文摘

我们证明哈代类型函数的高阶不平等在各向异性索伯列夫空间消失在空间域的边界。这是一个重要的计算工具,对称双曲系统的初边值问题的研究与边界特征。

1。符号和主要结果

为 ≥ 2 ,让 ℝ + 表示 维正半空格 ℝ + ∶ = = 1 , , 1 > 0 , ′ ∶ = 2 , … , ∈ ℝ − 1 。 ( 1 。 1 ) 让 ∈ ∞ ( ℝ + ) 是一个这样的函数 ( 1 ) = 1 接近 1 = 0 , ( 1 ) = 1 为 1 ≥ 1 。为 = 1 , 2 , … , ,我们设置 1 ∶ = 1 1 , ∶ = , f o r ≥ 2 。 ( 1 。 2 ) 然后,每多索引 = ( 1 , … , ) ∈ ℕ ,余法线导数 被定义为 ∶ = 1 1 ⋯ 。 ( 1 。 3 ) 对于每一个正整数 的各向异性水列夫空间 ∗ ( ℝ + ) 被定义为 ∗ ℝ + ∶ = ∈ 2 ℝ + ∶ 1 ∈ 2 ℝ + 。 , | | + 2 ≤ ( 1 。 4 ) 在 ∗ ( ℝ + ) 我们介绍了规范 为 为 2 ∗ ℝ + ∶ = | | + 2 ≤ 为 为 1 为 为 2 2 ℝ + 。 ( 1 。 5 ) 的空间 ∗ ( ℝ + ) ,赋予其规范(1。5)是一个希尔伯特空间。我们也介绍第二个各向异性水列夫空间。对于每一个正整数 ,空间 ∗ ∗ ( ℝ + ) 被定义为 ∗ ∗ ℝ + ∶ = ∈ 2 ℝ + ∶ 1 ∈ 2 ℝ + 。 , | | + 2 ≤ + 1 , | | ≤ ( 1 。 6 ) 特别是, 1 ∗ ∗ ( Ω ) = 1 ( Ω ) 。在 ∗ ∗ ( ℝ + ) 介绍自然常态 为 为 2 ∗ ∗ ℝ + ∶ = | | + 2 ≤ + 1 , | | ≤ 为 为 1 为 为 2 2 ( ℝ + ) 。 ( 1 。 7 ) 的空间 ∗ ∗ ( ℝ + ) ,赋予其规范(1。7)是一个希尔伯特空间。为了方便我们也设置 0 ∗ ( ℝ + ) = 0 ∗ ∗ ( ℝ + ) = 2 ( ℝ + ) 。我们观察到 ℝ + ↪ ∗ ∗ ℝ + ↪ ∗ ℝ + ⊂ ℝ + , ( 1 。 8 ) ∗ ℝ + ↪ ( / 2 ] ℝ + , ∗ ∗ ℝ + ↪ ( ( + 1 ) / 2 ] ℝ + , ( 1 。 9 ) 在哪里 ( ⋅ ] (除了表示整数部分 ( ℝ + ) ,所有的嵌入是连续的)。

各向异性空间 ∗ , ∗ ∗ 是初边值问题的自然研究函数空间边界对称双曲系统的特点,看到1- - - - - -6]。事实上,对于这样的问题,完整的规律性(即。可解性,通常水列夫空间 )一般不可能因为衍生品的可能损失的特征边界法线方向,看到7,8]。的引入各向异性索伯列夫空间 ∗ , ∗ ∗ 是出于正常分化的观察到一阶获得应该由二阶补偿损失的余法线分化。

理想磁流体动力学方程病态性在索伯列夫空间提供了一个重要的例子 ,7]。应用磁流体动力的 ∗ 和 ∗ ∗ 空间可能会发现在9- - - - - -13]。一个广泛研究的空间我们参考读者2,3,14,15)和引用。这种类型的函数空间也被认为是在16,17]。

这个报告的目的是证明以下定理1。1和1。2。这些结果是一个重要的计算工具的使用各向异性空间 ∗ , ∗ ∗ 初边值问题的研究,因此对称双曲系统的边界特征。通常,这些问题必须处理的形式 1 ,在那里 是一个真正的 × 矩阵值函数, 是一个矢量函数 组件。矩阵 承认的分解 = 1 + 2 , 1 ⎛ ⎜ ⎜ ⎝ ∶ = , 0 ⎞ ⎟ ⎟ ⎠ 0 0 , 2 ∣ 1 = 0 = 0 , ( 1 。 1 0 ) 与 , 可逆的边界附近 { 1 = 0 } 。因此,你可以写 2 1 = 1 , ( 1 。 1 1 ) 在哪里 ( ) = ( 1 ) − 1 2 ( ) ,寻找估计 1 在 ∗ , ∗ ∗ ,尽可能的锋利。给出合适的估计函数的乘积,问题是估计的 在 ∗ 和 ∗ ∗ 。这激发了下面的结果。

