用。终于入3节建立主结果

二叉初步和基本注释

优先介绍Lebesgue-Sobolev空间定义细节可见[27号-29..记事本 集合所有可测量实函数 .集成

面向任 ,定义

面向任 ,我们定义变量推算器Lebesgue空间 配有卢森堡规范

等一等 如此之大 ,a.e类 .定义加权变量推理 Lebesgue空间 : 带规范

从现在开始,我们假设 带 .之后,显然 表示Banach空间30码细节问题)

正相反,变量推算Sobolev空间 定义如下: 并赋有规范

下加加权变量推算Sobolev空间 定义为 并赋有规范

注意 并 等效规范 .况且 何时 ,众所周知 , ,并 可分解性反射性并一致凸出Banach空间

现在,我们展示一些事实,待会使用

提案1(见[27号,28码))并发空间 华府市 ,去哪儿 况且 偏偏 ,有

提案2(见[27号,28码))记事本 ,面向所有 .有 并产生下列效果属实:i) 二) 三)

记事本 ,面向所有 .出题2...

3号提案(见[31号))等一等 并 可测量函数 并 几乎无处不在 .if , ,那时我们有 特别是 常态化

面向所有 ,表示值 关键Sobolev推理 .

4号提案(见[27号,31号))等一等 ,空间Lipschitz持续函数定义 .存在正常量 中位数

5提案(见[27号,31号))假设这一点 满足度 面向每个 .if 正因如此 ,面向每个 ,并存连续紧凑嵌入 .

在下文中,我们将使用产品空间 配有规范 去哪儿 相形之下 )正则 相形之下 )上定义表示 双重空间 装配常用双重规范

定义一 被称为弱解系统一号)如果 面向所有 ,去哪儿 定义中2)
表示 即能函数关联问题一号: 去哪儿 定义如下: 去哪儿 任选 内 ,带 注意我们有以下公式: 众所周知 和关键点 对应弱求解问题一号)

2.1.假设

本文使用下列假设H1 并 .H2存在正函数 并 中位数 去哪儿 并 , ,面向所有 ,和权函数 相形之下 )归并Lebesgue空格 相形之下 )带 H3 连续并增加函数 ,面向所有 , .H4并存 并 满足下列条件C1 ,C2 ,去哪儿 带 并 并 表示建议中定义的常量4.

3级主结果

使用Bonano和Marano获取的三个临界点定理

emma2函数化 Gateaux源码持续变异并依次弱半连续性,强制性Gateaux衍生物接受连续逆向 .

证明人所共知函数 清晰定义并持续可变函数 函数化 提供由 去哪儿 面向每一个 并 定义中19号)
let we show that 强制性通过使用19号)和(b)20码),我们为所有 , 显示显示 原封 ,也就是说 强制点 .
显示运算符 严格单调,足以证明 严格斜面
面向 ,函数化 定义内2)显然是Gateaux衍生物 ,和衍生物提供 面向所有 .
计及不平等问题(例如见第一章[32码]) for ,存在正常量 中位数 任选 .因此,我们有 面向所有 意指 严格单调by三十三提案25.10 严格斜面自Kirchhoff函数 非裁量性 凸进 .正因如此 面向每一个 带 和每一 带 ,上头有 显示显示 严格凸进 .类似地,我们有 严格凸进 .正因如此 严格凸进X级之类 严格单调
很明显 自带注入 严格单调运算符况且 自我们 并推论 强制性(见(cense)19号中文本不适用正因如此 是一个猜想自 即连续 ,并应用(建议4.2,[22号),我们的结论是 承认连续逆向 .况且 单调性 上 保证 顺序下半连续开 (见[三十三提案2520)Lemma证明完全

莱马3号8))假设下 并 ,函数化 定义清晰并属类 上 .此外,它衍生物由 况且 压缩自 至 .

定理一假设下 ,系统化一号承认至少三种显弱解决办法 面向每个

证明由Lemma2, 强制性定义 并 并取自假设 ,有 .况且 所需假设 后发条件 定义 通过选择 .正相反,通过应用建议4For ,有 带 ,定义内36号)取自47)获取 去哪儿 定义中35码)接下去 正因如此 从条件 ,有 从哪个条件 龙马市一号下接
显示函数 强制性,我们使用不平等性(3.8)。面向所有 ,公元前 并 使用Young不平等获取 显示显示 原封 自自 ,也就是说 强制点 ,面向每个参数 ,特别为每个人 .后条件 林马市一号并持有现在,所有Lemma假设一号满意度注意方程求解 正中弱解法一号)正因如此, 系统化一号承认至少三种弱求 .

数据可用性

未使用数据支持此项研究

利益冲突

作者声明他们没有利益冲突