我们利用改进的黎卡提微分方程方法构造更一般的非线性方程的精确解。我们得到行波的解决方案涉及的参数,所表达的是双曲函数,三角函数,理性的功能。参数是作为特殊值时,该方法不仅提供了孤波解而且周期波解。这个方法似乎变得更加容易和更加方便的符号计算系统。当然,也是有效解决其他非线性演化方程在数学物理。
1。介绍
越来越多的现代数学物理的分支问题的合适的非线性模型,描述有关非线性方程组和非线性物理现象,在许多领域涉及从物理,生物,化学,力学等等。非线性波现象在非线性科学中非常重要,近年来,已在施工非线性偏微分方程的精确解。已经提出了许多强大的和有效的方法获得非线性演化方程的精确行波解,如Backlund变换方法(<一个href="#B1">1一个>,<一个href="#B2">2一个>],Exp-function方法[<一个href="#B3">3一个>,<一个href="#B4">4一个>齐次平衡方法],[<一个href="#B5">5一个>,<一个href="#B6">6一个>],tanh-function方法[<一个href="#B7">7一个>,<一个href="#B8">8一个>],雅可比椭圆函数扩张[<一个href="#B9">9一个>,<一个href="#B10">10一个>),<年代vg height="12.8625" id="M1" style="vertical-align:-0.17555pt;width:32.375px;" version="1.1" viewbox="0 0 32.375 12.8625" width="32.375" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
/
扩张的方法(<一个href="#B11">11一个>,<一个href="#B12">12一个>]。直接搜索寻找非线性方程的精确解更有趣,因为符号计算的可用性,数学或枫。这些计算系统充分利用执行一些复杂和繁琐的代数和微分计算在计算机上。通过使用这些方法和工具,一个人可以成功地获得精确解。
ZK方程支配行为的弱非线性离子声波的波在等离子体由冷离子和热等温电子在均匀磁场的存在。当离子或电子等离子体不满足波尔兹曼分布,Munro和Parkes得到修改后的ZK方程(mZK方程),他们还研究了平面二维长波周期扰动波解和孤立的行波解的稳定性<一个href="#B13">13一个>,<一个href="#B14">14一个>]。mZK方程代表了一个各向异性的二维推广KdV方程,可以得到在磁化等离子体为小振幅阿尔芬波在临界角未扰动磁场。mZK方程是有效地应用于描述各种单独的进化在等温多组分磁化等离子体波,同样的描述mZK方程的孤波的稳定性也出现在[<一个href="#B15">15一个>]。mZK方程已经吸引了许多研究者的注意,在过去的几年里。例如,从数学的角度来看,局部和全局存在的柯西问题研究[<一个href="#B16">16一个>- - - - - -<一个href="#B18">18一个>]。
的<年代vg height="12.8625" id="M2" style="vertical-align:-0.17555pt;width:32.375px;" version="1.1" viewbox="0 0 32.375 12.8625" width="32.375" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
/
扩张方法提出了最初由王等,这是最有效直接的方法来获得大量的行波解的非线性演化方程。这个有用的方法被广泛采用许多作者(<一个href="#B11">11一个>,<一个href="#B12">12一个>]。关键的想法<年代vg height="12.8625" id="M3" style="vertical-align:-0.17555pt;width:32.375px;" version="1.1" viewbox="0 0 32.375 12.8625" width="32.375" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
/
扩张方法,非线性演化方程的行波解可以通过多项式表示<年代vg height="12.8625" id="M4" style="vertical-align:-0.17555pt;width:32.375px;" version="1.1" viewbox="0 0 32.375 12.8625" width="32.375" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
/
,在那里<年代vg height="10.75" id="M5" style="vertical-align:-0.15048pt;width:11.9125px;" version="1.1" viewbox="0 0 11.9125 10.75" width="11.9125" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
满足二阶线性微分方程的程度可以由考虑齐次多项式最高阶偏导数之间的平衡和非线性项出现在非线性发展方程,多项式的系数可通过求解一组代数方程组的过程中使用该方法造成的。
本文出于渴望提出一个新的方法,命名为改善黎卡提微分方程方法,这样它就可以被成功地应用于寻找确切的mZK方程行波解。我们将obtion两组值系数对黎卡提微分方程和非线性的演化方程。相比之下,两个黎卡提微分方程方法和<年代vg height="12.8625" id="M6" style="vertical-align:-0.17555pt;width:32.375px;" version="1.1" viewbox="0 0 32.375 12.8625" width="32.375" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
/
扩张方法,在这一点上,它肯定是一个有意义的改善和创新我们获得更丰富的解决方案。改进的黎卡提微分方程方法的描述后,可以获得平稳非线性演化方程精确解。
2。改进的黎卡提微分方程方法的描述
步骤1。我>年代pan>我们考虑三个独立变量的非线性演化方程<年代vg height="11.85" id="M7" style="vertical-align:-2.29482pt;width:34.387501px;" version="1.1" viewbox="0 0 34.387501 11.85" width="34.387501" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
,
,
和因变量<年代vg height="7.1624999" id="M8" style="vertical-align:-0.11285pt;width:7.5374999px;" version="1.1" viewbox="0 0 7.5374999 7.1624999" width="7.5374999" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
