文摘
我们证明一个横向全纯生叶,横向纤维形成的纤维,是一种塞弗特纤维化如果紧凑的离开并不是一个零测量子集。同样,我们证明了有限生成子组的全纯映射连接复廖是有限的,周期性的轨道并不是一个零测量子集。
1。介绍
绿叶的横向纤维化是第一个和最简单的可构成的叶理的例子,伴随着一个众所周知的横向结构。这些绿叶的悬浮液的解析和他们的行为密切相关的行动组的纤维。由于这些原因,许多结果拿着生叶在更一般的情况下首先建立了停赛,也就是说,绿叶的横向纤维形成。在本文中,我们追求这个想法,但不限于。我们研究的经典版本的稳定性定理啤酒(1,2),关于叶理的行为在一个附近的一个紧凑的叶子,取代的完整群叶的有限性的存在足够数量的紧凑的叶子。这样做是为了横向全纯生叶(或横向分析)。
让(本地微不足道)纤维化总空间、纤维、基础,投影。一个生叶在是横向 如果:(1),叶的与横向纤维吗,;(2);(3)每片叶子的,限制是一个覆盖地图。一个定理Ehresmann ([1]Chpter V) [2)保证,如果纤维紧凑,然后一起条件(1)和(2)已经暗示(3)。这种绿叶的悬浊液,具有共轭吗全球完整([1),定理3,103页,2),定理6.1,59页)。
的余维数一个案例研究3]。在[4),我们学习的环境双曲复廖廖。在[5),作者证明自然版的啤酒的稳定性定理(横向全纯)叶理横向纤维形成。一个生叶在被称为塞弗特纤维化如果所有的树叶都是紧凑的和有限的完整组织。
下面的稳定性定理证明(5]。
定理1.1。让是一个全纯叶理横向纤维形成与纤维。如果有一个紧凑的叶与有限的完整群呢塞弗特纤维化。
它也观察到5],微不足道的存在完整紧凑的叶子是保证如果的余维数有一个紧凑的叶子,基地满足。
自生叶横到纤维化是暂停的一组共轭映射的纤维,我们可以依靠全球叶理的完整。一般,同样适用于光滑的绿叶,如果全球完整群是有限的叶理是塞弗特纤维化。定理的证明1.1依赖于当地的啤酒的稳定性定理1,2),下面的评论来自伯恩赛德的经典定理和舒尔在有限指数组和周期性的线性组5]:让 是一个有限生成子群的全纯映射连接复杂的歧管 。如果每个元素 有限的秩序,那么公共不动点的子组是有限的。
我们回想一下,一个子集可微的管汇了零程度上 如果承认一个开放的封面由协调图表这样测量对标准的勒贝格测度为零。为了简单起见,如果并不是一个零测量子集,那么我们会这样说积极措施,写什么。这可能导致不混乱,因为事实上,我们注意到,如果作为可数联盟写道的子集然后措施为零当且仅当措施为零为所有 。的符号,我们因此当且仅当为一些 。
在本文中,我们改进定理1.1上面证明以下定理。
定理1.2。让是一个横向全纯叶理横向纤维形成与纤维一个连接复杂的歧管。表示由工会的紧凑的叶子。假设一个有。然后塞弗特纤维化有有限的全球完整。
平行于这个结果我们有以下版本组。
定理1.3。让是一个有限生成子群的全纯映射复杂的连接管汇。表示由点的子集这样轨道的是周期性的。假设。然后是一个有限群。
如上立即推论的结果,我们得到,有限生成子群连接的一个复杂的多方面的如果轨道的体积给一些正则体积测量的可积函数那么所有的轨道是阶段性和是有限的。这是相关的结果(6]。
2。完整和全球完整
让是一个余维数横向全纯叶理横向纤维形成与纤维、基础,总空间。我们总是认为,,集合管相连。管汇的是一个复杂的多方面的。
2.1。完整
对于一个给定的点,把和表示的纤维在,这是一个复杂的双全纯的。给定的一个点,我们表示的完整群的叶子通过得到提升的叶子,本地的、封闭的路径基于横向,(见[1)建设的完整)。让我们表示的的组细菌在全纯映射的修复。该集团然后确定集团细菌的来源复杂的解析,。
这完整群正式定义为共轭性微分同胚映射下的等价类细菌接合。让我们表示的由当地代表,其代表的完整计算对当地引起的横截面在点。该集团因此是一个群的吗识别的子群。
2.2。全球完整
众所周知,基本组作用于群全纯映射的歧管我们所说的全球完整表示。这个由一群同态通过解除封闭的路径的叶子通过覆盖地图,在那里是一片叶子。这个表示的形象全球完整 的,它的建筑显示共轭暂停其全球完整([1),定理3,103页)。给定一个基点,我们将表示的全球完整的表示在。
命题2.1。让是绿叶横向的纤维化与纤维。修复一个点,和表示叶子包含。(1)完整组的全球完整的群吗的那些元素作为一个固定的点。(2)给另一个交点,有一个全球完整的地图这样。(3)假设全球完整是有限的。如果有一个紧凑的叶子然后塞弗特纤维形成,也就是说,所有的树叶都与有限的完整群紧凑。(4)如果有一个紧凑的叶子然后每一个点在全球完整周期轨道。特别是,有和这样对于每一个。