定理1.1。让 ≥ 2 。让 ∈ ∗ ( ℝ + ) ∩ 1 0 ( ℝ + ) 是一个函数,并让 被定义为 1 = , ′ 1 , ′ 1 。 ( 1 。 1 2 ) 然后 为 为 ∗ − 2 ( ℝ + ) ≤ 为 为 ∗ ℝ + 。 ( 1 。 1 3 )

证明。所有整数 ≥ 1 ,空间 ∞ ( 0 ) ( R + ) ( ∞ ( 0 ) ( ℝ + ) 表示设置的限制 ℝ + 的功能 ∞ 0 ( ℝ + ) )是密集的 ∗ ( ℝ + ) ,4]。因此,不失一般性,我们可以假设 支持在一个小社区的 1 = 0 在哪里 ( 1 ) = 1 。定理的证明,我们使用一个归纳的论点在某种程度上激发了从[18]。
这个案子 = 2 遵循从古典哈代不平等,看到19]。给出任何 ∈ ℝ − 1 ,哈代不平等收益 ∞ 0 | | | | 1 , 1 | | | | 2 1 ≤ 4 ∞ 0 | | 1 1 , | | 2 1 , ∀ ∈ 1 0 ℝ + 。 ( 1 。 1 4 ) 集成在 和使用(1。9), = 2 我们得到了 为 为 为 1 为 为 为 2 ( ℝ + ) ≤ 2 为 为 1 ( ℝ + ) ≤ 为 为 2 ∗ ( ℝ + ) 。 ( 1 。 1 5 ) 现在让我们假设不平等(1.13)对于一个给定的 ≥ 2 ,假设 ∈ ∗ + 1 ( ℝ + ) ∩ 1 0 ( ℝ + ) 。一个简单的计算显示, ∈ ℕ , 1 1 = 1 + 1 , ( 1 。 1 6 ) 与 = ℎ = 0 ⎛ ⎜ ⎜ ⎝ ℎ ⎞ ⎟ ⎟ ⎠ 1 − ℎ ℎ ! ( − 1 ) ℎ 1 − ℎ 。 ( 1 。 1 7 ) 从它的定义,我们可以看到 = 0 为 1 = 0 。接下来,我们获得的身份 1 = ℎ = 0 ⎛ ⎜ ⎜ ⎝ ℎ ⎞ ⎟ ⎟ ⎠ 1 + 1 − ℎ ℎ ! ( − 1 ) ℎ 1 − ℎ + − 1 ℎ = 0 ⎛ ⎜ ⎜ ⎝ ℎ ⎞ ⎟ ⎟ ⎠ 1 − ℎ ℎ ! ( − 1 ) ℎ 1 − ℎ − 1 ( − ℎ ) = 1 + 1 1 + ℎ = 1 ⎛ ⎜ ⎜ ⎝ ℎ ⎞ ⎟ ⎟ ⎠ 1 + 1 − ℎ ℎ ! ( − 1 ) ℎ 1 − ℎ + − 1 ℎ = 0 ⎛ ⎜ ⎜ ⎝ ⎞ ⎟ ⎟ ⎠ ℎ + 1 1 − ℎ ( ℎ + 1 ) ! ( − 1 ) ℎ 1 − ℎ − 1 = 1 + 1 1 。 ( 1 。 1 8 ) 我们推断(1.18), 1 , = 1 0 1 + 1 1 , 1 1 , ( 1 。 1 9 ) 通过替换(1.16)收益率的身份 1 1 1 , = ∫ 1 0 1 + 1 1 , 1 1 1 + 1 。 ( 1 。 2 0 ) 给出任何多索引 = ( 1 , … , ) ∈ ℕ , 1 = 0 ,我们也会 1 1 ∫ ( ) = 1 0 1 + 1 1 , 1 1 1 + 1 , ( 1 。 2 1 ) 它容易遵循 | | | | 1 1 | | | | ≤ ∫ ( ) 1 0 | | 1 + 1 1 , | | 1 1 。 ( 1 。 2 2 ) 设置 1 , = 1 0 | | 1 + 1 1 , | | 1 ( 1 。 2 3 ) 哈代不平等的收益率 ∞ 0 | | | | 1 1 , | | | | 2 1 ≤ 4 ∞ 0 | | 1 1 , | | 2 1 。 ( 1 。 2 4 ) 从(1.22)和(1.24我们推断 为 为 为 1 1 为 为 为 2 2 ℝ + 为 为 ≤ 4 1 + 1 为 为 2 2 ℝ + 。 ( 1 。 2 5 ) 由此可见, 为 为 为 1 1 为 为 为 2 ( ℝ + ) ≤ 为 为 ∗ + 1 ( ℝ + ) ( 1 。 2 6 ) 每多索引 = ( 1 , … , ) ∈ ℕ , 1 = 0 , ∈ ℕ 这样 | | + 2 ≤ − 1 。
