文摘
分析了可折叠的管非定常流模拟人类冠状动脉病变。新奇的方法是固耦合的方程组管理是减少到一个积分微分的瞬态方程。然后解决方程采用有限差分法获取流动特性和兼容的墙的行为。三个控制参数研究,即雷诺数,进口透壁的压力,和壁厚。预测壁偏转在低雷诺数是相当大的,建议可能的分解方法处于平衡状态。透壁的压强随墙挠度和膨胀出现在膜的两端指示关键阶段的稳定性,与先前的研究一致。增加壁厚减少壁偏转,最终导致其崩溃可能表明另一个故障处于平衡状态。内部压力的增加需要保持膜的稳定。
1。介绍
本文描述了一个二维(2 d)分析研究可折叠管模拟非定常流的狭窄的冠状动脉。蠕动流的效应是研究几何非线性弹性管,墙的变形由于瞬态透壁的压力。动脉壁运动导致强烈的固耦合。这项研究是基于瞬态固耦合的假设这样一个海峡可能充分表示为一个积分微分的方程可以用有限差分数值方法解决。新奇的研究是分析非定常流和使用的方法来解决由此产生的积分微分的方程。
通过灵活的管流体流动带来的问题相对较薄的墙壁是理论上具有挑战性且实用的意义。理论的挑战是由于流体流动之间的相互作用和弹性通道墙壁。因此,流体和结构参数必须同时计算。此外,边界条件不能完全提前定义,由于不断变化的边界。这些问题是相当大的现实意义,特别是在生物工程和生物医学系统因为其关键作用在描述流体流动的生活器官包括心血管、呼吸系统和泌尿系统(1]。特别是血管经历压缩透壁的压力和顺向重构包括心脏上方的静脉,冠状动脉收缩期间,航空公司在迫使过期(2]。早期的理论研究[3,4)尽管繁殖流动特性无法预测墙变形的细节。大多数以前的研究也集中在稳定流动情况下,以减少计算复杂度。摘要放松这些简化分析变形管的非定常流和解决由此产生的integrodifferntial方程。
流可折叠管已经彻底审查一项研究[5]。方法用于解决此类流动取决于流动情况。较低的稳定流动雷诺数和微不足道的惯性被称为lubrication-type流(6]。非定常流中变化流方向重要的是被称为Stokes-type流(6]。在这种情况下,雷诺数通常是高和惯性是考虑。完整的n - s方程必须解决在这种情况下,需要进行数值分析。弹性通道墙通常是建模为膜使用薄壳理论与抗弯刚度可以忽略不计。
几种方法建模流程的灵活的管已经总结了最近的一项研究[1]。研究探讨了管道内的流体流动之间的相互作用的重要性和墙变形。这样的生理影响固耦合也充分的探讨,包括人类的心血管和呼吸系统。研究得出结论说,尽管强烈的兴趣,不同的机制产生不稳定在单相流通过挠性管仍然只是部分理解。因此,需要有系统的调查,阐明一般关系和实验观测以及生理应用仔细会计组织的机械性能。
建模可折叠的管流的范围从一维(1 d) 3 d (7- - - - - -17]。夏皮罗(7)研究了一维稳定流动部分倒塌的薄壁管和证明,稳定不能存在于一个可折叠的管流流速下高达小振幅压力波的传播速度。在这种情况下,窒息和不稳定。二维研究[8- - - - - -11)包括零雷诺数稳定流或有限的雷诺数非定常流,刚性墙的一部分被取而代之的是一个弹性膜。佩德利说(12)调查了破坏稳定的流动在一个对称的2 d通道使用润滑理论。由此产生的非线性常微分方程数值求解。结果表明,减少纵向通道壁的变形增加紧张局势相同的流量和外部压力。Djordjevic和Vukobratovic13]研究稳定,粘性流在一个可折叠的通道在低和高雷诺数。弹性通道壁的行为建模,几何非线性卡曼壳理论。在每种情况下,一个单一的积分微分的方程推导出描述墙配置和控制方程的数值求解。墙上的配置是预测一些控制参数的函数。其他研究认为稳定变形的完全三维系统14,15]。管壁被建模为一个圆形的圆柱壳几何非线性壳理论是用来模拟其庞大nonaxisymmetric变形(弯曲后)。流体流动的建模使用润滑理论假设低雷诺数和小墙斜坡的方向流动。佩德利说(16)流经动脉可折叠的调查。最近,扰动和数值方法被用来检查gel-lined管和其他表面的减阻17]。
