肿瘤生长自由边界问题解的稳定性

摘要

我们研究了Bueno（2005）讨论过的自由边界问题的准固定解的渐近行为。使用更简单的方法，我们证明了问题的准稳态解决方案均匀地收敛到独特的非竞争稳定解决方案。

1.介绍

肿瘤进展是一种复杂的过程。了解其动态是现代医学科学的巨大挑战之一。为了描述实体肿瘤的生长，已经提出了越来越多的偏微分方程的自由边界问题的数学模型，并在过去几十年中进行了研究（见），[1-6.]以及其中引用的参考文献)。对这些数学模型的分析引起了极大的兴趣，并建立了许多结果，与[7.-17.及其参考文献。对这些模型的分析可以帮助我们检查和区分肿瘤生长过程中不同机制的不同功能，也可以帮助我们评估各种药物治疗和化疗的效果。

在这项工作中，我们对自由边缘值问题的准静止解决方案的渐近行为进行了一种模拟了单一无症式肿瘤的生长的渐近行为，这应该是球形的。该模型最初由Byrne和Chaplain提出[3.]，最近由Bueno等人进行了研究[7.］．在[7.建立了各初始构型的非平凡定常解的存在性和准定常解的存在唯一性条件。证明了这些拟稳态解一致收敛于一个非平凡稳态解。本文用另一种方法证明了这些拟定解一致收敛于一个非平凡定解。

一般模型如下: 方程(2）是（无量纲）反应 - 扩散方程,在那里是营养浓度和是吸收率。而且，有我们表示营养素的外部浓度。我们假设和仅发生由单个值表示的．让是营养物质扩散所需的时间，，时间间隔，，直到肿瘤变大一倍。典型值和分别是几分钟和天的顺序。因此，．注意这个条件遵循问题的对称性;必须在原点处得到光滑的解。是增殖率函数 - 通过细胞的营养素（缺氧细胞凋亡和坏死）产生的有丝分裂和死亡率之间的平衡。有关详细信息，请参阅[7.］．在[7.[作者只考虑了这种情况，以及案例由Cui和Friedman研究[9.］．在[7.，为了简化符号，我们假设那  ．实际上，在[7.]的内容如下:

在以下假设下(H1) ;  为了;  ;(H2) ;  为了;  ;(H3) 对于一些价值;

建立了各初始构型的非平凡定常解的存在性和准定常解的存在唯一性条件。同时证明了这些拟稳态解一致收敛于一个非平凡稳态解。本文用另一种方法证明了这些拟定解一致收敛于一个非平凡定解。本文采用的方法比[中使用的方法简单。7.］．

2.解决方案的渐近行为（2） - （6.的）

从 [7.那9.，我们知道，如果假设(H1)、(H2)和(H3)成立，则系统(2） - （4.)有一个独特的平稳解．

我们的主要结果是下面的定理。

定理1。假设满足假设（H1），（H2）和（H3）满足并让是问题的解决办法2） - （6.)．然后对任何一个有

首先考虑以下边值问题: 在哪里非负参数和．解的存在性的 （8.）随着上下解决方案和下解决方案方法而易于遵循（见[18.]）因为很清楚和是一对上层和下解决方案。解决方案的唯一性遵循该功能的事实单调越来越多。表示（8.)．自从 （2）是自主的，设置，人们可以很容易地检查是(的唯一解2)-（3.）因此．

引理2(参见[9.引理3.1])。假设假设(H1)得到满足。然后下面的断言保持不变。(我)对于任何， 问题 （8.)有唯一正解, (2) 是否连续可微对所有人,

引理3。考虑以下问题 假使，假设是定义且连续可微的和对所有人．如果存在唯一的正常数这样然后持有

证明。显而易见的是问题的独特解决方案（11.)．下面我们证明了这个解的渐近性态。首先，我们说如果， 然后对所有人．如果没有，存在一个点这样 另一方面，注射条件（H2）和（H3），我们获得 这与(13.)．因此这种说法是正确的。然后单调是越来越多的，有一个上限，所以有一个限制．这个限制必须等于．
如果，证明是相似的。

定理证明1．替换在(4.），人们可以得到 在哪里．直接计算产量 我们用了哪些事实和（见lemma.2),．事实是有唯一的正常数解吗假设(H1)， (H2)， (H3)，根据引理3.一个可以 对于任意初始值．事实是并利用引理2(2),我们有 在哪里那那．因此统一．这完成了定理证明1．

在我们的工作中，就像[7.]，由于规范化，我们考虑过和．我们回想一下,为吸收率的唯一零那是肿瘤边缘的营养成分的浓度，和扩散率是零吗．我们现在说明我们在泛型价值方面的增长制度的结论和并证明他们。

我们将结果总结如下（参见[7.]）。（一种）如果，则非平凡平稳解全局渐近稳定(而平凡解不稳定);那是，对于任意值．这种情况对应于并在定理中得到证明1．（b）如果，然后琐碎的解决方案（静止）是全球渐近稳定的;那是，对于任意值．这种情况对应于．（C）如果， 然后对于任意值．这种情况对应于．

(b)的证据。经过 （4.），（15.),引理2(我) （h2）和， 我们有;然后（19.） 我们有 这是验证的对于任意值作为．

(c)的证据。经过 （4.），（15.),引理2(我) （h2）和， 我们有;然后（19.） 我们有 这是验证的对于任意值作为自．

利益冲突

作者宣布没有关于本文的出版物的利益冲突。

致谢

基金资助:国家自然科学基金(no . 11226182, no . 11301474, no . 11171295);广东省高等学校杰出青年教师资助项目(no . Yq2013163)。关键词:岩石力学，数值模拟，数值模拟

参考文献

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