文摘gydF4y2Ba

数值方法特殊Cosserat棒Antman Antman的描述的基础上,2005年是为超弹性的材料和开发潜在的力量。该方法保留了底层PDE系统的相关属性,即董事的正规化和能量守恒。gydF4y2Ba

1。介绍gydF4y2Ba

弹性棒被认为是在许多领域的科学和技术;见,例如,(gydF4y2Ba1gydF4y2Ba- - - - - -gydF4y2Ba3gydF4y2Ba]。模拟的动态,正确的描述局部和全局物理性质和合理的计算时间是基本要求。gydF4y2Ba

在过去的几年中许多不同的方法的数值模拟弹性棒已经开发;见,例如,(gydF4y2Ba4gydF4y2Ba- - - - - -gydF4y2Ba9gydF4y2Ba]因为不同的方法包括有限元方法,有限差分方法和离散力学。gydF4y2Ba

在这篇文章中,我们使用的描述杆作为一种特殊的一维Cosserat连续在Antman配方后(gydF4y2Ba10gydF4y2Ba]。这是一个基于偏微分方程的几何纠正一维描述。这种类型的建模实现上述需求对简单性和正确性。基尔霍夫方程的数值方案为特殊情况已经由派(gydF4y2Ba1gydF4y2Ba)(固定)和韦伯et al。(gydF4y2Ba3gydF4y2Ba)(instationary)。节能和董事的正规化并不严格满足这些计划。节能方案结构力学问题和进一步开发方程的不变性,调查,和应用,例如,在gydF4y2Ba11gydF4y2Ba- - - - - -gydF4y2Ba13gydF4y2Ba]。gydF4y2Ba

我们制定的运动学和动力学方程在所谓的director-basis Cosserat杆理论。杆的曲线gydF4y2Ba和外部潜在力量gydF4y2Ba是唯一的字段描述外部笛卡尔基础。由于技术原因,我们使用的表示旋转group by unit-quaternions。我们注意到第一个geometrically-exact杆模型中使用四元数是(gydF4y2Ba14gydF4y2Ba],参见[gydF4y2Ba15gydF4y2Ba]。节gydF4y2Ba2gydF4y2Ba我们报告的概述模型导致以下系统:gydF4y2Ba 在这里,gydF4y2Ba是时间和gydF4y2Ba参数确定材料的横截面杆。的unit-quaternionsgydF4y2Ba和相关的正交矩阵gydF4y2Ba描述了固定的外部基础和director-basis之间的转换。这个向量场gydF4y2Ba,gydF4y2Ba,gydF4y2Ba,gydF4y2Ba曲线的切线,广义曲率,速度,和角速度。此外,gydF4y2Ba杆的线密度和正定矩阵gydF4y2Ba被定义为其横截面的转动惯量。摘要接触力gydF4y2Ba和联系人夫妇gydF4y2Ba指定的超弹性的材料。节gydF4y2Ba3gydF4y2Ba我们介绍的运动能量作为一个常数的概念。节gydF4y2Ba4gydF4y2Ba我们开发一个简单的有限差分格式对上述方程和适当的边界条件。该计划节约能源和董事的正规化。节gydF4y2Ba5gydF4y2Ba方法调查了几个例子使用得票率最高的实体法。gydF4y2Ba

2。模型gydF4y2Ba

后Antman [gydF4y2Ba10gydF4y2Ba),一个特别Cosserat杆三维欧式空间gydF4y2Ba是由三个向量值函数几何特征gydF4y2Ba。的参数gydF4y2Ba标识一个材料截面(质点)的杆,gydF4y2Ba描述这个截面的位置gydF4y2Ba。曲线的衍生品gydF4y2Ba关于gydF4y2Ba和gydF4y2Ba,gydF4y2Ba 是速度和切。正交董事gydF4y2Ba描述的方向横截面。定义gydF4y2Ba,我们得到一个当地的标准正交基材料点。由于董事存在向量值函数的正规化gydF4y2Ba和gydF4y2Ba这样gydF4y2Ba 为gydF4y2Ba。我们称之为gydF4y2Ba角速度和gydF4y2Ba广义的曲率。向量的定义字段gydF4y2Ba,gydF4y2Ba,gydF4y2Ba,gydF4y2Ba暗示的兼容性条件:gydF4y2Ba 完整的运动学方程的特殊Cosserat杆理论在一个不变的符号。gydF4y2Ba