大部分的各种模型应用于折叠管使用的关键参数,透壁的压力,定义为内部和外部压力的区别。如果压差是负的通道内部压力的经历,给它一个球形横断面形状(18]。如果压差为正通道墙壁倒塌。许多先前的研究[7,12,16也集中在稳定流问题由于方程控制流体流动的复杂性和墙配置,为了减少控制参数的数量。其他研究考虑非定常流问题采用有限元法(FEM)求解控制方程(1,10]。应用有限元问题的类型被认为是由各种复杂的因素,包括竞争插入节点的离散元素,strain-displacement关系,应力-应变计算,元素平衡方程,全球平衡方程,等等(19]。
在目前的研究中,非定常二维斯托克斯方程导出,用于分析固耦合以相对较低的雷诺数。控制方程减少到一个积分微分的数值求解的方程有限差分法(FDM)。FDM的优点是它的递归的方法可以方便、准确表示非线性流体流动方程。对流动的影响和墙配置了三个控制参数,雷诺数(或等价,入口速度),透壁的压力和壁厚。
2。配方
2.1。假设
瞬态固耦合在一个可折叠的管人类冠状动脉病变的模型可以表示为一个积分微分的方程,利用有限差分数值方法可以解决。
本节描述了控制方程的推导和解决方案。通道墙壁上的透壁的压力分布是决定从润滑理论。非线性卡曼板理论是用来表达墙上弹性行为。单个积分微分的方程推导出第一次执政细胞膜的瞬态行为。压力方程和兼容的墙是用有限差分的方法来解决。这种分析方法与有限元方法的相对昂贵的应用如先前的研究。
2.2。几何
考虑一个理想化的对称病变人类冠状动脉(数字1和2)通过一个不可压缩粘性流体流动。这个二维(2 d)模型启发Djordjevic和Vukobratovic [13]在入口处流被认为是充分发展()段和仍然是层流。这样的速度剖面段与雷诺数无关。动脉壁的配置是由压力作用于表面。弹性壁配置被认为是一个盘子。因此墙惯性和流体惯性都代表的计算。
我们采用润滑理论,假设惯性小墙斜率和微不足道的墙(12,13]。段的长度由平行的墙壁和弹性模量。在图1,和笛卡尔坐标,和速度分量吗和方向,分别是压力。的参数,,密度、运动粘度、分别和环境或外部压力。的参数是常数入口压力吗,平均进口速度,通道壁的任意位置对方向和时间,之间的角弯曲墙和主轴。星号(*)表示维参数将nondimensionalized之后。
2.3。控制方程:流体流动
不可压缩的脉动流建模使用时间,n - s方程的牛顿流体的连续性方程。方程是nondimensionalized使用,,,作为速度范围,长度、压力、分别和时间。无量纲方程可以表述为: 的无量纲参数,,,,,是时间尺度,,分别是欧拉数和雷诺数,,。透壁的压力是 在哪里和分别引用和大气压力。
上面的n - s方程将简化使用以下假设:通道的狭窄的部分相对较长,(),狭窄的斜率的最大角的设在。在后两种情况下意味着逐渐变化的内部直径沿主轴的通道。狭窄的相对较小的倾向意味着所有的物理量相关结构也将受到非常小的变化在主轴的方向。流被认为是整个频道的充分发展。因此,流向速度分量是大而遍历组件。
