在稳定基础上的属性Sturm-Liouville操作符的根向量系统不可或缺的微扰条件在Nonstrongly常规Samarskii-Ionkin类型问题

文摘

稳定与不稳定的基础上研究一个问题的属性系统的特征函数和相关函数的双微分算子Samarskii-Ionkin不可或缺的扰动类型的边界条件。

1。介绍

在太空中我们考虑一个运营商由下列常微分表达式: 和边值条件的一般形式: 在边界条件的情况下(2)强烈定期,结果Mikhailov [1]和Kesellman [2提供黎兹基础属性本征函数和相关函数(E&AF)系统的问题。在边界条件的情况下普通但不强烈,问题的性质基础上E&AF系统尚未完全解决。

我们引入边界条件的系数矩阵(2):

通过我们表示矩阵组成的th和th列的矩阵,。让边界条件(2常规定期但不强烈。根据(3,73页),如果下列条件: 然后边界条件(2)是等价的,但不是强烈边界条件。

在[4]马金建议将所有的常规,但不强烈,边界条件分为四种类型:(我) ,;(2) ,;(3) ,;(IV) ,。

例如,边界条件与期刊或antiperiodical条件形式(I)类型,可以确定在以下形式: 也就是说,,,。这些条件将相当于边值条件下,给出了矩阵,以下选项: 和边界条件系数最低的“形式(2)类型。边值条件定义为,(3)类型。这些条件总是相当于边界条件,给出了矩阵: 这种情况下将我们的研究的目的。

此外,马金(4)分配nonstrongly固定边值条件的一种类型,当E&AF系统的谱问题边界条件的一般形式(2在任何势)黎兹基础。

当,E&AF系统的基础属性问题的一般常规边界条件的问题已经完全解决(5]。

在[6,7问题收敛的本征函数向量矩阵形式的狄拉克算子的扩张和希尔运营商形成那个宿舍叫赖茨基,与普通,但不强烈,被认为是边值条件。

问题basisness特征函数的微分算子与退化研究[8- - - - - -10]。

2。声明的问题和主要结果

光谱的问题(8)- (2)和(III)类型的边界条件是non-self-adjoint问题。non-self-adjoint初始操作问题的情况下保存的基础属性(在某种意义上弱)研究了扰动(11]。黎兹基础属性特征函数和相关函数的周期性和抗疟药Sturm-Liouville问题被认为是在12]。我们得到渐近公式特征值和特征函数的周期性和抗疟药Sturm-Liouville边界条件问题,不是强正则,当是复值绝对连续函数,。此外,使用这些渐近公式,我们证明了这些操作符的根本功能形成一个黎兹在空间基础(13,14]。

在[15,16]问题稳定周期问题的基础属性(8)研究了积分摄动边界条件(2),当(我的)类型,也就是说,在条件,。此外,在[17时),研究了类似的问题。在本文中,我们考虑的光谱接近问题的研究17)当,积分边界条件的扰动(2)当,属于(III)类型: 如果,然后问题(9)- (11)Samarskii-Ionkin问题[11]。

从[18它遵循E&AF系统的问题(9)- (11)是完整的和最小。此外,在任何E&AF系统黎兹基础支架。我们的目标是显示属性的基础E&AF系统的问题(9)- (11)不稳定的内核在微小的变化的摄动积分。

在[19施工方法的光谱特征行列式的摄动积分边界条件的问题。非局部问题的光谱特性被认为是在20.]。

基础属性根功能的非局部问题的方程,研究了退化21]。不稳定的基础属性薛定谔的根本功能与非局部边界条件的扰动算子一直在调查(22]。在[23,24]他们延长一些正则Sturm-Liouville问题特殊类型的光谱特性不连续边界值问题,Sturm-Liouville方程一起组成的eigenparameter取决于边界条件和两个辅助传输条件;我们构建的预解算子,证明定理希尔伯特空间扩张的形式修改

3所示。问题的特征行列式

在本节中,我们使用我们的论文的方法(19)构造特征行列式问题的积分边界条件的扰动。

这个问题的一个方面是一个伴随的问题(9)- (11)加载谱问题的微分方程(16]: 首先,我们构造特征谱问题的决定因素。代表的一般解决方案(9)由以下公式, 并满足边界条件(10)和(11),我们获得了有关系数线性系统: 它的行列式是一个特色的行列式问题(9)- (11): 当,我们得到的特征行列式非微扰Samarskii-Ionkin问题。表示通过数量是简单的非微扰Samarskii-Ionkin的特征值问题,是相应的本征函数。非微扰的其他特征值问题(9)- (11)是双:,是相对应的本征函数;是相关的函数。由于双正交的性质本征函数和相关的函数伴随Samarskii-Ionkin问题的问题。