3所示。定期组织和团体的有限的指数
首先我们回忆起一些事实与理论的线性组。让是一组与身份。该集团是周期如果每个元素有有限的秩序。定期组织是定期有界指数如果有一个统一的上界为订单的元素。这相当于的存在与对所有(cf。5])。由于这个原因,一个是周期指数有界也称为一群有限的指数。鉴于与身份戒指,我们说一群是- - - - - -线性如果是同构的子群矩阵组(属于可逆矩阵的系数)对于一些。我们将考虑复杂的线性组。以下经典结果是由于伯恩赛德和舒尔。
定理3.1。对复杂的线性组织一个具有以下。(1)伯恩赛德,7一个复杂线性群(不一定是有限生成)有限的指数有限的秩序;实际上我们有。(2)舒尔,(8每一有限生成周期子群是有限的。
利用这些结果,我们得到在5]。
引理3.2(见前题2.3,3.2,和3.3 (5])。定期组织的细菌的复杂映射人以下。(1)一个有限生成周期子群必然是有限的。(2)(不一定是有限生成)子组有限的指数必然是有限的。(3)让是一个有限生成子群。假设有一个不变的社区连接的起源这样,每一个点为每个元素周期吗。然后是一个有限群。(4)让是一个(不一定是有限生成)子群,这样每一个点pseudoorbit接近原点的是有限的(一致有界)≤订单吗对于一些,然后是有限的。
给定一个群和一个点的稳定剂的在是一群的元素这样。从上面的人以下。
命题3.3。让(不一定是有限生成)子群的全纯映射一个连接复杂的多方面的。(1)如果定期和有限生成或吗是有限的周期指数,那么每个稳定子群的是有限的。(2)假设有一个点是固定的和社区的基本系统的在这样,每个不变的是的轨道,在是周期性的(不一定是一致有界的订单)。然后是一个有限群。(3)假设有一个周期性的轨道这样,每,有一个社区的基本系统的的财产的作用下是不变的吗,如果,每个轨道是周期性的。然后是周期性的。
证明。为了证明(1),我们考虑的情况有一个固定的点。我们确定组的细菌,的地图,子群在哪里。如果是有限生成和周期性的,该集团是有限生成和周期。由引理3所示。2(1)是有限的,由单位组织原则同样也是有限的。如果是有限的周期指数组是周期性的有限的指数。由引理3所示。2(2)组是有限的,由单位组织原则同样也是有限的。这证明了(1)。
(2),是不变,每个元素诱发的限制一个元素的一组。这是观察到在5(证明引理3.5),轨道的有限性意味着是周期性的。身份的原则,也是周期相同的顺序。自从(1),(2)。(3)证明(2)的第一部分。
以下简单备注出有限的有限性指数组的全纯映射一个周期轨道。
命题3.4(有限性引理)。让是一个群的全纯映射连接复杂的歧管。假设(1) 是有限的周期指数还是是有限生成和周期性,(2) 有一个有限的轨道。然后是有限的。
证明。修复一个点与有限的轨道,我们可以写与如果。给出任何微分同胚映射,我们有这存在一个独特的元素对称群的,尽管。因此,我们可以定义一个地图 现在,如果是这样的,,然后,尽管因此修复的点。特别是,属于稳定剂。由命题3所示。3(1)和(2)(根据是否有限生成),该集团是有限的。因此,地图是一种有限的地图。自是一个有限群,这意味着是有限的。
4所示。测量和有限性
引理4.1。让的子群连接复杂的多方面的复杂映射。表示由点的集合这样的轨道是周期性的。如果然后是一个周期组有限的指数。
证明。我们有,因此有一些这样 特别是,任何微分同胚映射我们有 特别是,有这样一组有积极的措施。自是一种分析子集,这意味着(一个适当的分析部分连接复杂的多方面的测量为零)。因此,我们有在。这表明是周期性的有限的指数。
定理的证明1.2。修复一个基点。由命题2.1简洁的叶子对应全球完整的周期轨道。因此,通过假设全球完整满足引理的假说4.1。这个引理,全球指数完整周期是有限的。因为这个群体有周期轨道,有限性引理(命题3所示。4)全球完整群是有限的。由命题2.1(3)、叶理是塞弗特纤维化。
定理的证明1.3。自是有限生成的,有一个紧凑的连接管汇和一个表示这样的图像。管汇的不一定是一个复杂的多方面的,但这没有区别在我们论证只基于叶理是横向全纯的事实。表示由暂停叶理的纤维束与纤维拥有全球完整共轭。周期性的轨道在在一个自然的方式对应的叶子有限的顺序对纤维化,也就是说,树叶纤维的相交只有在有限数量的点。因此,因为基础是紧凑的,每一个这样的叶(对应于一个有限的轨道)是紧凑的。假设,我们。由定理1.2全球完整是有限的。因此,组是有限的。