通过引入一个坐标我们翻译小变化和写的横向速度分量的形式,在那里和将在稍后定义。我们还假设和,空间和时变透壁的压力(外层大气压力减去内流体压力)比参考压力小得多这是订单吗Pa (20.]。我们假设透壁的压力是通过墙上的传播。这种情况可以制定,,参数将在稍后定义。
的新参数,navier - stokes和连续性方程 我们认为流润滑类型,即流体流动非常缓慢和摩擦力大于惯性力。后者假设意味着雷诺数较低。为了利用润滑近似,我们做出以下替换成(2。3): 在哪里和。
保持秩序的,我们获得 方程(2。5),(2。6)和(2。7)必须解决的边界条件 我们的主要目标是获取无量纲压力分布在通道的墙上。为了实现这一目标,我们首先解决(2。5)因此 在哪里是一个任意的功能集成。
考虑到小半径比长度和抛物线轮廓沿流动方向,我们假设流体在水平方向的速度是由 在哪里横断面平均速度。后者计算如下。首先,我们结合连续性方程(2。7)从0到并获得 在哪里是一个任意的功能集成。
通过施加相应的边界条件这是(2。8),我们得到 因此 在哪里θ是一个任意的功能集成和表示。
接下来我们用(2.10),(2.11)和(2.13)回(2。9)给 为了确定,我们解决(2。6)。然后,我们代替获得(2.14),获得一些操作后, 在哪里是一个任意的函数。
最后,用(2.15)回(2.14)和解决由此产生的方程,我们得到压力分布的一般形式写成 的无量纲压力分布狭窄的表面()然后 在哪里是由(2.13),是一个任意的函数。
用(2.13)(2.17)我们终于获得在狭窄的表面压力分布 注意压力评估点也恰巧是集成的极限。因此,必须注意在选择数值方法来评估(2.18)。在这里,我们定义一个新的变量 这样完全是由
2.4。控制方程:动脉壁
动脉壁的配置是由血流动力学压力作用于其表面。弹性壁板配置是解决。我们开始通过应用牛顿第二运动定律的表面元素呈现在图2。应该说α在本节中代表墙的角度倾斜如图2。牛顿第二定律是表达的 在哪里是外力向量,和分别是质量和加速度向量。
的横向分量(2.21)是通过力平衡在动脉壁材料元素(参见图1)在横向方向上,因此 在哪里是在墙的内表面剪切应力,力的大小在倾斜力的大小在倾斜由于弯曲,材料的密度 基于卡门的非线性壳理论(21],Djordjevic和Vukobratovic [13)表明,轴向方向的有限应变分量的形式: 我们假设很小。因此和。后者近似转换(2.22) 缩写h.o。t代表高阶项。我们可能会重塑(2.25) 在哪里和分别是抗弯刚度和纵向张力。
轴组件()的运动方程同样是通过动量平衡在动脉壁元素在轴向方向上, 使用这一事实是我们获得小 现在,我们继续nondimensionalize方程(2.25)和(2.26)通过引入无量纲变量如下: 的新变量,我们有 方程(2.25)和(2.26),分别 集成的(2.32)的收益率 因此 在哪里是无量纲长度。
使用的主要资产(2.31),我们组 还记得, 方程(2.35)和(2.36)暗示 使用(2.34),(2.22)可以写成 回忆,,(2.38)可能进一步转变 或者同样的 标和分化对overdot站吗和, 在下一节中,我们描述了数值方法用来解决上述控制方程。
2.5。数值解的过程
墙的主要问题控制方程(2.41瞬态)是解决一个微分方程,两个未知数,包括透壁的压力分布和墙挠度。计算墙的形状(墙挠度)下一个时间步所得如下。知道墙的形状在初始时间步(挠度分布在最初的时间),我们解决方程的透壁的压力方程(2.18)。然后,在我们下一个时间步解决墙控制方程(2.39)在时间步的假设下小到可以申请。接下来,考虑到更新的解决方案,我们可以找到相应的更新,等等,直到最后一个迭代。
