数值积分的一类奇摄动小时滞微分方程转变

文摘

我们提出了一种数值积分方法解决一类奇摄动小时滞微分方程转变。首先,我们已经取代了二阶奇摄动时滞微分方程的渐近等价的一阶时滞微分方程。然后,辛普森法则和线性插值是用来获得连任三届的递归关系,解决了容易被离散不变嵌入算法。演示的方法是通过实现它在多个线性和非线性模型通过各种例子延迟参数的值和摄动参数。

1。介绍

奇摄动延迟微分方程建模的小变化频繁出现各种物理和生物现象,例如,微尺度传热(1),液态氦的流体动力学2),第二个理论(3,热弹性力学4),扩散在聚合物5),反应扩散方程(6)、稳定性(7),控制混沌系统的8),各种生理过程和疾病的模型(9)等等。因此在最近的时代,许多研究人员一直试图制定解决这些问题的数值方法。Amiraliyev和试件10]介绍了数值方法包括一个安装在均匀网格差分格式求解二阶时滞微分方程。兰格和三浦11,12]给出了渐近方法一类线性二阶差分方程边值问题。Kadalbajoo,沙玛13- - - - - -15]介绍了数值方法解决奇摄动差分方程,它包含在约定期内(即负面转变。在导数项)。兰格和三浦16)被认为是边值问题的奇摄动非线性微分差分方程转变和讨论他们的解决方案的存在性和唯一性。此外,Kadalbajoo,沙玛17]讨论了奇摄动非线性微分方程的数值解与小消极变化。

在本文中,我们提出了一种数值积分方法求解一类奇摄动小时滞微分方程转变。首先,取而代之的是一个二阶奇摄动延迟微分方程渐近等价的一阶时滞微分方程。然后我们使用辛普森法则和线性插值得到连任三届的递归关系,解决了容易被离散不变嵌入算法。演示的方法是通过实现它在多个线性和非线性模型例子通过各种延迟和扰动参数的值。

2。描述的方法

考虑一类奇摄动边值问题的形式: 间隔和边界条件

在哪里小参数,,也是一个小改变参数,;,有界连续函数在吗,是有限的常数。此外,我们假设在整个时间间隔,在那里是正的常数。这种假设仅仅意味着将在附近的边界层。

利用泰勒级数展开的社区,我们有因此,(2.1)被下面的一阶微分方程: 在哪里

从(2.1)(2.4)是承认的,因为条件很小,。这个替代从计算的观点具有重要意义。更多细节可以发现这种转变的有效性(18]。

现在我们把时间间隔成相同的小区间的网格尺寸这,。

积分(2.4)对从来为,我们得到在哪里,,,,。

通过使用辛普森法则评估积分(2.6),我们得到通过泰勒级数展开的方法,然后通过近似通过线性插值,我们得到的在同样的方式,

因此,利用(2.8)- (2.8 e)(2.7我们获得使(2.9)三任递归关系,我们无法用语言来表达而言,,和利用埃尔米特插值如下: 鉴于(2.4)和(2.10),我们得到利用(2.8)- (2.8 e)(2.11)和有限差分近似,得到最后,利用(2.12)(2.9)和重新排列,连任三届的递归关系,我们得到的为,在那里这个三对角系统解决了使用方法的离散不变嵌入算法,在下一节中描述。

3所示。离散不变嵌入算法

我们现在描述托马斯算法也被称为离散不变嵌入(19解决这位连任三届的递推关系: 让我们制定一个不同形式的关系在哪里和要确定。

从(3所示。2),我们有用(3所示。3)(3所示。1),我们有通过比较(3所示。2)和(3所示。4),我们得到递推关系解决这些递推关系,我们需要的初始条件和。如果我们选择,然后我们得到。有了这些初始值,我们计算和为从(3所示。5)和(3所示。6)在前进过程中,然后获得在中落后的过程(3所示。2)。

离散的条件不变嵌入算法是稳定的(见[18- - - - - -21]) 在我们的方法中,我们可以很容易地显示如果假设,和持有,那么上述条件(3所示。7),因此离散不变嵌入算法是稳定的。

4所示。数值实验

为了演示方法的适用性,我们实现了在两个线性和两层左端边界非线性问题。计算结果与精确解任何确切的解决方案是可用的。当精确解不可用,我们已经测试了小延迟参数的影响解决问题的不同的值的。

4.1。线性问题

例4.1。考虑一个例子的奇摄动与左层延迟微分方程: 给出确切的解决方案在哪里和。
表中给出的计算结果1,2,3,4为和0.0001为不同的值。


	数值解	精确解	绝对误差

0.00	1.0000000	1.0000000	0.000E+ 00
0.01	0.3724909	0.3719167	5.743E−04
0.02	0.3753635	0.3756417	2.781E−04
0.03	0.3791343	0.3794135	2.792E−04
0.04	0.3829441	0.3832233	2.791E−04
0.06	0.3906790	0.3909578	2.788E−04
0.08	0.3985702	0.3988485	2.784E−04
0.20	0.4493791	0.4496520	2.730E−04
0.50	0.6065730	0.6068032	2.302E−04
0.60	0.6703575	0.6705610	2.035E−04
0.90	0.9048500	0.9049187	6.870E−05
1.00	1.0000000	1.0000000	0.000E+ 00