我们代表函数的双正交的扩张系统的傅里叶级数: 使用(16行列式的),我们发现更方便表示。去做,首先,我们评估积分(15)。简单的计算表明,

使用结果,行列式(15)简化为以下形式的标准转换: 意味着。量是方程的根

这些根是特征值摄动谱的问题(9)- (11)。

因此,我们证明如下。

定理1。行列式的特征光谱摄动边值问题条件(9)- (11)可以表示为(18),的特征行列式非微扰Samarskii-Ionkin谱问题,傅里叶系数的双正交的扩张(16)的函数伴随E&AF系统的镇定Samarskii-Ionkin谱问题。

函数从(18)的一阶极点分和函数在这些点零的二阶。因此,函数由公式(18)是一个完整的分析变量的函数。

行列式,特征是整个分析函数,相关问题的微分算子特征值与非局部边界条件研究了三阶(25]。

4所示。部分病例特征行列式

如果系数(16)所有索引,然后是一个双重的特征值摄动问题(9)- (11)。

更简单的行列式特点(18)时的情况表示为(16)与有限的第一笔。也就是说,当存在一个数字这样对所有在这种情况下公式(18)以下形式: 从这部分的情况(18)很容易建立以下。

推论2。对于任何数字给定的提前,也就是说,复杂和正整数,总是存在函数这样将特征值问题(9)- (11)多样性。

从分析(19它也很容易看到对所有。也就是说,所有的特征值,Samarskii-Ionkin问题的特征值摄动谱的问题(9)- (11)。此外,不难看到,多样性的特征值,也保存了下来。

此外,从正交条件,在所有因此,在这种情况下, 因此,特征函数和相关的函数非微扰Samarskii-Ionkin问题满足边界条件(10),(11),因此摄动Samarskii-Ionkin谱问题。因此,功能特征函数和相关函数的摄动问题(9)- (11)。因此,在这种情况下,E&AF系统摄动问题的(9)- (11)和非微扰Samarskii-Ionkin E&AF系统问题(形成黎兹基础)相互之间的差别只在有限数量的第一个成员。因此,E&AF系统摄动系统(9)- (11)也形成黎兹的基础。

一组功能,表示为有限级数(16),是密集。因此,我们证明如下。

定理3。让,;也就是说,边界条件(10),(11)是等价的类型——(3)与摄动积分。的设置功能这样的E&AF系统摄动Samarskii-Ionkin问题(9)- (11)黎兹基础形式是密集的。

5。不稳定的基础属性

现在我们证明的基础属性E&AF系统摄动Samarskii-Ionkin问题(9)- (11在任意小摄动积分)是不稳定的边界条件(11)。

定理4。如果,,即边界条件(10),(11)属于类型- (III),然后设置的功能这样E&AF系统摄动Samarskii-Ionkin问题(9)- (11即使是一个简单的基础)不形式也在密集的。

证明。很明显,功能的集合表示为(16),渐近的系数(即。,beginning with some number) have the property,是密集的。因此,为了证明这个定理,这足以表明,这些函数E&AF系统问题并不构成一个简单的基础。
让是一个足够大的数量等,。然后从(18不难看出是一个简单的特征值问题(9)- (11)。通过直接计算得到相应的本征函数很容易伴随问题的这个值(12)是和。
我们发现问题的本征函数(9)- (11)。足够大的第一个方程的系统部分3成为一个身份,第二个方程转化为以下形式: 自,那么我们写通过。因此,本征函数的问题(9)- (11)具有以下形式: 选择常数从双正交的条件。很容易看到。最后,我们找到问题的本征函数(9)- (11): 通过直接计算我们发现其规范: 从年轻的定理26276年定理,由此推断,240页) 因此, 因此,。因此,基础属性的必要条件并不持有(见[11)和引用),因此,它没有甚至一个简单的基础形式。
定理4是证明。

因为伴随运营商同时有根的黎兹基础属性函数,因此,我们获得以下。

推论5。让;也就是说,边界条件(10),(11)属于类型- (3)。然后一组的函数这样问题的系统的特征函数(12)加载黎兹微分方程形式的基础到处都是茂密的。一组也到处都是茂密的吗。

这篇论文的结果,与18),显示不稳定的基础属性问题的根本功能不可或缺的摄动边界条件的类型,(III),定期常规,但不强烈。

利益冲突

作者宣称没有利益冲突有关的出版。

承认

本研究为一笔赠款资助的科学和教育哈萨克斯坦共和国(批准号0825 / GF4)。

引用

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