再分配的无网格法中的节点有两个约束线时间偏微分方程

文摘

线的无网格方法是一种强大的设备来解决时间偏微分方程。在整合步骤中,选择一个合适的点集,如自适应节点在空间域,可以是有用的,尽管在某些情况下,这可能会导致病态。本文在每一步生产平滑自适应点的方法,两个约束是执行在均匀分布算法。这些约束导致两种不同网格称为性和局部网格。这些避免病态应用径向基函数。此外,生成更加平滑自适应网格另一个修改是调查,比如使用修改后的弧长监控功能等分布算法。在日益增长的精度的影响调查一些数值例子。考虑两个约束条件的结果相互比较和统一的网格。

1。介绍

无网格方法在过去的十年里获得了很多关注。他们是众所周知的简单性和能力从分散数据重构多元函数。此外,无网格方法使用径向基函数(rbf)强大的方法来解决偏微分方程(pde)。数值解的初始开发应用rbf pde将监察的开创性工作1,2]。他使用了一些搭配节点组合rbf。无网格方法使用rbf有几个优势比较有限差分法(FDM)有限元法(FEM)和其他基于网格方法(3]。其中一个优势是,他们不需要网格或元素。这些方法只需要一些分散的节点。这意味着节点可以选择,自由。由于这个有用的属性,一个重要的几何问题:如何选择节点来提高精度?这个问题引起了许多关于无网格中的节点分布的研究方法。几位研究人员考虑这个问题4- - - - - -8]。的一个有效的方法来选择一组高效的中央节点,称为自适应节点是均匀分布的方法(9,10]。在这种方法中,目标是找到一个分区的间隔,这样一个给定的权函数需要一个给定恒定值在每个子区间。这些自适应中央节点可用于无网格方法,如无网格线(更易)的方法。线(摩尔)的方法是一个著名的数值方法来解决pd (11,12]。线的无网格方法,使用rbf在摩尔近似解。这种方法非常可靠,使用自适应节点(13,14]。在该方法的每个步骤,一些中央节点,在空间域,是必需的。自适应中央节点可以是一个很好的选择使用这种方法。但是,由于病态问题的在某些情况下,节点相互靠近时,在许多实际情况下,有必要选择节点有一定的平滑度属性。这导致一些约束。

在这项研究中,两个可靠的约束,和他们的影响与自适应节点应用更易与调查。第一个约束,称为性网,已经应用在一些研究[13]。本研究的目的是显示应用程序的另一个约束,称为局部有界网,并讨论它的影响和一些修改网格上增加了准确性。本文组织如下。节2介绍了径向基函数插值。节3,一个均匀分布算法实施获得中央节点和两个约束。节4,自适应节点应用于更易解决一些时间pde。

2。径向基函数近似函数

径向基函数是实值取决于距离的基函数两个点之间。常用的rbf multiquadric (MQ),高斯,利用薄板样条(TPS)和紧支撑rbf (CS-RBFs)。MQ径向基函数提供了最准确的近似,在大多数的应用rbf (15]。MQ的定义是,在那里被称为形状参数。本文中使用MQ数值例子。近似给定分布数据在节点,RBF插值相结合的方法给出rbf;也就是说, 在哪里和表示欧几里得范数。是一个RBF和年代的系数决定。通过配置插值条件(,),得到方程组的矩阵形式: 在哪里和。

近似函数的准确性取决于多种因素。一些最重要的是:如何选择,rbf节点分布,并选择形状参数。寻找最优形状参数是一个开放的问题,尽管集中研究了确定一些适当的形状参数对于一个给定的问题(16,17]。在本文中,我们关注分配节点获得更精确的近似。在下一节中,介绍了一种均匀分布的方法选择自适应中央节点。

3所示。一个中央节点自适应方法

基于RBF的无网财产无网格方法,人们可以自由选择一组节点,如统一的或随机的方案。但是在案例的解决方案相对多的振荡,甚至冲击出现,一些自适应方案可以应用(4- - - - - -8]。均匀分布的算法是一个可靠的方法来构造自适应中央节点。均匀分布分布节点的过程在一个时间间隔,这样确定加权函数选择网是均匀分布的。