:<年代pan class="equation" id="EEq1">
我们寻求他们在下列表格的行波解<年代pan class="equation" id="EEq2">
在哪里<年代vg height="10.7375" id="M11" style="vertical-align:-0.13794pt;width:8.6000004px;" version="1.1" viewbox="0 0 8.6000004 10.7375" width="8.6000004" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
,<年代vg height="7.1875" id="M12" style="vertical-align:-0.13794pt;width:7.3874998px;" version="1.1" viewbox="0 0 7.3874998 7.1875" width="7.3874998" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
,<年代vg height="10.75" id="M13" style="vertical-align:-0.15048pt;width:9.375px;" version="1.1" viewbox="0 0 9.375 10.75" width="9.375" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
任意常数。
方程(<一个href="#EEq1">2.1一个>)可以转化为一个普通的微分方程<年代pan class="equation" id="EEq3">
步骤2。我>年代pan>为了构造非线性方程的行波解,引入以下拟设是合理的<年代pan class="equation" id="EEq4">
在哪里<年代vg height="11.05" id="M16" style="vertical-align:-3.2316pt;width:12px;" version="1.1" viewbox="0 0 12 11.05" width="12" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
平衡常数是决定后,号码吗<年代vg height="7.1374998" id="M17" style="vertical-align:-0.10033pt;width:7.8874998px;" version="1.1" viewbox="0 0 7.8874998 7.1374998" width="7.8874998" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
是一个正整数,可以由平衡权力最高的最高阶导数项的非线性条件(<一个href="#EEq3">2.3一个>),<年代vg height="13.6125" id="M18" style="vertical-align:-2.34499pt;width:26.75px;" version="1.1" viewbox="0 0 26.75 13.6125" width="26.75" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
(
)
满足以下椭圆方程:<年代pan class="equation" id="EEq5">
在哪里<年代vg height="9.875" id="M20" style="vertical-align:-2.29482pt;width:34.950001px;" version="1.1" viewbox="0 0 34.950001 9.875" width="34.950001" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
,
,
是真实的参数。和<年代vg height="13.6125" id="M21" style="vertical-align:-2.34499pt;width:26.75px;" version="1.1" viewbox="0 0 26.75 13.6125" width="26.75" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
(
)
也可以扩展到以下拟设:<年代pan class="equation" id="EEq6">
和<年代vg height="13.55" id="M23" style="vertical-align:-2.29482pt;width:29.549999px;" version="1.1" viewbox="0 0 29.549999 13.55" width="29.549999" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
(
)
满足以下椭圆方程:<年代pan class="equation" id="EEq7">
在哪里<年代vg height="14.5875" id="M25" style="vertical-align:-3.2316pt;width:11.5px;" version="1.1" viewbox="0 0 11.5 14.5875" width="11.5" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
常数是决定后,<年代vg height="13.425" id="M26" style="vertical-align:-2.29482pt;width:24.612499px;" version="1.1" viewbox="0 0 24.612499 13.425" width="24.612499" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
,
是真实的参数。<年代vg height="7.1374998" id="M27" style="vertical-align:-0.10033pt;width:11.225px;" version="1.1" viewbox="0 0 11.225 7.1374998" width="11.225" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
是一个正整数,可以由平衡权力最高的最高阶导数项的非线性条件(<一个href="#EEq5">2.5一个>),所以我们可以得到<年代vg height="10.8125" id="M28" style="vertical-align:-0.10033pt;width:38.424999px;" version="1.1" viewbox="0 0 38.424999 10.8125" width="38.424999" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