	数值解	精确解	绝对误差

0.00	1.0000000	1.0000000	0.000E+ 00
0.02	0.3785059	0.3753847	3.121E−03
0.03	0.3786281	0.3791566	5.284E−04
0.04	0.3827057	0.3829664	2.607E−04
0.05	0.3865343	0.3868145	2.802E−04
0.06	0.3904227	0.3907013	2.786E−04
0.08	0.3983141	0.3985924	2.782E−04
0.20	0.4491281	0.4494008	2.728E−04
0.40	0.5486277	0.5488775	2.498E−04
0.60	0.6701703	0.6703736	2.033E−04
0.90	0.9047868	0.9048555	6.870E−05
1.00	1.0000000	1.0000000	0.000E+ 00


	数值解	精确解	绝对误差

0.00	1.0000000	1.0000000	0.000E+ 00
0.01	0.3737204	0.3716098	2.111E−03
0.02	0.3754769	0.3753442	1.327E−04
0.03	0.3792426	0.3791161	1.264E−04
0.04	0.3830523	0.3829260	1.264E−04
0.08	0.3986781	0.3985520	1.261E−04
0.20	0.4494850	0.4493613	1.237E−04
0.40	0.5489547	0.5488413	1.134E−04
0.50	0.6066623	0.6065580	1.043E−04
0.80	0.8188018	0.8187455	5.630E−05
0.90	0.9048767	0.9048455	3.120E−05
1.00	1.0000000	1.0000000	0.000E+ 00


	数值解	精确解	绝对误差

0.00	1.0000000	1.0000000	0.000E+ 00
0.02	0.3754557	0.3753185	1.372E−04
0.03	0.3792183	0.3790904	1.279E−04
0.04	0.3830281	0.3829003	1.279E−04
0.06	0.3907630	0.3906352	1.278E−04
0.08	0.3986540	0.3985264	1.276E−04
0.20	0.4494613	0.4493362	1.251E−04
0.40	0.5489329	0.5488182	1.146E−04
0.60	0.6704187	0.6703254	9.330E−05
0.70	0.7409000	0.7408227	7.730E−05
0.90	0.9048707	0.9048392	3.150E−05
1.00	1.0000000	1.0000000	0.000E+ 00

例4.2。现在我们考虑一个例子的变系数微分方程奇摄动延迟离开层: 不知道确切的解决方案。这个例子是给小转变边界层的影响的解决方案。
表中给出的计算结果5和6为和0.0001为不同的值。


	数字解决方案
	= 0.0001	= 0.0003	= 0.0006	= 0.0008

0.00	1.0000000	1.0000000	1.0000000	1.0000000
0.02	0.2608070	0.2574476	0.2531103	0.2507717
0.04	0.2666194	0.2664989	0.2663023	0.2661506
0.05	0.2696995	0.2695796	0.2694007	0.2692834
0.06	0.2728263	0.2727058	0.2725251	0.2724043
0.08	0.2792234	0.2791020	0.2789198	0.2787981
0.20	0.3220214	0.3218944	0.3217039	0.3215766
0.40	0.4142966	0.4141648	0.4139674	0.4138352
0.60	0.5434980	0.5433738	0.5431879	0.5430634
0.80	0.7285067	0.7284169	0.7282822	0.7281920
0.90	0.8508641	0.8508093	0.8507276	0.8506728
1.00	1.0000000	1.0000000	1.0000000	1.0000000


	数字解决方案
	= 0.00001	= 0.00003	= 0.00006	= 0.00008

0.00	1.0000000	1.0000000	1.0000000	1.0000000
0.01	0.4289609	0.4278078	0.4260698	0.4249051
0.02	0.2612188	0.2608663	0.2603437	0.2599993
0.03	0.2637076	0.2636943	0.2636772	0.2636673
0.04	0.2667407	0.2667287	0.2667109	0.2666990
0.06	0.2729484	0.2729363	0.2729184	0.2729064
0.09	0.2826190	0.2826068	0.2825886	0.2825764
0.20	0.3221486	0.3221358	0.3221169	0.3221042
0.60	0.5436167	0.5436044	0.5435862	0.5435733
0.70	0.6275683	0.6275574	0.6275409	0.6275294
0.90	0.8509144	0.8509088	0.8509008	0.8508952
1.00	1.0000000	1.0000000	1.0000000	1.0000000

