在复制的准确性和稳定性分析内核空间被迫杜芬方程的方法

文摘

它试图提供复制内核空间的稳定性和收敛性分析方法求解杜芬方程与边界积分的条件。我们将证明繁殖空间方法是稳定的。此外,在引入该方法,结果表明,收敛阶两个。

1。介绍

复制内核空间法是一个非常强大的法求解线性和非线性方程如初始或边界微分方程和积分方程1- - - - - -3]。这种技术不仅用于适定问题[4- - - - - -6],而且对病态问题[7]。换句话说,选择一些工具的灵活性在处理给定的方程可以被视为设计解决方案的主要原因的方法。基于这些特性,我们可以使用复制内核空间方法有效地在任何精度近似的解决方案。此外,应该注意的是,事实上,再生核希尔伯特空间的应用程序方法在数值分析领域并不新鲜,另一方面拥有一些著名的优势;例如(8- - - - - -10),(我)它是准确的,不必要的努力取得的成果,(2)可以选择任意点的间隔的集成和近似解及其衍生品将是适用的,(3)的方法不需要离散化变量,它是不受计算圆的错误和一个不是面对大型计算机内存和时间的必要性,(iv)是全球性的解决方案获得的能力以及解决其他数学,物理和工程问题。

杜芬方程来源于建模等不同分支的科学和工程化学工程、热弹性力学,周期轨道提取、非线性机械振子,和预测疾病(11- - - - - -13]。解这个方程,近年来它的某些变体进行了调查。其中一个是由于Du和崔,申请基于复制内核空间的一种有效方法方法(RKSM) [14]。事实上,这种技术是非常重要的在求解线性和非线性方程1]。杜和崔RKSM用于解决迫使杜芬方程与边界条件14]给出的 在哪里连续函数和非负常数。

近似被迫杜芬方程的解决方案(1),然而,基于我们最好的知识,准确性和稳定性还没有被研究过。在这项工作中,试图研究这些问题。本文的其余部分组织如下。

部分2回顾一些预赛的担忧。节3精度,建立了收敛性秩序,稳定。我们将自己限制于报告的数值实现,因为他们已经在进行14]。

2。预赛

在本节中,我们回忆起一些基本已从[1]。我们从召回的定义开始在哪里是一个正整数。这个空间是RKSM的核心。

定义1。一个人 内积和规范分别定义 在哪里。

我们也需要以下。

定义2。 是一个绝对连续实函数;。

内积和规范被定义为上面提到的任何。

定义3(内核空间繁殖,繁殖内核)。函数空间被称为复制内核空间如果 此外,,或,称为复制内核。

定理4(见[15])。复制内核在共轭对称;也就是说,。也是独一无二的。此外,,对于每一个,当且仅当。

已经证明复制内核空间是一个完整的空间。此外,例如,复制内核和给出了(1),分别

3所示。准确性和收敛性分析

在这里,我们研究解决RKSM(的收敛阶1)。我们将证明这种技术已经收敛阶两个。让,在那里;然后,(1)可以写成: 在哪里和。因此,是一个线性和有界算子对区间。

应用RKSM,首先,构造了正交系统的功能。让,然后,在那里的共轭算子是吗。因此,由于繁殖内核的属性,我们有以下。

引理5。一个人。

证明。考虑

如果是密集的,然后是一个完整的系统的和(1]。应用知名gram - schmidt过程,一个标准正交系统,例如,在,是来自通过 在哪里正交化系数,。

根据(14),我们有以下的解决方案的方法。

定理6(见[14])。如果是密集的,的解决方案(1),然后 在哪里。

这是一文不值当是非线性的,这个方法不能直接使用。因此,迭代修改版本引入了如下。

定理7(见[14])。如果是密集的,是给定的,的解决方案(1),然后 在哪里。

得到近似解,一系列适当的截断使用 在哪里或像以前一样。

的主要贡献14)表示,在给定的条件下(见定理3.1和3.2 (14]),近似解收敛于精确解。然而,应用数值结果Du和崔(14),他们成平方收敛。令人惊讶的是,这个事实已经说明和证明。所以,我们国家和证明这里正式。首先,我们需要下面的引理。

引理8。定理的条件6举行。此外,假设是独立于。然后,

证明。因为复制内核的属性定义和假设,我们有 利用这个关系正规化和的定义,我们有 另一方面,基于的定义在定理6和假设是独立于,我们有。现在足以将右手边的这两个关系的定义,当各不相同。然后,证明已完成。

在下面,我们提供先验和后验误差估计。

定理9。假设和的近似与精确解(1),由RKSM定理6,,。如果,,,,然后 在哪里。

证明。由引理10,我们有。如果篡改在节点和,然后。因此, 在哪里之间的是和。因此,我们有为一个常数和。这就完成了第一个断言。此外,由于是一个有界的线性算子,它是可逆的,,因此,和第二个评估。

非常类似于上述的论点,我们有以下。

引理10。定理的条件7举行。然后,

类似于定理9,我们可以得出以下。

定理11。假设和的近似与精确解(1),由RKSM定理7,,。如果,,,然后 在哪里。

现在,我们处理再生核希尔伯特空间理论的稳定性方法的解决方案,操作员在(6)。为此,假设右边微扰。我们表明变化的近似解有界是一个常数。换句话说,近似解连续依赖于右边。我们需要以下。

引理12(见[15])。如果,那是一个常数这样

定理13。考虑这个问题有一个独特的解决方案,是有界的线性的。然后,再生核希尔伯特空间理论得到的近似解的方法(9)是稳定的。

证明。假设上述方程的近似解获得再生核希尔伯特空间理论与方法;也就是说, 在哪里,,标准正交基,系数获得gram - schmidt正交化过程。此外,假设近似解的吗,在那里和是有界的。我们证明存在常数这样。根据的定义和,我们有 另一方面,存在,。因此, 因为右手的关系(21)和(22)是相等的,那么 自上是连续的,它是有界的 因此,与,我们得出这样的结论:。根据引理12,因此。

同样,我们有下面的定理。

定理14。考虑这个问题有一个独特的解决方案,是有界的,线性的。然后,再生核希尔伯特空间理论得到的近似解的方法(10)是稳定的。

相互竞争的利益

作者宣称没有利益冲突有关的出版。

确认

同时,作者承认哈马丹的分支Isalmic自由大学在开展这一研究的支持。

引用

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