为了治疗情况 1 ≥ 1 ,我们使用一个归纳论点。我们第一次反余法线和正常的位置在规范衍生品(1。5) 为 为 为 1 为 为 为 2 ∗ − 1 ( ℝ + ) ≤ | | + 2 ≤ − 1 为 为 为 1 1 为 为 为 2 2 ( ℝ + ) 为 为 为 + 1 为 为 为 ∗ − 2 ( ℝ + ) , ( 1 。 2 7 ) 在上学期来自换向器的控制。然后,从归纳假设 为 为 为 1 为 为 为 2 ∗ − 1 ( ℝ + ) ≤ | | + 2 ≤ − 1 为 为 为 1 1 为 为 为 2 2 ℝ + + 为 为 ∗ ( ℝ + ) 。 ( 1 。 2 8 ) 让我们考虑一下估算 | | + 2 ≤ − 1 为 为 为 1 1 为 为 为 2 ( ℝ + ) ≤ 为 为 ∗ + 1 ( ℝ + ) 。 ( 1 。 2 9 ) 请注意,(1.29)如果适用 1 = 0 ,因为(1.26)。假设(1.29每多索引)是正确的 = ( 1 , … , ) ∈ ℕ 和 ∈ ℕ 这样 | | + 2 ≤ − 1 和 0 ≤ 1 ≤ 1 − 1 ,对于一些 1 ≤ 1 ≤ − 1 。我们有 | | + 2 ≤ − 1 , 1 ≤ 1 ≤ 1 为 为 为 1 1 为 为 为 2 2 ℝ + = | | + 2 ≤ − 1 , 1 ≤ 1 ≤ 1 为 为 为 1 ′ 1 − 1 1 1 1 为 为 为 2 2 ℝ + = | | + 2 ≤ − 1 , 1 ≤ 1 ≤ 1 为 为 为 1 ′ 1 − 1 1 − 1 为 为 为 2 2 ( ℝ + ) ≤ | | + 2 ≤ − 1 , 1 ≤ 1 ≤ 1 为 为 1 + 1 ′ 1 − 1 为 为 2 2 ℝ + + 为 为 为 1 ′ 1 − 1 1 为 为 为 2 2 ( ℝ + ) ≤ 为 为 2 ∗ ℝ + ( 1 。 3 0 ) 因为我们的第一个任期 | | − 1 + 2 ( + 1 ) ≤ 第二项,我们可以应用评估(1.13),对 通过归纳假设。因此(1.29)是正确的 1 = 1 。我们推断出(1.29每多索引) = ( 1 , … , ) ∈ ℕ , ∈ ℕ 这样 | | + 2 ≤ − 1 。
因此,从(1.28)和(1.29),我们得到 为 为 为 1 为 为 为 ∗ − 1 ( ℝ + ) ≤ 为 为 ∗ + 1 ( ℝ + ) 。 ( 1 。 3 1 ) 定理的证明1。1就完成了。

在第二个各向异性的空间 ∗ ∗ ( Ω ) 我们有以下结果。

定理1.2。让 ∈ ∗ ∗ ( ℝ + ) ∩ 1 0 ( ℝ + ) ,因为 ≥ 1 ,让 中定义的函数(1.12)。(1)如果 = 1 ,然后 为 为 2 ( ℝ + ) ≤ 为 为 1 ( ℝ + ) ≤ 为 为 1 ∗ ∗ ( ℝ + ) 。 ( 1 。 3 2 ) (2)如果 = 2 ,然后 为 为 1 ∗ ( ℝ + ) ≤ 为 为 2 ∗ ∗ ( ℝ + ) 。 ( 1 。 3 3 ) (3)如果 ≥ 3 ,然后 为 为 − 2 ∗ ∗ ( ℝ + ) ≤ 为 为 ∗ ∗ ( ℝ + ) 。 ( 1 。 3 4 )

证明。的证明(1.32哈代的不平等)是通过直接应用;然后(1.33)是通过应用(1.32) 。在的情况下 ≥ 3 定理的证明类似1。1,因此我们忽略细节。

承认

国家研究项目主要支持的工作是2007年“双曲型流体动力学方程和守恒定律”。