=
1
。年代pan>
步骤3。我>年代pan>我们的替代品(<一个href="#EEq6">2.6一个>)和(<一个href="#EEq7">2.7一个>)(<一个href="#EEq5">2.5一个>),将所有的权力的系数<年代vg height="15.4125" id="M29" style="vertical-align:-2.21957pt;width:42.474998px;" version="1.1" viewbox="0 0 42.474998 15.4125" width="42.474998" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
(
/
)
为零,我们可以得到的解决方案<年代vg height="13.6125" id="M30" style="vertical-align:-2.34499pt;width:26.75px;" version="1.1" viewbox="0 0 26.75 13.6125" width="26.75" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
(
)
计算机符号计算。年代pan>
步骤4。我>年代pan>然后我们用(<一个href="#EEq4">2.4一个>)和(<一个href="#EEq5">2.5一个>)(<一个href="#EEq3">2.3一个>),将所有的权力的系数<年代vg height="13.6125" id="M31" style="vertical-align:-2.34499pt;width:26.75px;" version="1.1" viewbox="0 0 26.75 13.6125" width="26.75" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
(
)
为零,解决这一组代数方程与计算机符号计算,插入这些结果和解决方案<年代vg height="13.6125" id="M32" style="vertical-align:-2.34499pt;width:26.75px;" version="1.1" viewbox="0 0 26.75 13.6125" width="26.75" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
(
)
到(<一个href="#EEq4">2.4一个>)。最后,设置<年代vg height="13.425" id="M33" style="vertical-align:-2.29482pt;width:117.3px;" version="1.1" viewbox="0 0 117.3 13.425" width="117.3" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
=
+
+
,我们获得的精确行波解(<一个href="#EEq1">2.1一个>)。年代pan>
3所示。应用程序
我们考虑修改Zakharov-Kuznetsov (mZK)方程在以下形式:<年代pan class="equation" id="EEq8">
我们也做转换<年代vg height="13.425" id="M35" style="vertical-align:-2.29482pt;width:109.6px;" version="1.1" viewbox="0 0 109.6 13.425" width="109.6" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
=
+
−
,在那里<年代vg height="12.7625" id="M36" style="vertical-align:-1.76814pt;width:39.137501px;" version="1.1" viewbox="0 0 39.137501 12.7625" width="39.137501" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
,
,
是常数以后待定。然后(<一个href="#EEq8">3所示。1一个>)简化为以下:<年代pan class="equation" id="EEq9">
通过平衡的最高阶导数项和非线性项(<一个href="#EEq9">3所示。2一个>),所以我们得到<年代vg height="10.8125" id="M38" style="vertical-align:-0.10033pt;width:35.099998px;" version="1.1" viewbox="0 0 35.099998 10.8125" width="35.099998" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
=
1
。然后我们可以假设(<一个href="#EEq9">3所示。2一个>)解决方案的形式:<年代pan class="equation" id="EEq10">
用(<一个href="#EEq5">2.5一个>)和(<一个href="#EEq10">3所示。3一个>)(<一个href="#EEq9">3所示。2一个>),收集所有的相同的权力<年代vg height="16.125" id="M40" style="vertical-align:-2.34499pt;width:32.662498px;" version="1.1" viewbox="0 0 32.662498 16.125" width="32.662498" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
(
)
和设置每个多项式的系数为零,解决已经决定由Mathematica代数方程,我们可以得到以下结果。
组1。我>年代pan>
组2。我>年代pan>
同样,我们也可以得到以下结果。
案例1。我>年代pan>
例2。我>年代pan>
使用情况<一个href="#casee1">1一个>,用集<一个href="//www.newsama.com/journals/ijde/2012/596762/1" target="_blank">1一个>,<一个href="//www.newsama.com/journals/ijde/2012/596762/2" target="_blank">2一个>和的一般解决方案(<一个href="#EEq6">2.6一个>)到公式(<一个href="#EEq10">3所示。3一个>),我们有三种类型的行波解如下(<年代vg height="10.925" id="M45" style="vertical-align:-3.13504pt;width:12.7px;" version="1.1" viewbox="0 0 12.7 10.925" width="12.7" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