重写这些运动学方程在一个合适的基础,我们分解一个任意的向量场gydF4y2Ba我们的director-basis杆理论gydF4y2Ba在一个固定的外部笛卡尔基础gydF4y2Ba,也就是说,gydF4y2Ba。相应的组件的三倍,gydF4y2Ba 严格区分向量场gydF4y2Ba。组件的衍生品对三元组gydF4y2Ba和gydF4y2Ba在director-basisgydF4y2Ba director-basis和外部基础之间的转换是由一个正交矩阵gydF4y2Ba与组件gydF4y2Ba。我们使用的表示gydF4y2Ba在unit-quaternionsgydF4y2Bacf。gydF4y2Ba16gydF4y2Ba),gydF4y2Ba 在这里,矩阵的正规化gydF4y2Ba保证了gydF4y2Ba。对于一个任意gydF4y2Ba与gydF4y2Ba我们获得gydF4y2Ba。董事的运动学方程,我们制定一个等价方程四元数,cf。gydF4y2Ba16gydF4y2Ba),gydF4y2Ba 初始化(gydF4y2Ba2.7gydF4y2Ba)与unit-quaternions斜对称的gydF4y2Ba保证保护规范的四元数,也就是说,正规化gydF4y2Ba因此director-basis的正规化。使用了形式主义我们获得最终版本的杆的运动方程:gydF4y2Ba

动量和角动量的平衡法律产生的动态方程Cosserat杆理论,cf。gydF4y2Ba10gydF4y2Ba),gydF4y2Ba 在这里,gydF4y2Ba是线密度和gydF4y2Ba是惯性的时刻。这些量是时间无关的,因为它们是在参考配置定义为拉格朗日量。我们假设它们是常数有关gydF4y2Ba,太。线密度的身体力量gydF4y2Ba必须是指定的应用程序。我们假设gydF4y2Ba对相应的身体密度。的接触力gydF4y2Ba和联系两gydF4y2Ba定义了材料的法律。通常情况下,这样做是在director-basis客观的原因。因此,我们也分解director-basis动力学方程:gydF4y2Ba 正定矩阵gydF4y2Ba是由惯性的时刻:gydF4y2Ba 身体的力量,例如,重力,显然是在外部定义的基础上。因此,(gydF4y2Ba2.10gydF4y2Ba)四元数的耦合运动方程。gydF4y2Ba

2.1的话。gydF4y2Ba特殊Cosserat杆理论描述了角动量的线性函数角速度。的选择表示的向量场director-basis导致时间独立的矩阵gydF4y2Ba描述线性相关。除了适当的配方材料的法律,这一次独立的主要优势之一director-basis的选择。gydF4y2Ba

在本文中,我们限制自己超弹性的材料。这意味着存在一个潜在的gydF4y2Ba,这样gydF4y2Ba 此外,我们假设只有潜在的力量作用于杆。因此存在一个函数gydF4y2Ba,这样gydF4y2Ba

2.2的话。gydF4y2Ba弹性材料是材料的更一般的类gydF4y2Ba和gydF4y2Ba是所谓的应变的函数变量gydF4y2Ba和gydF4y2Ba。这些功能也可以显式依赖gydF4y2Ba。gydF4y2Ba

运动学方程(gydF4y2Ba2.8gydF4y2Ba)和动态方程(gydF4y2Ba2.10gydF4y2Ba)一起限制超弹性的材料和潜在力量构成我们的杆理论,参见(gydF4y2Ba1.1gydF4y2Ba)。我们考虑系统(gydF4y2Ba1.1gydF4y2Ba)与两种类型的边界条件定义一个固定的或免费的结束。为简单起见,我们限制我们描述一个固定端gydF4y2Ba 和一个自由端gydF4y2Ba

