文摘
考虑的问题是调查可能的崩溃旁边的柱子之间的屋顶在二级煤矿开采和残余的第一行支柱叫做斯努克。屋顶之间的岩石支柱,即工作面,斯努克作为Euler-Bernoulli梁模型是在两端的横向力和单位长度的重量。梁是夹在支柱和简支斯努克(铰链)。无因次梁的微分方程和边界条件取决于一个无量纲数。我们考虑的范围值位移和弯曲前第一次变得奇异。模型预测在实际应用中,光束将夹一端支柱。梁的失败的值大于研究计算。
1。介绍
我们认为煤矿煤柱回收(带来的挑战1,2]。二次开采包括回顾我和提取煤炭支柱。这些柱子的采矿开始离你最远的地区的入口点。这个练习是将现有的柱子切成小柱子叫斯努克。每个部分是开采,屋顶必须崩溃不构成安全风险控制的方式来对这些矿工地下操作。我们分析的行为我旁边的柱子之间的屋顶被开采和斯努克的第一行。这是矿工的工作区域,必须是安全的。
2。模型
在图1矿业煤柱回收之前显示面板。隧道是挖掘煤炭约5米宽7米。他们挖掘出在一个固定的模式交叉成直角的创建一个棋盘布局。之间的煤隧道形式支持覆岩的支柱。柱子的宽度大约是10米到20米宽,是我的深度的函数。隧道的高度范围从3米到4米。二次开采分两个阶段进行。在初始阶段,大约5到10柱子和屋顶留给崩溃中移除。这个阶段是模仿(2]。这后,相邻柱开采和较小的部分崩溃。本文的目的是在提取过程模型第二阶段。图2显示了煤柱回收后斯努克。柱子是削减离开四斯努克,大约2米,一个在每一个角落。斯努克必须足够小失败当矿工安全距离(约一个支柱的宽度)的工作面但是它们必须足以稳定unmin柱子旁边。
近似的屋顶由水平层岩石厚度0.5米到20米,如图3。Euler-Bernoulli梁方程可以用来描述岩石的水平层的屋顶。使用Euler-Bernoulli梁方程假设屋顶薄而水平程度,只有水平方向上是很重要的。梁的水平程度的距离下一个支柱是开采斯努克的第一行是隧道的宽度大约是6米。梁的厚度比它的长度范围从0.1到3,因此理论应用梁的厚度不得超过2米。开采面板的宽度约130米到200米不等。如果我们以开采面板的宽度为梁的宽度然后梁的长度比宽度从0.05到0.03不等。依赖的变量的宽度方向的梁因此可以忽略。Euler-Bernoulli梁的使用是合理的梁的厚度小于2米。
在本文中,我们将调查如果屋顶崩溃之间会出现下一个支柱是开采和斯努克当这些斯努克的第一行是稳定的,不会失败。为了实现这一目标,我们认为我的屋顶是夹在在邻近的一个支柱,屋顶是简支或铰链。我们认为屋顶是简支在斯努克自二次开采,岩体的扰动和屋顶倒塌由于邻近斯努克的失败可能会改变该地区的屋顶结构,斯努克支持梁(3]。我们在斯努克模型通过假设梁不再夹和使用相反,梁在斯努克简支或铰链。我们还考虑了屋顶的这一小部分的行为当扰动,如地震,会突然增加的水平力作用的两端的部分屋顶。
问题的分析提出了在梁的两端夹在2]。梁数量发生在无量纲Euler-Bernoulli梁方程,定义在[2)如下: 在哪里水平轴向力是应用到梁的两端,是长度,梁的杨氏模量,是第二光束的横截面积的时刻。梁编号是唯一的无量纲参数的问题。这个数字出现了之前的文学作品,例如在4),但没有分配给它的名字。位移成为奇异时在哪里。最大位移的大小是光束的中心由于问题的对称。为最大曲率的大小是端点的梁和梁倒塌在这些点时梁的抗拉强度是超过。问题的一端夹和一个简单的支持是不对称的。我们的任务是解决和分析这个问题,来比较两端夹紧的问题。
以前的工作在屋顶的失败由于斯努克了(5]。有用的文本(6- - - - - -9]。
3所示。微分方程的推导
