分析研究非线性分数阶积分微分的方程:重新审视沃尔泰拉的人口模型

文摘

提出两个组件同伦方法解决非线性分数积分微分的方程,即沃尔泰拉的人口模型。Pade逼近是有效地使用这种方法来获取解决方案的基本行为的数学模型积累的毒素对人口的影响生活在一个封闭的系统。的行为解决方案和不同的分数阶值的影响图形化表示。研究概述了该方法的显著特点,以及阐明了其他方法的优势。结果表明,这种方法非常有效,方便,可以适应更大的一类问题。

1。介绍

生态学是研究不同物种与周围环境有关,在和之间的物种对资源的竞争,和捕食1他们之间的关系。有时环境可能感染人群的代谢行为(2,3]。在所有这些情况下,由于时间的变化的人口规模而言,是很自然的,数学建模是由微分方程或积分微分的方程。积分微分的方程通常是很难解决的,尤其是分析,因此需要一种有效的方法来分析数学模型提供了符合现实的解决方案。另外,分数阶模型比integer-order更准确的模型,也就是说,有更多的分数阶模型的自由度。此外,部分衍生品提供优秀的仪器内存和遗传特性的描述各种材料和过程由于存在“记忆”的模型。这记忆项确保现在和未来的历史和它的影响。

这种类型的问题获得了近年来不断升级的重要性,已经积累了许多有趣的结果。生物种群,代谢产物的积累会导致不便整个人口,最终可能导致下降的出生率,死亡率增加。我们认为总毒性作用后所表达的出生率和死亡率是非线性分数阶积分微分的方程(4]: 在哪里出生率是系数,是聚集系数,是毒性系数。的系数显示前的人口演变的基本行为水平长期下降为零,初始种群,表示人口在时间,这个词代表了毒素积累对物种的影响。个体死亡率成正比这个积分,所以人口死亡率由于毒性必须包括一个因素。我们应用规模和人口通过引入无量纲变量,获得以下无量纲问题: 在哪里在时间的人口比例是相同的个体吗,是一个无量纲参数规定。唯一的均衡解决方案(1。2)是简单的解决方案。

几个数字和分析方法近似普通非线性沃尔泰拉积分微分的方程是已知的(见[5- - - - - -12])。

在本文中,我们介绍两个组件同伦摄动方法(13- - - - - -15)求解非线性分数阶积分微分的人口模型。有趣的是,该方法只取决于两个组件的同伦系列。经典的方法是改善同伦摄动法(16]。

2。近似的非线性分数阶积分微分的方程

获得的解决方案(1。2HPM)由两个组件,我们构建以下同伦: 应用逆算子,(两边2。1),我们得到 解决方案(2。2)有以下形式 用(2。3)(2。2),将喜欢的系数的权力,我们得到 假设,然后(2。4)成为 利用(2。6)(2。5),我们得到 消失与和比较的系数,得到的系数如下: 在解决系统(2。8),我们获得的解决方案(1。2)如下: 当,我们恢复5]。我们的目标是找到解决方案的行为不同的参数值。为了找到解决方案的行为分数的值,我们使用Pade近似值的优势操纵的多项式近似成一个有理函数来获得更多信息。众所周知,Pade近似值将聚集在整个实轴如果奇点的问题的解决方案是免费在实轴上。在这里,我们考虑以下两种特殊情况。

情况下我。我们检查情况,我们在(复制得到的近似解2。9)的泰勒展开式在这给了 为简单起见,我们,然后 计算Pade近似值和回忆,我们得到 在哪里和,是常数。

案例二世。现在,我们观察情况,我们在(复制得到的近似解2。9)的泰勒展开式在这给了 为简单起见,我们,然后 计算Pade近似值和回忆,我们得到

图1显示了生成的数值解两个组件HPM和Pade逼近各种价值观的和。应该注意的是,解决方案的价值时,慢慢地下跌减少。一个趋势,可以观察到的数据2,3,4,5显示了两个组件HPM结合Pade近似式显示了快速上升沿对数曲线之后缓慢的指数衰减比达到最大的时候增加,振幅增加而指数衰减减少,,,,。应该注意的是,解决方案的价值时迅速上升增加。这些数据给一些值的两个组件HPM-Pade近似。从这些数据,结果表明,最大的死亡是增加。数据1- - - - - -5显示部分的影响参数和时间在人口的行为。

3所示。结论

在本文中,两个组件homotopy-Pade解决方案已经提出了分数阶积分微分的方程。我们计算了两种不同情况的解决方案,。人口问题的解决方案将帮助在过去/将来预测由于内存。这个版本的HPM独立解决泛函微分方程。同时,程序可以应用系统的分数阶积分微分的方程。获得的结果表明这种方法是强大和求解非线性分数阶方程有着重要的影响。表1和2代表普通和分数阶的数值比较结果最大的人口和关键时期。最后,问题的解决方案在[已报告5]。

承认

相应的本文作者要感谢审稿人对他们有用的对本文的改进意见和建议。第一作者是感谢科学学院院长,卡拉奇大学的支持这项工作。

引用

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