表示的能量节约部分的数值算法gydF4y2Ba4gydF4y2Ba处理上述的一般类棒。数值例子的部分gydF4y2Ba5gydF4y2Ba我们指定杆的几何、材料超弹性的法律,和潜在力量。我们考虑一个均匀圆柱直径gydF4y2Ba,横截面面积gydF4y2Ba和惯性矩gydF4y2Ba。在这种情况下,惯性矩阵gydF4y2Ba 我们使用得票率最高的实体法gydF4y2Ba17gydF4y2Ba为泊松数量gydF4y2Ba:gydF4y2Ba 在哪里gydF4y2Ba是杨氏模量。此外,我们限制引力,也就是说,gydF4y2Ba 在哪里gydF4y2Ba引力常数和吗gydF4y2Ba重力的方向在外部笛卡尔基础。gydF4y2Ba

2.3的话。gydF4y2Ba对于超弹性的材料(gydF4y2Ba1.1gydF4y2Ba)是一个非齐次双曲系统。得票率最高的特殊情况一个均匀的圆柱体双曲与特征值是线性的一部分gydF4y2Ba(7倍),gydF4y2Ba(三倍),gydF4y2Ba(三),gydF4y2Ba是声音的速度。计算特征向量的一个可以很容易地显示固定和自由端边界条件正确处理特征变量gydF4y2Ba和gydF4y2Ba对应的特征值gydF4y2Ba。对剩余的变量我们不开特征变量,但是正确的数量的变量两岸的杆。gydF4y2Ba

3所示。运动的能量作为一个常数gydF4y2Ba

系统(gydF4y2Ba1.1gydF4y2Ba为状态向量)gydF4y2Ba可以写在守恒律的一般形式gydF4y2Ba 与通量函数gydF4y2Ba和源项gydF4y2Ba容易识别的(gydF4y2Ba1.1gydF4y2Ba)。我们介绍了能量密度:gydF4y2Ba 和对称函数:gydF4y2Ba 对于任意国家gydF4y2Ba,gydF4y2Ba。能量密度的导数对状态向量gydF4y2Ba是由gydF4y2Ba 导致的属性:gydF4y2Ba 我们结束了当地能量平衡:gydF4y2Ba 也就是说,gydF4y2Ba是能量通量,没有能量源项。介绍了固定和自由端边界条件(gydF4y2Ba2.14gydF4y2Ba),(gydF4y2Ba2.15gydF4y2Ba)我们有一个消失的能量流的边界。因此,运动的总能量是一个常数:gydF4y2Ba

4所示。离散化gydF4y2Ba

空间离散化,我们使用一个简单的有限差分格式。我们注意到类似的有限差分方案开发和他们的属性,特别是保护不变量,研究了在gydF4y2Ba8gydF4y2Ba,gydF4y2Ba12gydF4y2Ba,gydF4y2Ba18gydF4y2Ba]。gydF4y2Ba

我们离散化gydF4y2Ba与gydF4y2Ba等距网格点gydF4y2Ba并表示相应的细胞的长度gydF4y2Ba。边界点gydF4y2Ba和gydF4y2Ba。像往常一样,用数值通量gydF4y2Ba对所有gydF4y2Ba。状态向量和源项离散网格点gydF4y2Ba,也就是说,gydF4y2Ba和gydF4y2Ba。内分gydF4y2Ba空间离散化结果gydF4y2Ba 因此,数值通量函数近似的算术平均通量相邻网格点。通量计算的边界,我们必须满足狄利克雷边界条件在固定端gydF4y2Ba:gydF4y2Ba 在自由端gydF4y2Ba:gydF4y2Ba 因此,对于其余组件的有限差分格式读取固定端gydF4y2Ba:gydF4y2Ba 在自由端gydF4y2Ba:gydF4y2Ba