合并后的梁和杆如图4。我们将使用的符号和约定的西格尔和Handelman10]。定义坐标轴的未变形的梁。的- - -相互重合原则是沿轴转动惯量的截面梁设在垂直向下。的设在水平,通过每一个截面的形心。坐标系统的起源的质心的左端梁的横截面。单位向量,我,j,k直接在每个坐标轴。为简单起见,我们表示通过。
大纲的微分方程的推导Euler-Bernoulli梁在两端夹在[2,10]。潜在的能量一个弹性梁的长度和杨氏模量是由以下几点: 在哪里从水平位置的位移梁吗垂直向下的方向我,截面惯性矩有关吗设在,是单位长度,体积力的大小应用表面引力的大小是单位长度的方向,水平力作用在梁的两端。我们假设简单的支持或铰链可以反对一个轴向力因此禁止任何轴向运动。的非线性应变张量是用于推导过程的一部分在[10]。
梁方程的推导过程取决于边界条件。我们表明,边界条件目前问题产生同样的梁方程如(2),因此这两个问题之间唯一的区别是他们的边界条件。边界条件与夹一端和另一端简支如下:
在平衡时,势能极值。我们为了实施这个条件 在哪里是一个常数参数。自满足边界条件(3.2)为所有这意味着和必须分别满足(3.2)。因此我们有, 给,在平衡时,
我们用分部积分和边界条件推导出以下结果: 使用(3.6)我们可以重写(3.5), 自(3.7)适用于任意,我们可以推断出
在我们的模型中屋顶是由水平层的岩石作为梁。水平力作用在梁的两端产生的压应力,由于上面的岩体。的数量梁的单位长度重量,我们假设是恒定的。的数量是应用正常表面引力的大小单位长度由于强调从相邻层的转移。我们假设是恒定的。位移取决于重量和表面上应用正常牵引以同样的方式。因此,我们将表示力量相结合,和,仅仅通过。上面的推导和在2不同于西格尔和Handelman [10的包容和在分析。此外,在10,边界条件如下: 而在(2,边界条件如下:
我们看到Euler-Bernoulli梁方程仍有效使用的边界条件。方程(3.8)现在用无量纲形式。定义(2]: 在哪里是位移特征。方程(3.8)成为 梁的数量被定义为(2.1)。边界条件(3.2),当用无量纲变量表示
的弯矩是(10)如下: 在那里,因为它是假定位移是足够小,线性理论应用10),
定义(2]:
然后 我们将参考作为梁的弯矩和曲率。酒吧的开销将会抑制其他论文的符号简单。
4所示。数学方法
考虑屋顶的模型之间的岩石支柱这是脸和对于工作吗描述一个Euler-Bernoulli梁夹紧和结束简支或铰链。位移满足的微分方程 边界条件
的解决方案是 前提是不满足
我们可以重写(4.4)如下:
方程(4.4)和(4.5)在数据绘制5和6。第一个5根(4.4)和(4.5)
在这些值,位移变得无限。自是第一个非零值的的位移变得奇异,我们主要关心的是在区间。在下一节中,我们讨论的解决方案(4.3)位移和梁的曲率计算确定了梁的位置将休息。
对两端固支梁(2),位移变得奇异在哪里。第一个点位移的比较变得奇异在两个模型中,我们注意到。小位移和小衍生品用于Euler-Bernoulli梁方程的推导。因此理论分解附近的点曲率的奇异行为。一个完整的非线性理论需要在这些地区使用。然而,光束将超过其抗拉强度时可在曲率的奇点。
5。分析的结果
图表的位移梁的值数,在范围内如图7。位移有两个静止点位于在一个内点。
考虑第一次小值的梁。的渐近展开作为是由以下几点:
位移是零因为单位长度的重量,作用在梁上。图表的位移对于小的值提出了在图8。从图表中,我们可以看到,(5.1)是一个很好的近似位移。