3.1。均匀分布

定义1(均匀分布)。让是一个非负分段连续函数(),一个常数,是一个整数。网格 被称为equidistributing (e.d.)关于和,如果 这个函数被称为“监控”,这取决于底层函数。找到更详细的监测是指(18,19]。摘要弧长监控()是应用。执行中至少有一些节点平面间隔的一部分,一个参数可以插入的弧长监视器,也就是说,修改后的弧长。数值例子说明了该参数的影响。
对于一个给定的监控功能和常数,产生一个既有网的均匀分布在三个步骤。

步骤1。近似。

步骤2。确定最小的整数这样和定义。

步骤3。找到网 通过逆插值。的点是由。

图1显示了基于既有节点与。这表明中央节点集中在该地区最大梯度。浓度使得节点在该地区附近。较小的中央、之间的最小距离,MQ形状参数必须调整,所以相关的线性系统的条件数仍然是合理的。这种调整并不总是适用的。因此一些约束可以对中央节点的分布。两种最常见的约束和一个算法来构建这些约束自适应节点在下一节中介绍。

3.2。均匀分布的约束

两个最重要和常见的约束是性和局部有界的。Equidistributing第一个约束条件函数引入了1974年在Pereyra和西维尔的工作(9]。第二个约束,更重要的是引入了考茨基和尼科尔斯在198010]。

3.2.1之上。性网

网格被称为性对常数如果 在哪里

定义2 (sub-Equidistribution)。根据定义1,网被称为subequidistributing (s.e.d)关于和如果,, 现在的问题是如下:给定一个函数和常量和,找到一个网格(1)s.e.d.上关于和,(2)性对。下面的定理解决问题。

定理3。如果是一个既有网关于和,在那里 与 和(和等于最小的整数,这样),然后是一个s.e.d.关于和和满足(6)。为证明和有关实现的更多细节请参考[9]。

3.2.2。局部有界网

网格局部有界对常数吗,如果 在哪里,

均匀分布的问题如下:给定一个函数,常量和,找到一个网格(1)s.e.d.上关于和,(2)局部有界对。下面的定理解决问题。

定理4。让,, 在哪里。如果 是一个既有网关于和一些,然后是s.e.d.关于和,对于一个人,。

证明和更多细节的实现,感兴趣的读者被称为(10]。

3.2.3。数值算法

基于定理3和4,现在可以构建一个网格s.e.d.和性或局部有界。在实际应用的功能是近似,一般是在离散形式;也就是说,我们有监控功能在一些点在网()。基于定理3和4,找到s.e.d.网对和,这是性或局部有界对,我们需要三个主要步骤。

步骤1。垫监控功能生产填充函数使用(8)和(11),分别为性和局部有界(局部有界)。

步骤2。确定最小的节点数量,这样。

步骤3。Equidistribute关于找到新网格。

它是指出网格是约束对一个常数,所以分网的数量可能比需要满足的约束条件。在实践中,点的数量是恒定的,既有对执行过程。更深的洞察力,感兴趣的读者被称为(9,10]。

图1显示了节点产生性和局部有界约束。这说明约束网格有更多的平滑特性,比生产没有任何约束。此外,通过修改的值和,一个人可以获得任意属性网格。较小的值附近,网格变得均匀网格,这样两个约束网格相同的制服。

4所示。应用自适应无网格法中的节点

4.1。无网格方法(更易与行)

无网格方法的行(更易)是一个时间的数值方法来近似解pde。在更易,在每个时间步,解决方案是用径向基函数近似。

考虑以下方程: 边界和初始条件 时间离散化,RBF近似的解决方案在步骤是由 在哪里和。假设空间域是离散的节点(),这样,。通过配置(13与中心节点) 这些方程,矩阵表示法,给出 在哪里和。从(15)和(17),可以写成如下: 在哪里。