1
和<年代vg height="10.925" id="M46" style="vertical-align:-3.13504pt;width:12.7px;" version="1.1" viewbox="0 0 12.7 10.925" width="12.7" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
2
任意常数,<年代vg height="16.7125" id="M47" style="vertical-align:-2.29482pt;width:256.54999px;" version="1.1" viewbox="0 0 256.54999 16.7125" width="256.54999" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
=
+
+
(
1
/
2
)
(
4
−
2
)
(
2
+
2
)
)。
当<年代vg height="16.637501" id="M48" style="vertical-align:-2.29482pt;width:80.0625px;" version="1.1" viewbox="0 0 80.0625 16.637501" width="80.0625" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
2
−
4
>
0
,我们获得的双曲函数解(<一个href="#EEq8">3所示。1一个>)<年代pan class="equation" id="eq15">
如果<年代vg height="19.0375" id="M50" style="vertical-align:-4.22832pt;width:89.050003px;" version="1.1" viewbox="0 0 89.050003 19.0375" width="89.050003" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
1
≠
0
,
2
1
>
2
2
,然后<年代vg height="13.55" id="M51" style="vertical-align:-2.29482pt;width:25.487499px;" version="1.1" viewbox="0 0 25.487499 13.55" width="25.487499" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
(
)
成为(孤波解的<一个href="#EEq8">3所示。1一个>)如下:<年代pan class="equation" id="eq16">
在哪里<年代vg height="18.15" id="M53" style="vertical-align:-3.25793pt;width:115.3875px;" version="1.1" viewbox="0 0 115.3875 18.15" width="115.3875" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
0
=
t
一个
n
h
−
1
(
2
/
1
)
。
如果<年代vg height="19.0375" id="M54" style="vertical-align:-4.22832pt;width:89.050003px;" version="1.1" viewbox="0 0 89.050003 19.0375" width="89.050003" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
2
≠
0
,
2
2
>
2
1
,然后<年代vg height="13.55" id="M55" style="vertical-align:-2.29482pt;width:25.487499px;" version="1.1" viewbox="0 0 25.487499 13.55" width="25.487499" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
(
)
成为(孤波解的<一个href="#EEq8">3所示。1一个>)如下:<年代pan class="equation" id="eq17">
在哪里<年代vg height="18.15" id="M57" style="vertical-align:-3.25793pt;width:115.3875px;" version="1.1" viewbox="0 0 115.3875 18.15" width="115.3875" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
0
=
t
一个
n
h
−
1
(
1
/
2
)
。
当<年代vg height="16.637501" id="M58" style="vertical-align:-2.29482pt;width:80.0625px;" version="1.1" viewbox="0 0 80.0625 16.637501" width="80.0625" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
2
−
4
=
0
,我们得到的有理函数解(<一个href="#EEq8">3所示。1一个>)<年代pan class="equation" id="eq18">
当<年代vg height="16.637501" id="M60" style="vertical-align:-2.29482pt;width:80.0625px;" version="1.1" viewbox="0 0 80.0625 16.637501" width="80.0625" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
2
−
4
<
0
,我们获得的三角函数的解决方案(<一个href="#EEq8">3所示。1一个>)<年代pan class="equation" id="eq19">
如果<年代vg height="19.0375" id="M62" style="vertical-align:-4.22832pt;width:89.050003px;" version="1.1" viewbox="0 0 89.050003 19.0375" width="89.050003" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
1
≠
0
,
2
1
>
2
2