表示由梁的最大位移。为了估计对小考虑,(5.1),
二次方程的根 范围内是因此,
的根源 范围内是这是唯一的比。的最大转折点曲线在图10都是接近零阶价值。这表明(5.4)是一个很好的近似对于小的值。用(5.4)(5.1)给 从数据7和8是一个很好的近似。相比之下,夹头梁,从对称,偏转的大小是一个最大值为。
为了了解可能的失败的梁,我们需要确定梁的最大应力。我们假设这是点的曲率的大小是最大的。的无量纲曲率梁是由以下几点:
图的曲率的大小范围的值给出了图9。
曲率消失在因为最后只是支持。表示由局部最大值的位置的曲率的大小。由于曲率的符号相反,在吗,曲率必须消失点,说,在那里。我们可以推断出从图9那不改变显著是增加了。用于图的值的范围9,曲率的大小大于在。稍后我们将调查是否总是这样。
考虑第一曲率小的值。的渐近展开5.7),是由以下几点: 在零阶的零曲率发生和因此,
三次方程的根 范围内是这也解释了为什么没有极大地取决于什么。扩张与图有很好的一致性9。
我们现在考虑的转折点的曲率。从(5.7), 消失了,在那里
我们现在检查,曲率之比的绝对值的曲率如下:
的值的范围认为在图9,。然而,随着第一个奇异值方法,这一比率方法和可能超过团结。这是见图10在哪里。我们现在调查分析的比率为。
考虑第一次渐近行为。现在 因此,从(5.12)
更详细的计算收益率以下结果 这减少最初的增加。
考虑下的极限。曲率由(5.7),可能表达的,,如下:
然后,
而且,由于被定义为(5.12), 因此,
因此,
现在在,因此,。因此, 因此
因此,。此外,使用(5.12)和(5.24),我们发现,在极限,是由以下几点:
自,接下去 这
的图像对为呈现在图11。的分析结果和同意的图。相比梁的两端夹紧时,为和,在那里。
6。数值的估计
考虑梁的号码定义为(2.1)。总水平力作用在每个结束部分是由(2,9,10以下: 在哪里是我的深度低于地球表面,是岩石的平均密度从地球表面到深度,顶梁的宽度,梁的厚度,侧压力系数。岩石的侧向压力系数是一个函数的属性。的值对应一个材料,完全是固体对应于一个流体压力的各向同性。一些模型可以预测的值这随深度(7]。浅的煤矿,我们将考虑,我们将(11]。截面惯性矩有关设在(2]
梁号(2.1)成为
梁的一端固定,另一端简支,位移和曲率成为无限的首先。因此我们获得上限梁的长度可以没有崩溃:
随着梁杨氏模量随着时间变得更加支离破碎会减少,将会减少。
当梁的两端夹紧,和最大长度的比值当一端夹紧,一个是简支,最大长度当两端夹紧 的临界长度描述了煤柱回收过程的初始阶段当几个支柱被删除和屋顶坍塌,模型第二阶段当相邻柱开采和较小的部分屋顶的崩溃。我们可以看到,这两个模型是一致的。
我们考虑一个梁由砂岩。我们使用以下的估计:
表1总结了数值估计一端固支梁和其他简单的支持。在一个煤矿柱子之间的距离范围从5米和7米。当弯矩和曲率超过抗拉强度的光束屋顶将会崩溃。这对梁的长度可能发生不到自只提供一个上限崩溃的梁的长度。
轴向力可能会经历一个突然增加由于地震可能会持续一段时间。使用(2.1),长度的上限,,可以编写如下:
如果减少低于6米由于增加呢然后一个屋顶可能发生崩溃。
我们现在比较铰链的作用和加强支持放在眼里在曲率在支柱上。当梁的两端夹紧(2),
当结束时夹,结束只是支持(铰链),(5.7)和(5.8), 因此,
在图12的图和策划反对。我们看到,当结束只是支持曲率大于给定值的夹紧时。梁的抗拉强度将超过低价值的当结束时比夹时简支。简支边界条件已经增加了弯矩的影响和导致梁破坏低价值的。
