分数阶差分方程

文摘

差分方程是一个函数的差异之间的关系在一个或多个自变量的值。这些方程通常描述特定的进化现象随着时间的推移。摘要研究分数阶差分方程解的存在性和唯一性。

1。介绍

分数微积分了重要性在过去三十年中由于其在不同领域的科学和工程适用性。分数阶微积分的概念可以追溯到欧拉的作品,但分数差别非常最近的想法。

迪亚兹和奥斯勒1)定义的部分差异,而自然的方法允许差分指数,标准的表达式th差异,任何实际或复数。以后,大臣(2)定义了分数阶差分算子在哪里是任意的实数,使用泰勒级数。Nagai [3)采用分数阶差分算子的另一个定义通过修改副大臣的2)定义。最近,Deekshitulu和莫汉(4]的定义修改Nagai [3]这样的表达式不涉及任何差分算子。

分数阶微分方程理论的研究开始解的存在性和唯一性为不同类型的分数微分方程建立了最近[5]。大部分文学也不可以在分数积分微分的方程,虽然积分微分的理论方程(6]几乎所有发达平行理论的微分方程。很少的进展分数阶差分方程理论的发展。

本文的主要目的是建立在存在性和唯一性定理的各种类分数阶差分方程的解决方案。进一步我们定义自治和自治分数阶差分方程,找到他们的解决方案。

2。预赛

在本文中,我们使用以下符号:自然数的集合包括零。为。让。然后对所有和,,,空金额和产品被0和1,分别。如果和在,那么这个函数,向后差分算子被定义为。现在我们介绍一些有关微分算符的基本定义和结果离散分数微积分。

定义2.1。扩展的二项式系数,()被定义为

定义2.2(见[7])。对于任何一个复数和,让被定义如下:

2.3的话。对于任何一个复数和,当,和是零和负整数, 对任何正整数。

2003年,Nagai [3)给下面的分数阶差分算子的定义。

定义2.4。让和是这样的一个整数。操作符的区别的订单,步长,被定义为

上面的定义由Nagai [3)包含操作员和术语在总和指数,因此很难研究解的性质。为了避免这种情况,Deekshitulu和汉4)给下面的定义,。让这样。

定义2.5。部分和操作符被定义为 和分数阶差分算子的秩序被定义为 在本文我们假设和除非直到指定。

2.6的话。让和,这样和,是常数。然后(1) 。(2) 。(3) 。(4) 。(5) 和。

3所示。分数阶差分方程解的存在性和唯一性

在本节中,我们建立的存在性和唯一性定理的解决方案为各种类型的分数阶差分方程。

定义3.1。让是任何函数定义,。然后一个非线性差分方程连同一个初始条件的形式 差分方程的解的存在性是微不足道的解决方案涉及的值表示为递归关系未知函数在前面的参数。

现在我们考虑(2.5)和替换通过,我们有 在哪里为。上面的递归关系显示解决方案的存在(3.1)。

例3.2。如果在哪里有两个非负函数呢
最近,作者建立了下列分数阶离散Gronwall-Bellman类型不等式(8]。

定理3.3。让,,非负实值函数上定义。如果,, 然后 为。

定义3.4。让和是任何函数定义,,和。然后沃尔泰拉类型的非线性差分方程连同一个初始条件的形式 从(3.2)和(3.6),我们有 上面的递归关系显示解决方案的存在(3.6)。现在我们建立了分数阶差分方程的解的唯一性(3.1)和(3.3)。

引理3.5。为,

证明。考虑

定理3.6。让是任何函数定义,。假设满足 在哪里任何两个非负函数,是一个非负常数。然后初值问题存在唯一解(3.1)。

证明。让和是任何两个解的初值问题(3.1),这样。然后,使用(3.2)和(3.10),我们得到 在哪里任何小的数量。让。然后 使用离散分数Gronwall不等式(即。,定理3.3),我们得到 利用引理3.5,我们得到 自是任意的,不平等(3.14)意味着倾向于零。因此。

定理3.7。考虑非线性沃尔泰拉类型的分数差分方程(3.6)。假设和满足 在哪里任何两个非负函数吗是一个非负常数。然后存在唯一解为初值问题(3.6)。

证明。让和是任何两个解的初值问题(3.6),这样。然后,使用(3.2),我们得到 在哪里任何小的数量。让。然后 使用离散分数Gronwall不等式(即。,定理3.3),我们得到 利用引理3.5我们有 自是任意的,不平等(3.19)意味着倾向于零。因此。

4所示。分数阶差分方程的解决方案

在本节中,我们定义自治和自治分数阶差分方程,找到他们的解决方案。

定义4.1。让是任何实值函数上定义。然后一个自治差分方程连同一个初始条件的形式 如果函数在(4.1取而代之的是一个函数的两个变量,,那么我们就有 方程(4.2)有时滞差分方程。

现在我们考虑最简单的特殊情况(4.1)和(4.2),即线性方程。

线性自治差分方程的秩序下面的一般形式: 在哪里和是已知的常数。

线性齐次时滞差分方程的一般形式是由 和相关的非齐次方程给出 在哪里和是实值函数定义。

现在,我们找到的解决方案(4.3),(4.4)和(4.5)。

解决方案(4.4)
使用(3.2)和(4.4),我们得到 意味着

解决方案(4.5)
使用(3.2)和(4.5),我们得到 意味着

解决方案(4.3)
使用(4.9),我们得到

例4.2。找到解决方案

解决方案。使用(4.10)的解决方案(4.11)是

例4.3。找到解决方案

解决方案。使用(4.9)的解决方案(4.13)是

例4.4。找到解决方案

解决方案。使用(4.7)的解决方案(4.15)是
评估分数差异的各种函数数值相当繁琐。现在我们找到以下的数值解决分数阶差分方程和一个初始条件 使用一个简单的程序在MATLAB为不同的值。

不同的值的数值解和列表在表1。的图形表示为不同值的数值解和如图1。