我们使用有限差分法(22,23)解决透壁的压力方程(2.18)和控制方程(2.39)。具体来说,动脉壁被离散成段。接下来,一个节点被放置在两个连续的段。超过100个节点分布在墙的长度。然后增量数值计算应用于每个节点。
的条款包含在透壁的压力微分方程(2.18)和控制方程(2.39),向前和中央计划(22被用来解决时间space-dependent术语,分别。此外,梯形法则(23)是利用求解积分方程(2.19)。数值精度首先保证了系统地增加节点的数量,直到结果成为不变的进一步增加。然后数值代码验证通过比较稳态情况下的预测结果与其他研究结果可用,使用不同的解决方法(Djordjevic Vukobratovic [13和罗和佩德利说10])。我们的预测是在协议与定性研究。
初始化解决方案过程首先定义的形状实现的一个小斜坡狭窄的动脉壁的润滑理论。接下来,施加边界条件和数值方案,透壁的压力是解决第一壁的节点。矩阵包含透壁的压力在每个节点插入到控制方程(2.39)。然后后者方程是解决所有节点同时托马斯使用隐式算法(22]。获得的结果提供的新位置分布节点在当前时间步。最后,新配置的动脉壁用于更新下一个时间步的初始配置。过程持续的时间,直到输入数量的时间步骤实现或解决方案就会变得不稳定。由柯朗数控制稳定,定义为,在那里和是最大流速。所有的计算都是使用Matlab 6.5软件进行。
3所示。结果
在本节中,我们目前的结果和讨论控制参数的影响,包括入口速度(或相当于雷诺数,重新),进口透壁的压力和动脉壁厚。其他参数保持不变,包括动脉段长度,弹性模量,泊松比、流体运动粘度、,最初的墙挠度相对于名义半径,和参考压力这是作为大气。输入数据用于这项研究展示在表1,在这是一段半径。这些输入值选择基于以前的工作,建立了数据对人类冠状动脉(24- - - - - -26]。段的长度毫米,的公称直径毫米,入口速度(和相应的雷诺数范围)是典型的直线部分的成人冠状动脉(24,25]。杨氏模量()和毒药比()墙的弹性性质,同样选择典型的人类冠状动脉(24- - - - - -26]。然而应该指出的是,弹性可能取决于疾病的严重程度。血液的粘度是一个完善的房地产正常血细胞比容(25]。透壁的压力,壁厚,入口速度控制参数,不一定必须恒定在一个单一的动脉。例如,厚度可能取决于类型的斑块(焦或分布式)和斑块和动脉段的位置。进口压力取决于病人的血压可能会具体。入口速度和压力同样依赖于冠状动脉的位置被认为是相对于主动脉。控制参数可以是不同的在参数分析在本文探讨血压的影响,内膜厚度和流量。值用于研究的具有典型的人类冠状动脉(24- - - - - -26]。
为了比较我们的结果与稳态解Djordjevic和Vukobratovic13),我们采用了抛物线概要文件的速度(2.10在管口)。图3显示了时间横断面平均速度(2.13)计算在进口和在船中。我们应用振荡流速模拟脉动的冠状动脉的血流量。应该注意的是,平均速度变化不仅与时间,而且空间流体流经收缩段的通道。
3.1。流速剖面
图4显示了典型的预测的速度(进气速度的大小= 0.2米/秒,在管中y设在代表径向从中心线()在墙上(例如,在入口),纵向方向从入口()出口()。最低速度是用蓝色表示颜色代码和最大的红色。结果表明,在每一个轴向位置()的速度变化最小的墙最大中心线,在一个发达的共识抛物线轮廓在管。流体粘度的变化速度是一个结果,它允许速度相对于墙为零,而达到最大的轴通道。最大的速度管之间发生在夜半的入口和出口部分管是最狭隘的(即。最小横截面积),正如预期的那样,为了满足质量守恒。这些结果虽然不是小说,用来验证模型的正确预测预期的速度剖面的管。