一般来说,一个任意的时间了,我们有 用(19)(13),将获得下列常微分方程: 写(20.)的矩阵形式,让 因此,(20.)可以写成: 方程(22)是一个常微分方程组的初始和边界条件: 这歌唱的ODE求解器可以解决如龙格-库塔方法。通过应用四阶龙格-库塔方法(RK4) (22),将获得以下方案: 在哪里是时间步。这个方案收益率时间的解决方案在每一步。

4.2。自适应节点更易

在本节中自适应无网格线的方法应用于时间偏微分方程和初始条件。在第一步中,自适应节点产生的空间域基于初始条件。假设()是一个近似解在不同的节点()。然后,更易与应用在这些中央节点来获取近似()时间。接下来,一系列新的自适应节点属性的基础上获得的作为一个函数。最后,()插值得到的值。应用自适应中央节点更易与研究在一些文献[13,14]。生产适应中央节点在每一步一个可以应用的约束。在这项研究中,我们研究两个介绍约束和参数的影响和控制中心节点的位置。比较近似解的准确性,两个著名的pd,汉堡KdV方程,研究了。整个数值例子中,我们使用MQ-RBF。

例5。考虑汉堡方程 的时间间隔。确切的解决方案是 在哪里,,。初始条件和边界条件和确定使用精确解。通过选择方程是通过使用统一的节点,解决本地性,有界自适应节点。在图2近似解和中央节点显示。参数的值,和形状参数,规范,准则并给出了近似解的表1。注意,不同的价值观的影响和做一些自由避免病态。这些参数的值依赖于节点的数量及其分布形式如表所示1。

例6。考虑KdV方程: 与和。初始条件是 确切的解决方案是
计算域是。边界条件和指定精确解。在这个例子中,初始条件的梯度不明显的区域的长度。因此参数的作用和控制节点的集中在适当的地区是非常重要的。解决方案和绝对误差的近似解为不同的网格节点绘制在图3。总结在表实现的结果2。

5。结果和结论

本文应用自适应节点,在更易与时间pd研究。一个中央节点均匀分布算法引入产生适应性。为了避免在RBF近似病态,两个约束自适应节点。为了说明约束的影响,该方法应用于两个著名的时间pde。

在示例5,结果如图2确认,,本地的近似解有界的节点具有良好的准确性而两人不能可靠的近似解与相同数量的节点;他们需要更多的节点的数量。为,以及局部有界性节点工作节点,但统一的节点没有很好的准确性(图3)。为,三种方法都是在良好的精度。因此,研究结果说明,基于本地的近似解有界节点精度超过两人,虽然性节点从统一的节点进行更精确的近似解。基于表的结果1,规范的近似解与统一的节点似乎是可以接受的,但数据显示,该近似解是不精确的,而其他两个网格更精确的近似。分析,研究结果表明,局部有界网有更精确的近似解与较小的节点的数量。为,说明三个网格是相同的结果,因为有大量的节点,避免病态的价值必须小,这导致约束网格均匀网格。因此,成为相同或接近的结果。

在示例6,图4显示,统一的节点的近似解并不准确,获取更准确的解决方案,需要至少150统一的节点,而为性节点和局部有界的节点,可以获得良好的精度。这个例子说明,拟一致的结果从均匀网格网格更准确的结果。也通过使用局部有界网,结果比其他人有最好的准确性。它来自的平滑特性产生网格的局部有界函数根据初始条件和解决方案。分析结果表2说明,在这个例子中通过应用局部有界网近似解的误差比错误更精确的近似解得到统一的网格和拟一致网格。结果通过统一的网格具有可比性的获得的局部有界。因此,结果表明,局部有界网产生更精确的解决方案与拟一致网格相比,和他们都是优于均匀网格。它指出,两个参数和有非常重要的作用在网格的光滑性和结果的准确性。

利益冲突

作者宣称没有利益冲突有关的出版。

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