,然后<年代vg height="13.55" id="M63" style="vertical-align:-2.29482pt;width:25.487499px;" version="1.1" viewbox="0 0 25.487499 13.55" width="25.487499" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
(
)
成为的周期波解(<一个href="#EEq8">3所示。1一个>)如下:<年代pan class="equation" id="eq20">
在哪里<年代vg height="17.8375" id="M65" style="vertical-align:-3.25793pt;width:110.3375px;" version="1.1" viewbox="0 0 110.3375 17.8375" width="110.3375" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
0
=
t
一个
n
−
1
(
2
/
1
)
。
如果<年代vg height="19.0375" id="M66" style="vertical-align:-4.22832pt;width:89.050003px;" version="1.1" viewbox="0 0 89.050003 19.0375" width="89.050003" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
2
≠
0
,
2
2
>
2
1
,然后<年代vg height="13.55" id="M67" style="vertical-align:-2.29482pt;width:25.487499px;" version="1.1" viewbox="0 0 25.487499 13.55" width="25.487499" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
(
)
成为的周期波解(<一个href="#EEq8">3所示。1一个>)如下:<年代pan class="equation" id="eq21">
在哪里<年代vg height="17.8375" id="M69" style="vertical-align:-3.25793pt;width:105.125px;" version="1.1" viewbox="0 0 105.125 17.8375" width="105.125" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
0
=
t
一个
n
−
1
(
1
/
2
)
。
使用情况<一个href="#casee2">2一个>,用集<一个href="//www.newsama.com/journals/ijde/2012/596762/1" target="_blank">1一个>,<一个href="//www.newsama.com/journals/ijde/2012/596762/2" target="_blank">2一个>和的一般解决方案(<一个href="#EEq6">2.6一个>)制定(<一个href="#EEq10">3所示。3一个>),我们有三种类型的行波解如下(<年代vg height="10.925" id="M70" style="vertical-align:-3.13504pt;width:12.7px;" version="1.1" viewbox="0 0 12.7 10.925" width="12.7" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
1
和<年代vg height="10.925" id="M71" style="vertical-align:-3.13504pt;width:12.7px;" version="1.1" viewbox="0 0 12.7 10.925" width="12.7" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
2
任意常数,<年代vg height="16.7125" id="M72" style="vertical-align:-2.29482pt;width:256.54999px;" version="1.1" viewbox="0 0 256.54999 16.7125" width="256.54999" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
=
+
+
(
1
/
2
)
(
4
−
2
)
(
2
+
2
)
)。
当<年代vg height="16.637501" id="M73" style="vertical-align:-2.29482pt;width:80.0625px;" version="1.1" viewbox="0 0 80.0625 16.637501" width="80.0625" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
2
−
4
>
0
,我们获得的双曲函数解(<一个href="#EEq8">3所示。1一个>)<年代pan class="equation" id="eq22">
如果<年代vg height="17.674999" id="M75" style="vertical-align:-3.13504pt;width:99.675003px;" version="1.1" viewbox="0 0 99.675003 17.674999" width="99.675003" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
1
≠
0
,
1
2
>
2
2
,然后<年代vg height="13.55" id="M76" style="vertical-align:-2.29482pt;width:25.487499px;" version="1.1" viewbox="0 0 25.487499 13.55" width="25.487499" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
(
)
成为(孤波解的<一个href="#EEq8">3所示。1一个>)如下:<年代pan class="equation" id="eq23">
在哪里<年代vg height="18.15" id="M78" style="vertical-align:-3.25793pt;width:115.3875px;" version="1.1" viewbox="0 0 115.3875 18.15" width="115.3875" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