4.2。非线性问题

quasilinearization非线性问题线性化的过程。然后应用本方法。

例4.3。考虑一个奇摄动非线性时滞微分方程: 在间隔和边界条件不知道确切的解决方案。
表中给出的计算结果7和8为为不同的值。


	数字解决方案
	= 0.0001	= 0.0003	= 0.0006	= 0.0008

0.00	1.0000000	1.0000000	1.0000000	1.0000000
0.01	0.3724909	0.3596174	0.3392884	0.3250014
0.03	0.3791343	0.3790570	0.3788695	0.3786281
0.04	0.3829441	0.3828712	0.3827668	0.3827057
0.05	0.3867922	0.3867193	0.3866106	0.3865343
0.06	0.3906790	0.3906061	0.3904977	0.3904227
0.08	0.3985702	0.3984973	0.3983891	0.3983141
0.20	0.4493791	0.4493076	0.4492016	0.4491281
0.40	0.5488575	0.5487921	0.5486948	0.5486277
0.60	0.6703575	0.6703041	0.6702249	0.6701703
0.90	0.9048500	0.9048320	0.9048053	0.9047868
1.00	1.0000000	1.0000000	1.0000000	1.0000000


	数字解决方案
	= 0.00001	= 0.00003	= 0.00006	= 0.00008

0.00	1.0000000	1.0000000	1.0000000	1.0000000
0.01	0.3737204	0.3724622	0.3705641	0.3692932
0.03	0.3792426	0.3792360	0.3792249	0.3792183
0.04	0.3830523	0.3830458	0.3830347	0.3830281
0.05	0.3869004	0.3868939	0.3868828	0.3868762
0.08	0.3986781	0.3986716	0.3986605	0.3986540
0.20	0.4494850	0.4494785	0.4494676	0.4494613
0.40	0.5489547	0.5489486	0.5489386	0.5489329
0.50	0.6066623	0.6066567	0.6066476	0.6066423
0.70	0.7409147	0.7409106	0.7409040	0.7409000
0.90	0.9048767	0.9048751	0.9048723	0.9048707
1.00	1.0000000	1.0000000	1.0000000	1.0000000

例4.4。考虑一个例子的奇摄动非线性时滞微分方程: 在间隔和边界条件不知道确切的解决方案。
表中给出的计算结果9和10为和0.001为不同的值。


	数字解决方案
	= 0.0001	= 0.0003	= 0.0006	= 0.0008

0.00	0.0000000	0.0000000	0.0000000	0.0000000
0.02	−0.2107353	−0.2105360	−0.2098469	−0.2090868
0.04	−0.2053359	−0.2053088	−0.2052677	−0.2052346
0.05	−0.2026495	−0.2026230	−0.2025854	−0.2025608
0.06	−0.1999765	−0.1999504	−0.1999132	−0.1998883
0.08	−0.1946704	−0.1946451	−0.1946091	−0.1945850
0.10	−0.1894171	−0.1893927	−0.1893577	−0.1893344
0.30	−0.1396748	−0.1396577	−0.1396331	−0.1396166
0.60	−0.0737937	−0.0737854	−0.0737733	−0.0737652
0.80	−0.0350537	−0.0350500	−0.0350445	−0.0350408
0.90	−0.0170888	−0.0170870	−0.0170844	−0.0170827
1.00	0.0000000	0.0000000	0.0000000	0.0000000


	数字解决方案
	= 0.00001	= 0.00003	= 0.00006	= 0.00008

0.00	0.0000000	0.0000000	0.0000000	0.0000000
0.02	−0.2107172	−0.2107119	−0.2106993	−0.2106895
0.03	−0.2080040	−0.2080019	−0.2079975	−0.2079955
0.04	−0.2053046	−0.2053025	−0.2052982	−0.2052962
0.05	−0.2026187	−0.2026166	−0.2026124	−0.2026104
0.08	−0.1946411	−0.1946391	−0.1946350	−0.1946331
0.10	−0.1893887	−0.1893868	−0.1893829	−0.1893810
0.30	−0.1396550	−0.1396536	−0.1396509	−0.1396495
0.60	−0.0737842	−0.0737834	−0.0737821	−0.0737814
0.80	−0.0350494	−0.0350491	−0.0350485	−0.0350481
0.90	−0.0170868	−0.0170866	−0.0170863	−0.0170862
1.00	0.0000000	0.0000000	0.0000000	0.0000000

5。讨论和结论

我们提出了一种数值积分方法解决奇摄动延迟微分方程。该计划重复延迟参数的不同选择,摄动参数,。的选择并不是唯一的但可以假设任意数量的值满足条件与和不是太大兰格和三浦12]。展示的效率方法,我们实现了这两个线性和非线性模型两个例子与左边的边界层不同的值和。从计算结果可以看出该方法接近精确解很好(见表1- - - - - -4),小的转变,,影响边界层的解决方案。这是,增加,尺寸/左边界层厚度降低(见表5- - - - - -10)。该方法不依赖于渐近展开的匹配系数。因此,我们设计了一个替代技术解决边值问题的奇摄动延迟微分方程,在计算机上容易实现,也实用。

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国际期刊的微分方程

文摘