关于加载的问题Parabolic-Hyperbolic类型方程部分衍生品

文摘

一个当地的边值问题的解的存在性和唯一性与不连续匹配条件加载parabolic-hyperbolic方程涉及卡普托分数阶导数和Riemann-Liouville积分进行了调查。解的唯一性证明整体能源和存在的方法证明了积分方程的方法。让我们注意到,从这个问题,同样的问题之前(在连续粘合条件);这样一个存在性定理和唯一性定理是正确的,在这种情况下。

1。介绍和配方的问题

发展理论的部分衍生品的方程是刺激与整数阶微分方程理论的发展。对应用物理学、生物学、数学建模、等等,人们都可以找到工作(1- - - - - -3]。注意工作(4- - - - - -7),致力于研究的BVPs parabolic-hyperbolic方程,涉及部分衍生品。BVPs混合型方程涉及卡普托和Riemann-Liouville分数微分算子进行了在工作8,9]。

注意,与密集研究agroeconomic系统的最优控制问题,调节地面水域和土壤水分的标签,它已成为必须研究的一个新类方程称为“加载方程。“这是最一般的定义“加载方程”和各种加载方程由Nakhushev[详细分类10]。这个工作非常有趣的结果后的理论加载抛物型方程边值问题,parabolic-hyperbolic,和elliptic-hyperbolic类型发表;例如,参见[11- - - - - -13]。

在这个方向,一些本地和外地问题加载elliptic-hyperbolic类型方程的第二个和第三个订单在双重连接领域进行调查(见[14- - - - - -17])。

BVPs混合加载类型与分数微分方程还没有被调查。

在给定的工作中,我们考虑以下方程: 用以下操作(18]: 在哪里。

让域,有界段,,在和特点;(1),在那里,,,,。

让我们输入名称 域的以下问题是调查。

问题1。找到一个解决方案(1从函数的类), 满足边界条件 和粘合条件 在哪里,,给出了函数,,而且。

2。解的唯一性问题1

众所周知,(1)特征坐标和完全的样子 让我们输入名称,;,; 众所周知,柯西问题的解决方案(1)的领域可以表示如下: 在使用条件(8)和(3)考虑(12我们会得到 考虑名称和粘合条件(9)我们有 进一步从(1)考虑到(2),(14), 我们得到8]

定理2。令人满意的条件 解决方案的问题1是独一无二的。

证明。众所周知,如果只有平凡解齐次问题,然后我们可以,原来的问题具有独特的解决方案。对于这个目的我们假设的问题1有两个解决方案;然后表示这些解决方案的差异我们会适当的同质问题。
我们乘(16)和集成从0到1: 我们将调查的积分 把(13)考虑在内,,我们得到 考虑,(推导条件(6)和(7)在同质的情况下)和公式的基础上(见[19,p . 188]), 在一些简化(20.我们会得到 因此,由于(17)(22)得出。因此,基于第一个边界问题的解决方案(1)[9,20.考虑到(6)和(7我们会得到在。进一步,从功能关系(13),考虑到,我们得到。因此,基于解决方案(12我们获得在封闭的领域。

3所示。解决存在的问题1

定理3。满足条件(17), 解决方案的调查问题的存在。

把(13)考虑(16我们将获得 从这里开始, 在哪里 解决方案(25)与条件 有一个表格 在哪里。一个人 边值问题的格林函数(25)和条件(27)。此外,考虑到(26)和使用(3)(28我们会得到 在哪里 折叠分别积分与极限和我们重写积分方程(30.)如下: 在这里 更好的理解,我们现在等价的声明。

备注4。满足所有条件的定理3,问题的解的存在性与唯一性定理1在类的相当于独特的可解性弗雷德霍姆积分方程类型(32)类的。

现在我们需要调查的积分方程(32);对于这个目标我们将估计内核和右边。

由于类(23)的功能和一些评估后(33)我们会得出这样的结论:

因此我们可以得到在。

考虑到和和从我们会和。因此弗雷德霍姆积分方程理论的基础上第二类积分方程(32)是可解性,我们可以编写一个解决方案通过resolvent-kernel方程: 在哪里的resolvent-kernel。

我们会发现未知函数和因此从(13)和(14): 和。

我们写解决方案的问题1在域如下(18,21]: 在这里, 是第一个边界问题的格林函数(1)Riemann-Liouville分数微分算子(注意,它适用于卡普托运营商)(见[20.)), 莱特类型函数(18]。

解决方案的问题1在域将发现的公式(12)。因此,定理3是证明。

相互竞争的利益

作者宣称没有利益冲突。