7所示。光束数的值大于
一个图表的梁的曲率的大小,策划反对,在图13。它的值分裂间隔, 在哪里,…的价值位移和曲率变得无限。我们只考虑第一个区间。因为,从(2.1),我们看到梁号码成正比和的价值会增加如果或要增加。梁的长度增加时,有限斯努克失败。在煤柱回收过程的第二阶段,我崩溃的一小部分,但如果斯努克太强的他们会支持一个更长的部分屋顶将形成一个梁和斯努克失败时崩溃。的另一种方式可能突然增加是由于地震可能产生一个不连续的增加这可能只持续了很短一段时间。
考虑第一位移。位移值在第一间隔,,被认为是在图7。在图14图的位移为代表值的间隔,来,提出了。我们看到,随着通过增加间隔转折点数量的增加,位移可以取负值区间之外。的振幅位移将取决于接近是单数的区间的端点。
考虑下一个曲率的大小。在图9图的曲率的大小绘制的值在第一间隔。在图15、图形的曲率的大小是相同的代表值用来绘制绘制位移图14。的值和考虑当地的数量曲率的大小的最大值th间隔是。最大的局部最大值不是但在内陆点。可能有几个点的曲率的大小的最大值。如果弯矩超过抗拉强度的光束将在这些内部点休息。曲率的大小取决于接近是单数的区间的端点。自梁的长度成正比吗我们可以看到从图13如果的价值在范围之外的然后再梁可能不如短梁容易失败。这可能是与梁承担更高的弯曲模式。我们可以看到从图14位移可以是负的。这是可能在实践中光束必须充分分离从上面的层。
8。结论
我们调查了下支柱之间可能的屋顶坍塌开采和斯努克的第一行作为Euler-Bernoulli梁屋顶造型。梁只是支持(铰链)斯努克和夹紧支柱工作面。模型包含一个无量纲竞赛梁号码。
临界长度的数值估计获得与预期的柱子之间的距离,在一个煤矿5 - 7米从而使模型可靠。模型还预测,屋顶可能崩溃夹一端支柱。的范围,该模型预测,屋顶可能崩溃的内部点接近斯努克比的支柱曲率的大小达到它的最大价值。然而,这个范围的贡献只有1.36%的范围(),因为它是可能的应力会超过阈值的梁数量如下实际上,梁将夹一端如果超过阈值的压力。因此它将打破在工作面支柱。然而,该模型表明,没有必要打破夹一端的梁。光束可能会破坏内部点。在,内部点独特的对于一个给定的值。其他边界条件需要考虑和分析以确定光束可以在内部崩溃点的实用价值。
从图12我们推导出一个简单支撑梁(铰链)的斯努克产生较大的弯矩比梁支柱(夹)夹在斯努克。光束将在一个较低的价值的梁铰接时在斯努克数。
位移和弯曲成为无限的0定义为(4.4),分裂的价值时间间隔。我们认为主要是第一个区间。然而,随着斯努克失败可以增加有限的数量和可能需要值的不连续地更高的间隔。初步计算调查进行位移和曲率的值在这些间隔。这是发现位移可以取负值。在th间隔曲率的大小局部极大值。曲率的大小的最大值一般不发生在支柱,而是发生在内陆点。如果超过抗拉强度的光束的光束可以打破在几个内陆点。
在实践中,屋顶安装螺栓(12]。
确认
支柱在煤矿开采的问题提交给数学2011年行业研究小组(MISG)大学的金山,约翰内斯堡。作者感谢裁判他们的宝贵意见,大大改善了本文。作者感谢马修·Woolway约翰内斯堡的威特沃特斯兰德大学的协助创建图表。作者想表达感激和欣赏凡德尔莫维Nielen教授和博士哈利勒·Yilmaz矿业工程学院的威特沃特斯兰德大学提交问题。作者特别愿意承认她已经大大得益于凡德尔莫维Nielen教授举行的讨论。作者要感谢教授Colin请Southhampton大学的英格兰,他制定了煤柱回收模型和屋顶MISG崩溃。作者感谢大卫·梅森教授他的宝贵的意见,建议,和鼓励,她写这篇文章。