3.2。入口速度的影响
图5(一个)显示了预测透壁的压力分布沿管三个入口速度米/秒(薄蓝线),0.2 m / s(紫色的连续线)和0.3 m / s(红色虚线)。雷诺数范围从3.2到9.6,在润滑理论机制分析认为。其他参数,如透壁的压力在进口(= 180 Pa)和壁厚嗯,是保持不变的。相应的壁剪切应力分布呈现在图5 (b)。一般来说,透壁的压力减少(增加)级从入口到槽的通道,然后滴(增加级)下游管扩张走向出口。压力的轻微振荡的最后部分可能归因于构件的数值方案在满足边界条件施加管结束。图5(一个)也表明,最高(最低级)和入口速度最高,几乎是统一的= 0.3 m / s。雷诺数的耦合(入口速度)透壁的压力(2。2)是直接通过表达(2.37)的参数和。增加减少透壁的压力的大小。对应于观测到校内的压力趋势图5 (b)显示墙剪切应力几乎是统一的最高入口速度大时流动力足以克服管收缩的影响。
(一)
(b)
请注意,所有的结果呈现在图5(以及随后的)的特点是管进口和出口之间的不对称由于流体流动的影响。这个观察是一致的结果在先前的研究10,27]。
图6提出了相对应的瞬态壁偏转的压力和壁面切应力结果图5以上,入口速度从0.1到0.3 m / s。在每一个情节,增加的方向,从下到上。结果表明,墙挠度减小的幅度增加。换句话说,墙上逐渐变得平缓随着Re增加,前面观察压扁的共识的压力曲线(由于显著减少大小的透壁的压力)和壁面切应力曲线在高图5。图6也显示了墙挠度是最高的一半长度段。这一趋势是一致的稳态结果Djordjevic和Vukobratovic13和罗和佩德利说10,27]。振动有显著的墙,尤其是在最小的再保险。这堵墙振荡,当考虑文中透壁的压力的大小呈现在图5(一个)建议可能的分解方法处于平衡状态。
(一)
(b)
(c)
3.3。进口透壁的压力的影响
图7(一)显示了预测透壁的压力在年代沿区段长度三个入口透壁的压力(= 180,200,和220 Pa)。雷诺数和壁厚毫米。相应的壁剪切应力分布呈现在图7 (b)。结果表明,增加减少了大小和纵向梯度沿管的透壁的压力。这一发现与之前一致稳态研究[27]表明高有效的减少导致的纵向张力膜,或内部压力增加。最终的结果是一个压扁的膜将下面描述。平壁反过来导致减少壁摩擦,将减少壁剪切应力,观察图7 (b)。
(一)
(b)
相对应的瞬态壁变形量预测图的结果7提出了在图8(一)表示= 180 Pa, (b) 200 Pa和(c) 220 Pa。增加导致膜向外运动(即。,增加墙挠度)。这一趋势是一致的增加产生的内部压力增加和也被观察到在前一个稳态研究[13]。胀是预测在上游和下游段的结束。前者是符合观察之前的研究利用高初始壁收缩(27]。第二下游隆起,观察到这里,并不令人惊讶的在这种情况下,高透壁的压力加上小壁收缩。具体地说,小初始壁偏转意味着某种程度的两端对称的部分。
(一)
(b)
(c)
3.4。壁厚的影响,
图9(一个)显示了预测透壁的压力,沿着管,在0.1秒三墙厚度毫米,0.8毫米和0.9毫米。入口参数保持不变在Re = 6.4,和= 180 Pa。相应的壁剪切应力分布呈现在图9 (b)。结果表明,增加减少透壁的压力的大小,。这在减少墙剪切应力增加,逐渐破坏细胞膜,并可能最终导致其崩溃如下所述。