0
=
t
一个
n
h
−
1
(
2
/
1
)
。
如果<年代vg height="19.0375" id="M79" style="vertical-align:-4.22832pt;width:89.050003px;" version="1.1" viewbox="0 0 89.050003 19.0375" width="89.050003" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
2
≠
0
,
2
2
>
2
1
,然后<年代vg height="13.55" id="M80" style="vertical-align:-2.29482pt;width:25.487499px;" version="1.1" viewbox="0 0 25.487499 13.55" width="25.487499" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
(
)
成为(孤波解的<一个href="#EEq8">3所示。1一个>)如下:<年代pan class="equation" id="eq24">
在哪里<年代vg height="18.15" id="M82" style="vertical-align:-3.25793pt;width:115.3875px;" version="1.1" viewbox="0 0 115.3875 18.15" width="115.3875" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
0
=
t
一个
n
h
−
1
(
1
/
2
)
。
当<年代vg height="16.637501" id="M83" style="vertical-align:-2.29482pt;width:80.0625px;" version="1.1" viewbox="0 0 80.0625 16.637501" width="80.0625" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
2
−
4
=
0
,我们得到的有理函数解(<一个href="#EEq8">3所示。1一个>)<年代pan class="equation" id="eq25">
当<年代vg height="16.637501" id="M85" style="vertical-align:-2.29482pt;width:80.0625px;" version="1.1" viewbox="0 0 80.0625 16.637501" width="80.0625" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
2
−
4
<
0
,我们获得的三角函数的解决方案(<一个href="#EEq8">3所示。1一个>)<年代pan class="equation" id="eq27">
如果<年代vg height="19.0375" id="M87" style="vertical-align:-4.22832pt;width:89.050003px;" version="1.1" viewbox="0 0 89.050003 19.0375" width="89.050003" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
1
≠
0
,
2
1
>
2
2
,然后<年代vg height="13.55" id="M88" style="vertical-align:-2.29482pt;width:25.487499px;" version="1.1" viewbox="0 0 25.487499 13.55" width="25.487499" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
(
)
成为的周期波解(<一个href="#EEq8">3所示。1一个>)如下:<年代pan class="equation" id="eq28">
在哪里<年代vg height="17.8375" id="M90" style="vertical-align:-3.25793pt;width:105.125px;" version="1.1" viewbox="0 0 105.125 17.8375" width="105.125" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
0
=
t
一个
n
−
1
(
2
/
1
)
。
如果<年代vg height="19.0375" id="M91" style="vertical-align:-4.22832pt;width:89.050003px;" version="1.1" viewbox="0 0 89.050003 19.0375" width="89.050003" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
2
≠
0
,
2
2
>
2
1
,然后<年代vg height="13.55" id="M92" style="vertical-align:-2.29482pt;width:25.487499px;" version="1.1" viewbox="0 0 25.487499 13.55" width="25.487499" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
(
)
成为的周期波解(<一个href="#EEq8">3所示。1一个>)如下:<年代pan class="equation" id="eq29">
在哪里<年代vg height="17.8375" id="M94" style="vertical-align:-3.25793pt;width:105.125px;" version="1.1" viewbox="0 0 105.125 17.8375" width="105.125" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
0
=
t
一个
n
−
1
(
1
/
2
)
。
4所示。结论
总之,提出了改进的黎卡提微分方程方法和用于发现非线性方程的精确解的帮助下Mathmatica软件。我们的方法允许我们进行非线性波方程的解过程更加系统和方便计算机代数系统,如枫和数学。我们已经成功地获得了一些mZK方程的行波解。参数是作为特殊值时,孤波解和周期波解。我们当然相信,这些解决方案将分析中的非线性现象产生的重要应用物理科学。这项工作表明,改进的黎卡提微分方程方法是充分的,有效的,适合求解其它非线性演化方程,它值得进一步应用和研究。
承认
在工作在这个项目中,作者收到很多宝贵的建议和帮助的同事和朋友。特别是,作者要感谢嘉华汉和建成配合他。