有限区间上模糊微分包含的部分平均

摘要

摘要对带小参数模糊右侧微分包含的有限区间应用部分平均法的可能性进行了论证。

1.介绍

1990年，奥宾[1]和拜多索夫[2，3.]引入了模糊右侧的微分包含。他们的方法是基于通常的微分包含。1995年，Hüllermeier [4- - - - - -6引入了…的概念-解决方案类似于在[7]。进一步在8- - - - - -20.，考虑了模糊微分包含解的各种性质及其在各种自然科学过程建模中的应用。

平均方法与渐近表示(在庞加莱意义上)相结合，开始作为基本的构造工具，用于解决由微分方程描述的复杂解析动力学问题。通过对N. M. Krylov, N. N. Bogoliubov, Yu。A. Mitropolsky等，在20世纪30年代，平均法逐渐成为分析非线性振动的经典方法之一。

在工作21，22，证明了模糊右侧包含小参数微分包含的完全平均和部分平均方案应用的可能性。通过证明这些定理，Plotnikov等人提供的证明一般微分包含的平均格式的格式[23- - - - - -28使用了)。本文证明了应用模糊微分包含的部分平均法而不需要对单独解进行复核的可能性;也就是说，所有的估计都是用在-解对应的模糊系统。

2.预赛

让是来自空间的所有非空(凸)紧子集的族用Hausdorff度量: 在哪里和是附近的集．

让成为一家人这样满足以下条件:(1） 是正常的;也就是说，存在一个这样;（2） 模糊凸;也就是说, 对于任何和;（3） 上半连续;也就是说，对于任何和存在这样每当，;（4）集的闭合紧凑。

如果,然后被称为模糊数和是一个模糊数空间。

定义1。一组被称为层次的 模糊数的,因为．集的闭合被称为层次的模糊数的．
很明显，这一套,尽管．

定理2(见[29)(叠加定理))。如果,然后(1） ,尽管;（2） ,尽管;（3）如果一个非递减序列是否收敛于,然后．相反,如果是的子集家族吗满足条件(1)-(3)，则存在这样为和．

让为定义的模糊数,如果和．

定义的关系 然后,是一个度量．此外，我们知道[30.］(我) 是完全度量空间;(2) ,尽管;(3) ,尽管和．

3.模糊微分包含:解决方案

考虑模糊微分包含 在哪里，，，．

我们解释(4)作为微分包含的一个家族(见[7，9，10):

一个解决方案(4)被认为是一个绝对连续的函数满足(5)几乎无处不在。让表示-解集(5),让．很明显，是一组子集不能满足定理的条件2(见[5，6，9])。

因此，我们将考虑-模糊微分包含的解(4)．

定义3。上半连续模糊映射满足系统 被称为解决方案 微分包含（4),．

定理4。假设下列条件成立:(1）模糊映射是可衡量的吗;（2）存在这样，对所有人来说， 几乎每一个;（3）存在这样，几乎每一个和每一个;（4）对所有，和几乎所有， 然后，存在一个唯一解决方案模糊系统(4)定义在区间上．

证明。让和．
由(5，6，则可以得出一个子集家族满足定理的条件2;也就是说,,每．
把间隔由点分成部分间隔，，，．我们使用欧拉算法;让映射是由 在哪里，，，．
由(7，28，它的顺序是是等连续的，基本的，它的极限是唯一的解决方案差异包含(5),,每和．证明到此结束。

此外，我们还考虑了微分包含 在哪里，，，．

引理5。让和满足定理(1)-(4)的条件4和存在和这样 对于每一个和，．
然后,每．

证明。把间隔由点分成部分间隔，，，．通过定义3.,我们有 对于每一个．证明到此结束。

注6。如果,然后,每．

4.部分平均法

现在，考虑带小参数的模糊微分包含 在哪里，，，,是一个小参数。

在本工作中，我们将以下部分平均模糊微分包含与包含(10)： 在哪里这样

定理7。我们在域以下条件成立:(1）映射，是可测量的;（2）映射，满足Lipschitz条件 用李普希茨常数;（3）存在这样 几乎每一个和每一个;（4）对所有，和几乎所有， （5）限制(15)在定义域内关于x一致存在;(6）对于任何，,,-包容的解决方案(10与…一起-邻域属于G域;也就是说,,每．
然后,对任何和l> 0，存在这样，对所有人来说和，下面的不等式成立: 在哪里，是-初始和部分平均夹杂的解。

证明。把间隔在部分区间上用点表示，．我们表示模糊映射和这样 对于每一个，，．
然后
同时,我们将
至于，
使用估计(22) - (25),为任何,存在这样,,我们有
考虑引理5,对于任何,存在这样，对所有人来说，下面的不等式成立:
通过结合(26)和(27)和选择和，我们取得(19)．证明了该定理。

5.结论

如果上是连续的，那么，而不是5)，可以考虑以下更简单的方程: 同样，我们可以证明之前得到的所有结果。

利益冲突

作者声明本文的发表不存在利益冲突。

参考文献

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