现在,我们拿出我们的主要点,(半)离散节能的方案。能量密度近似局部网格点gydF4y2Ba,也就是说,gydF4y2Ba。我们获得内心的点gydF4y2Ba:gydF4y2Ba 我们必须考虑的边界狄利克雷条件:gydF4y2Ba 应用梯形求积规则离散能量,gydF4y2Ba 保证它的保护:gydF4y2Ba 这意味着,讨论所选择的空间确保离散能量(gydF4y2Ba4.8gydF4y2Ba)是一个ODE-system第一积分(gydF4y2Ba4.1gydF4y2Ba)- (gydF4y2Ba4.5gydF4y2Ba)。gydF4y2Ba

时间离散化可以使用任何能源节约的方法。我们选择一个高斯方法,这也保证了保护规范的四元数。数值实现,我们利用二阶高斯方法,也就是说,中点规则,获得时间顺序和空间是一致的,至少在内心的点。离散化的空间和时间,使用某些属性的中点规则保护我们也参考上面提到的论文(gydF4y2Ba12gydF4y2Ba,gydF4y2Ba18gydF4y2Ba]。gydF4y2Ba

为解决由此产生的非线性方程组牛顿法。严格的能量守恒和正交性的主要优点是简单的有限差分格式给出。gydF4y2Ba

4.1的话。gydF4y2Ba上述计划专注于保护的能量棒和正规化的董事。的数值方法为双曲系统的方案不能妥善处理危机。它不像一般的属性TVD方案或满足熵条件。gydF4y2Ba

4.2的话。gydF4y2Ba高阶离散也是可行的。例如,我们可以考虑以下四阶数值通量函数:gydF4y2Ba 然后,时间导数离散能量密度的内部网格点gydF4y2Ba是由gydF4y2Ba 条款gydF4y2Ba,gydF4y2Ba,gydF4y2Ba,gydF4y2Ba,gydF4y2Ba,gydF4y2Ba消除网格点吗gydF4y2Ba,gydF4y2Ba,gydF4y2Ba,gydF4y2Ba,gydF4y2Ba,gydF4y2Ba,分别。忽视这个收益率的边界点的离散能量守恒。附近的离散边界点必须单独考虑。gydF4y2Ba

5。数值例子gydF4y2Ba

在本节中,我们讨论三个数值例子,限制自己得票率最高的实体法均匀圆柱作为讨论的部分gydF4y2Ba2gydF4y2Ba。介绍一个典型的长度,一个典型的时间,一个典型的质量:gydF4y2Ba 的无量纲参数模型长细比和重力号码:gydF4y2Ba 在更多的细节,我们有gydF4y2Ba,gydF4y2Ba,对于声音的速度gydF4y2Ba。无量纲形式得票率最高的实体法gydF4y2Ba 为了简化方程的配方我们定义gydF4y2Ba和gydF4y2Ba:gydF4y2Ba 然后,系统(gydF4y2Ba1.1gydF4y2Ba)读gydF4y2Ba 正如前面提到的,杆固定在一边,gydF4y2Ba ,另一边是免费的,也就是说,得票率最高的材料法:gydF4y2Ba

直棒的选择初始配置和重力的方向gydF4y2Ba可以看到图吗gydF4y2Ba1gydF4y2Ba。在下面的例子中不同初始扭转将被考虑。更准确地说,gydF4y2Ba 在哪里gydF4y2Ba是一个字段定义的扭转角。这些条件是等价的初始条件gydF4y2Ba和gydF4y2Ba。此外,由于的定义gydF4y2Ba和gydF4y2Ba我们有gydF4y2Ba 最后我们开gydF4y2Ba 即杆最初是在休息的时候。我们的初始条件是边界条件是否兼容gydF4y2Ba和gydF4y2Ba。gydF4y2Ba

