文摘

我们开发一个新的应用程序的米塔格-莱弗勒函数方法扩展的应用方法与分数阶线性微分方程。新的解决方案是构造幂级数。卡普托意义上描述的部分衍生品。为了说明方法的可靠性,提供了一些示例。研究结果表明,这里介绍的技术非常有效且方便解决分数阶的线性微分方程。

1。介绍

分数微分方程有兴奋,近年来,相当大的兴趣在数学和应用程序。他们被用于建模的物理和化学过程和工程(见,例如,<一个href="#B1">1- - - - - -<一个href="#B6">6])。的,数学方面的分数微分方程和方法被许多作者讨论的解决方案:迭代方法(<一个href="#B7">7),该系列方法(<一个href="#B8">8),傅里叶变换技术(<一个href="#B9">9,<一个href="#B10">10),特殊分数微分方程方法的理性秩序或特殊类型的方程<一个href="#B11">11- - - - - -<一个href="#B16">16],拉普拉斯变换技术[<一个href="#B3">3- - - - - -<一个href="#B6">6,<一个href="#B16">16,<一个href="#B17">17),运算微积分方法(<一个href="#B18">18- - - - - -<一个href="#B23">23]。最近,一些数学方法包括Adomian分解方法(<一个href="#B18">18- - - - - -<一个href="#B25">25),变分迭代法(<一个href="#B23">23- - - - - -<一个href="#B26">26和同伦摄动方法<一个href="#B27">27,<一个href="#B28">28)开发获取精确和近似分析的解决方案。其中有些方法使用以减少方程转变成简单的方程或系统的方程,以及其他一些方法给解决方案以系列形式收敛于精确解。

使用分数阶微分的原因(FOD)相关方程,FOD方程自然系统与记忆存在于大多数生物系统。也密切相关分形中丰富的生物系统。结果来源于部分系统本质上是一个更一般的。分别解决部分扩散方程扩散速度比经典的扩散方程和可能出现的不对称。然而,这些方程的基本解,仍然表现出有用的扩展属性,使他们有吸引力的应用程序。

分数或noninteger订单推导和集成的概念可以追溯到整数阶微积分的起源本身(<一个href="#B29">29日]。几乎所有的数学理论适用于noninteger阶微积分的研究是在19世纪末发展起来的。然而,在过去的几百年里,最有趣的跳跃在工程和科学应用程序被发现。计算技术在某些情况下满足现实的需求。使用数学建模部分分化的现实世界的物理问题近年来已经广泛,例如,地震的建模,流体动态交通模型部分衍生品和粘弹性材料特性的测量。部分衍生品在其他领域的应用和相关的数学工具和技术可以发现在<一个href="#B30">30.- - - - - -<一个href="#B41">41]。事实上,真实的流程通常或最有可能是分数阶系统。

衍生品是卡普托意义上的理解。一般响应表达式包含一个参数描述分数导数的顺序,可以进行调整,以达到不同的反应。

2。分数微积分

有几种方法的泛化分化部分订单的概念,例如,Riemann-Liouville, Grunwald-Letnikov,卡普托和广义函数的方法<一个href="#B42">42]。sRiemann-Liouville分数阶导数所使用的主要是数学家,但这种方法不适合实际的物理问题,因为它需要分数阶的定义初始条件,没有物理意义的解释。卡普托引入另一个定义,它的优点是定义整数阶初始条件对分数阶微分方程(<一个href="#B42">42]。与Riemann-Liouville方法不同,它的定义来自重复集成,Grunwald-Letnikov配方的方法从导数的问题。这种方法主要用于数值算法。

这里,我们提到的基本定义卡普托分数阶集成和分化,用于即将到来的纸和扮演最重要的角色在分数阶微分和积分方程理论。

卡普托方法的主要优点是分数微分方程的初始条件与卡普托衍生品承担相同的形式对整数阶微分方程。

定义2.1。的分数阶导数 ( ) 卡普托意义上被定义为 ( ) = − = 1 ( ) Γ ( − ) 0 ( − ) − + 1 ( ) ( ) ( 2 。 1 ) 为 − 1 < ≤ , ∈ , > 0 。
卡普托的导数 = 0 , 是常数, = ⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩ 0 , ( ≤ − 1 ) , Γ ( + 1 ) Γ ( − + 1 ) − ⎫ ⎪ ⎬ ⎪ ⎭ , ( > − 1 ) 。 。 ( 2 。 2 )

定义2.2。为 超过最小的整数 ,卡普托分数导数的秩序 > 0 被定义为 ( , ) = ( , ) = ⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩ 1 ∫ Γ ( − ) 0 ( − ) − + 1 ( , ) , f o r − 1 < < ( , ) ⎫ ⎪ ⎬ ⎪ ⎭ 。 , f o r = ∈ ( 2 。 3 )

3所示。的分析方法

米塔格-莱弗勒(1902 - 1905)的功能 和 , (<一个href="#B42">42),由幂级数定义 ( ) = ∞ = 0 Γ ( + 1 ) , , ( ) = ∞ = 0 Γ ( + ) , > 0 , > 0 , ( 3 。 1 ) 已经证明了他们的效率解决方案的分数阶微分和积分方程,因此已经成为分数微积分理论和应用的重要元素。

