非线性微分方程的雅可比椭圆函数

文摘

极角的非线性微分方程的椭圆。这个微分方程的解可以表示的雅可比椭圆函数dn (u, k)。如果极角延伸到复平面,雅可比想象的变换性质和依赖,真正的和复杂的季度时间可以被描述。极角,微分方程的精确解泊松玻耳兹曼和sinh-Poisson找到方程的雅可比椭圆函数。

1。介绍

非线性微分方程解决方案用雅可比椭圆函数来表示发生在物理学的许多领域,如波的研究领域指南,不和谐的振动,单摆的周期,非线性泊松玻耳兹曼方程,sinh-Poisson方程与流体流动和等离子体(1- - - - - -5]。函数研究了多年来在18世纪开始,和一个详细的理论基础和强大的开发从Weierstrassian椭圆函数,θ的函数的雅可比椭圆函数(6,7]。

本文的目的是简要介绍另一种,而是简单的方法描述方面的雅可比椭圆函数,同时导致新的和有趣的关系。特别是这种方法导致精确解(偶数和奇数)的非线性泊松波尔兹曼方程和sinh-Poisson方程。

本文的第一部分包含了一个短的描述极角的函数推导并给出了雅可比椭圆函数的表达式。第二部分描述了一致性为这些函数存在的各种关系。第三部分包含的各种转换参数。在第四部分使用这些转换,精确解(偶数和奇数)泊松玻耳兹曼和sinh-Poisson方程。

相信有价值的洞察这些函数的行为只能获得甚至被学生熟悉微分在数学和物理学教授本科生课程和可能成为进一步研究的动机。

2。为极角微分方程的推导

考虑一个椭圆在笛卡尔坐标系中,半长轴,半短轴,,这样偏心或模量椭圆的,,互补的模量是,。让我们进一步表达某一特定点的椭圆的参数,所以它的笛卡尔坐标系和,在那里和雅可比椭圆函数(6,7]。(对模量的依赖在以下除非显式隐式依赖的重要性)。这个点的极坐标半径可以表示为。直接从这些关系中,它遵循和的关系,一个获得应当强调,从文学与表达式(6,7),的值应该被应用,这在本文假设。然而,对于清晰的依赖保持在几个表达式。

现在,让我们介绍极角对应于相同的特定点的椭圆方程通过分化(2。3),同时利用椭圆的方程以及(2。1),一个获得区分一个更多的时间,一个或与解决方案应该注意的是,是一个积极的周期函数,该函数是一个递增函数而不是周期性,而是周期性的。从基本的三角函数,它遵循这这是一个表达式,也可以在716.24.6](公式)。一个同样可以表达这个积分方程(2。9)和(2.10)很容易被证明是一致的,回去,可以很容易地确认他们满足(2。6)。而言,和本节的重要成果雅可比椭圆函数隐式依赖于哪里。

自振幅函数的导数(6,7是作为,它是极角的导数是成反比的振幅函数的导数。

3所示。复杂的论点和季度时间的关系

在本节中,极角的表达式是扩展到复平面通过引入复杂的参数,,这样的 ,一个如果在特定的,在哪里和分别是真正的和复杂的季度时间和使用和(6,7),然后然而,如果,使用),,(6,7),然后一个发现从这些表达式是符合三角恒等式。

另一方面,如果相反,使用,,(6,7),然后一个发现因此从 , 这些表达式是符合三角恒等式。

其他各种关系的极角的真正的和复杂的季度时间可能是派生的,这表示将符合现有的理论。

4所示。复杂的参数和变量的变换

变量的变换处理复杂的极角的在这一节中。数表达式导出,因为它们用于在下一节中,非线性泊松波尔兹曼方程的精确解。为清楚起见,变换的雅可比椭圆函数应用在本小节的末尾列出6,7]。

如果复杂的参数(3所示。1纯粹是虚构的,,一个发现虚构的转换的极角(主值的参数)。

然而,如果,然后发现之一在(4所示。2实部的多样性已经被跳过的季度时期极角吗对应的值,当你考虑基本的间隔。

为,你会发现分母是积极和表达式给出的基本时间间隔。

接下来的三个转换是最容易获得的开始(4所示。3)。首先让我们替换的参数(4所示。3),然后另一方面,如果参数(4所示。3)所取代,然后分母是积极的。

或观点(4所示。3)所取代,然后这样分母是积极的(参数的值)。

节5相关,结果表明,这些方程的解泊松波尔兹曼方程和sinh-Poisson方程(4,5]。

各种转换应用于本节列出如下(6,7]:

5。泊松波尔兹曼方程的精确解

自是一个解析函数的微分方程的实部和虚部可以找到从柯西黎曼方程,一个因此,如果,然后从(4所示。2)真正的极角的一部分,因此从(5。2),由此可见,虚部将方程的解决方案和替换,一个的一维非线性泊松波尔兹曼方程的解决方案吗这个解决方案是如图1的参数和。

可以看到,这是一个奇函数。如果不是,然后从(4所示。3)真正的极角的一部分,因此从(5。2),由此可见,虚部将方程的解决方案一次又一次用,一个然而,在这种情况下分化的变量,从(4所示。3),它遵循解决方案在这种情况下,解决方案是偶函数。在图2的解决方案(5。8)所示。

的' ' (5。4)和(5。7)表示分化的变量的解决方案,的甚至解决方案。当然做一致性可以用一些常见的变量替换这些变量。

我们可以看到从(4所示。4)和(4所示。6),存在另外两个解决方案(甚至)泊松波尔兹曼方程。的表达式是当然区别是关于适当的变量。这些函数图3和4。

以类似的方式,发现利用(4所示。1)和(4所示。5),sinh-Poisson方程(5] 有奇怪的解决方案甚至和解决方案这些表情很容易被直接替换成正确的显示5.10)。

6。结论

精确解的非线性泊松玻耳兹曼方程。为了获得这些解决方案有必要引入一个函数与雅可比椭圆函数,给出一个特定点的极角的椭圆。这个函数是复平面扩展,与雅可比椭圆函数和各种关系进行了描述和证明是一致的。

极角的新的非线性微分方程推导,其中一部分可以显示与非线性泊松波尔兹曼方程。精确解提取非线性泊松玻耳兹曼方程。此外,sinh-Poisson方程的精确解。