在所有模拟我们选择CFL-number等于gydF4y2Ba。这意味着gydF4y2Ba至于声音的速度gydF4y2Ba无量纲的形式。gydF4y2Ba

我们的话,在所有模拟能量是严格守恒的根据上述分析。gydF4y2Ba

示例5.1(扭转振动没有重力)。gydF4y2Ba我们选择gydF4y2Ba,扭转角度的领域实现兼容性条件:gydF4y2Ba 在这个例子中,只有扭转gydF4y2Ba和角速度gydF4y2Ba,因为重力消失。同质的方程减少波动方程:gydF4y2Ba 由于所选的扭转角我们完全初始化的基本模式和频率波动方程gydF4y2Ba 我们使用这个例子作为我们的方案的收敛性质的基准比较计算频率和分析不同的网格大小,见图gydF4y2Ba2gydF4y2Ba。比较确定了模拟频率与基频的解析解gydF4y2Ba我们注意到,例如,gydF4y2Ba的相对误差是秩序gydF4y2Ba。gydF4y2Ba

示例5.2(横向振荡)。gydF4y2Ba我们选择gydF4y2Ba,gydF4y2Ba,不同gydF4y2Ba从gydF4y2Ba来gydF4y2Ba。这个例子描述了古典的横向振荡的片面的固定杆没有转折。由于杆的无应变的初始配置以及提到其他最初,重力是用来激发振动。棒的横向振荡频率可以比作消失万有引力的著名结果鉴于彼得森(例如gydF4y2Ba19gydF4y2Ba)或得票率最高(gydF4y2Ba20.gydF4y2Ba]。它读取所选的无量纲形式gydF4y2Ba 的常数gydF4y2Ba是由gydF4y2Ba。定义两个极大值之间的时间差异的潜在能量振荡周期,我们确定的频率gydF4y2Ba。图gydF4y2Ba3gydF4y2Ba显示为gydF4y2Ba预期的线性的频率gydF4y2Ba关于长细比gydF4y2Ba。确定gydF4y2Ba从最适合行,我们获得gydF4y2Ba。因此,相对误差非常small1-of订单gydF4y2Ba甚至很粗糙的离散化gydF4y2Ba。gydF4y2Ba
我们注意到解决方案是非常准确的虽然我们选择线性接触力的实体法gydF4y2Ba而不是基尔霍夫约束gydF4y2Ba正常情况下使用。gydF4y2Ba

示例5.3(三维问题包括所有压力变量)。gydF4y2Ba我们选择gydF4y2Ba,gydF4y2Ba,扭转角度的领域:gydF4y2Ba 在这种情况下,见图gydF4y2Ba4gydF4y2Ba杆最初三次扭曲和引力数量相对较高。这意味着所有压力变量杆的兴奋在进化。算法能够处理这种情况,特别是,从能量守恒的角度。结果是合理的,只要线性材料法是有效的。人们必须考虑大应变值得票率最高的物质法律不保证杆保持方向的变形。看到Antman [gydF4y2Ba10gydF4y2Ba]的精确定义保存的取向。gydF4y2Ba

6。结论gydF4y2Ba

在这篇文章中,我们使用的描述形成的超弹性的杆Antman [gydF4y2Ba10gydF4y2Ba]。由此产生的双曲系统我们开发了一种数值方法,这节省的能量棒以及董事的正规化。然而,该计划不能妥善处理危机。它既不是TVD方案也不满足熵条件。gydF4y2Ba

实体法的得票率最高(gydF4y2Ba17gydF4y2Ba我们使用一些数值例子说明该方法。对于这些例子,严格履行保护属性和非常好的协议的数字和分析结果可以观察到。最后,我们提到,对于现实的三维非线性材料使用法律问题,这可以很容易地纳入计划。gydF4y2Ba

确认gydF4y2Ba

这项工作已经由德意志Forschungsgemeinschaft (DFG), KL 1105/18-1我们2003/3-1 Rheinland-Pfalz卓越中心的数学和计算模型gydF4y2Ba。gydF4y2Ba