(一)
(b)
图10介绍了预测瞬态壁变形量作为一个函数的壁厚,。增加从0.7毫米到0.8毫米的厚度减少墙挠度。这一趋势也已在先前的预测稳态分析(13]。目前的瞬态分析表明,进一步增加从0.8毫米到0.9毫米的显著改变这一趋势。具体地说,虽然挠度仍减少槽,波峰现在表现出更大的变形量比毫米和0.8毫米。大型波峰歪斜可能归因于显著增加弯曲力。注意,壁厚出现在第四阶弯曲力的积分微分的方程(2.39)。这是方程的主要术语意味着任何轻微的弯曲力的变化将改变墙上的配置将有显著的影响,观察到图10。
(一)
(b)
(c)
4所示。结论
瞬态分析模型基于润滑理论研究了在二维限制扩大的管流结构交互的墙。之前的分析研究已经集中在稳定状态。目前研究的长期目标是使用瞬态模型提供了一个相对简单的方法调查的基本特性使狭窄病变血管重建。这种重构发生由于墙的弹性和脉动的流体通过船。结果壁剪切应力模式和墙动力学涉及血管动脉粥样硬化等疾病的成因,以及斑块破裂导致心肌梗死(心脏病发作),最终可能导致死亡。在当前模型中,卡曼板理论在瞬态模式下获得表达式用于透壁的压力以获得一个积分微分的方程墙上的行为。有限差分方程是解决的方法。参数的影响研究进行了三个参数:雷诺数、再保险(或相应的入口速度,),进口透壁的压力,和壁厚,。
分析研究的主要发现的具体情况考虑可能因此总结。(我)雷诺数的增加而保持和常数导致减少的大小透壁的压力。这减少了反过来导致减少墙挠度和壁面切应力。长城是最容易受到振动在低再保险当其他系统参数()是固定的。墙变位也通常更大的上游比下游槽(在夜半最小直径)。(2)增加进口透壁的压力同时保持和再保险常数原因减少纵向张力和压扁的墙上。这种趋势导致减少壁摩擦和壁面切应力。(3)增加壁厚同时保持和不断减少的墙变位低于一个阈值(这里毫米)。增加超过这个阈值导致大挠度特别是在墙的目的和可能的故障。这种膜的崩溃是由于大的弯曲力,发展在结束大壁厚。
结果在特定时间似乎普遍同意先前的稳态结果(10,12,13]。他们也通常在心血管疾病医学研究的共识。例如,低剪切应力导致增加进口透壁的压力意味着后者可能确实促进动脉粥样化形成。后者被发现在冠状动脉和焦点位于地区低壁面切应力。这些也是血小板聚集的地区。观察到的偏转是上游比下游的槽。这一趋势与观测一致,通常斑块破裂上游的肩膀,也就是说,上游地区的最低血管直径。增加壁厚可能直接关系到内膜的增厚由于血管炎症。目前的结果表明,这种增厚可能导致崩溃或墙上,斑块破裂特别是附近结束。斑块破裂导致血栓形成,可能会导致心脏病和死亡。
我们的分析表明,通过适当的假设瞬态模型可以用于研究非稳定流动构造交互现象在一个狭隘的兼容的通道。从调查中获得的结果与先前的分析研究是一致的(10,12,13]。研究目前仅限于系统行为在相对较低的雷诺数范围3.2 - 9.6为了模拟流最脆弱的冠状动脉血管斑块生长和破裂。后续工作将扩展到更高的雷诺数为了调查其他有趣的现象,比如自激振荡和可用作直接比较实验数据,方便地进行再保险。此外,它是理想的改善模型通过扩展到更大的初始膜曲率。
接下来,它将会是很有趣的执行改进模型的稳定性分析研究膜自激振荡(10,27,28]。调查将有助于优化模型,确定各控制参数,以中所起的作用集中在最重要的一个分析流固现象。最终,模型将延长调查完全耦合的三维模型。调查的完全三维几何10,27]为了调查微妙比2 d模型认为在目前的研究。这些微妙之处包括入管壁的弯曲,流划分成多个叶仍开放在屈曲,屈曲和周向波数增加上游压力高。