在这篇文章中,我们将解释如何解决一些与分数微分方程通过广义米塔格-莱弗勒函数的实施水平 ( ) 。广义米塔格-莱弗勒方法表明,线性项 ( ) 无穷级数分解的组件: = ( ) = ∞ = 0 Γ ( + 1 ) 。 ( 3 。 2 ) 我们将使用以下分数阶微积分的定义: = ∞ = 1 ( − 1 ) , Γ ( ( − 1 ) + 1 ) ( 3 。 3 ) 2 = ∞ = 2 ( − 2 ) Γ 。 ( ( − 2 ) + 1 ) ( 3 。 4 ) 这是基于卡普托部分衍生品。(讨论的莱弗勒Mittag函数的收敛性<一个href="#B42">42]。

4所示。应用程序和结果

在本节中,我们考虑一个例子,证明广义米塔格-莱弗勒的性能和效率函数法求解线性微分方程与部分衍生品。

例4.1。考虑下面的分数微分方程(<一个href="#B43">43]: = 。 ( 4 。 1 ) 通过使用(<一个href="#EEq3.2">3所示。3)(<一个href="#EEq4.1">4所示。1)我们发现 ∞ = 1 ( − 1 ) Γ ( ( − 1 ) + 1 ) − ∞ = 0 Γ ( + 1 ) = 0 。 ( 4 。 2 ) 结合相似条款和更换(n)( + 1 )在第一个和,我们假设表单 ∞ = 0 + 1 Γ ( + 1 ) − ∞ = 0 Γ ( + 1 ) = 0 , ∞ = 0 + 1 − Γ ( + 1 ) = 0 。 ( 4 。 3 ) 的系数 等于零并确定系数,我们获得递归 + 1 − = 0 ⟹ + 1 = , 一个 t = 0 , 1 = 0 = , 一个 t = 1 , 2 = 1 ⟹ 2 = 2 , 一个 t = 2 , 3 = 2 ⟹ 3 = 3 。 ( 4 。 4 ) 替换成(<一个href="#EEq3.1">3所示。2) ( ) = 0 + 1 Γ ( + 1 ) + 2 2 Γ ( 2 + 1 ) + 3 3 Γ ( 3 + 1 ) + ⋯ , ( ) = 1 + Γ ( + 1 ) + 2 2 Γ ( 2 + 1 ) + 3 3 Γ ( 3 + 1 ) + ⋯ 。 ( 4 。 5 ) 一般的解决方案是 ( ) = ∞ = 0 Γ ( + 1 ) 。 ( 4 。 6 ) 我们可以把米塔格-莱弗勒函数的通解形式 ( ) = ( ) 。 ( 4 。 7 ) 作为 = 1 ,我们有确切的解决方案: ( ) = ∞ = 0 ( ) Γ ( + 1 ) = , ( 4 。 8 ) 这是标准形式的精确解。

例4.2。考虑分数微分方程(<一个href="#B44">44] 2 2 − = 0 。 ( 4 。 9 ) 通过使用(<一个href="#EEq3.1">3所示。2)和(<一个href="#EEq3.2">3所示。4)(<一个href="#EEq4.19">4所示。9)我们发现 ∞ = 2 ( − 2 ) − Γ ( ( − 2 ) + 1 ) ∞ = 0 Γ ( + 1 ) = 0 。 ( 4 。 1 0 ) 结合相似条款和更换( )( + 2 )在第一个和,我们假设表单 ∞ = 0 + 2 − Γ ( + 1 ) ∞ = 0 Γ ( + 1 ) = 0 , ∞ = 0 + 2 − Γ ( + 1 ) = 0 。 ( 4 。 1 1 ) 的系数 等于零并确定系数,我们获得递归 + 2 = 。 ( 4 。 1 2 ) 替换成(<一个href="#EEq3.1">3所示。2),我们发现: ( ) = 1 + + Γ ( + 1 ) 2 Γ ( 2 + 1 ) + 2 3 Γ ( 3 + 1 ) + ⋯ 。 ( 4 。 1 3 ) 如果 = 1 ,我们可以把米塔格-莱弗勒函数的通解形式写成 ( ) = ∞ = 0 Γ ( + 1 ) = ( ) ( 4 。 1 4 ) 这是线性分数微分方程的精确解(<一个href="#EEq4.19">4所示。9)。

例4.3。考虑分数微分方程(<一个href="#B43">43] 2 2 + − 2 = 0 。 ( 4 。 1 5 ) 通过使用(<一个href="#EEq3.1">3所示。2)和(<一个href="#EEq3.2">3所示。4)(<一个href="#EEq4.29">4.15)我们发现 ∞ = 2 ( − 2 ) + Γ ( ( − 2 ) + 1 ) ∞ = 1 ( − 1 ) Γ ( ( − 1 ) + 1 ) − 2 ∞ = 0 Γ ( + 1 ) = 0 。 ( 4 。 1 6 ) 结合相似条款和更换( )( + 2 )在第一个和,我们假设表单 ∞ = 0 + 2 + Γ ( + 1 ) ∞ = 0 + 1 Γ ( + 1 ) − 2 ∞ = 0 Γ ( + 1 ) = 0 , ∞ = 0 + 2 + + 1 − 2 Γ ( + 1 ) = 0 ( 4 。 1 7 ) 的系数 等于零并确定系数,我们获得递归 + 2 = 2 − + 1 。 ( 4 。 1 8 ) 替换成(<一个href="#EEq3.1">3所示。2),我们发现: ( ) = 1 + Γ ( + 1 ) + ( 2 − ) 2 Γ ( 2 + 1 ) + ( − 2 ) 3 Γ ( 3 + 1 ) + ⋯ 。 ( 4 。 1 9 ) 如果 = 1 ,我们可以把米塔格-莱弗勒函数的通解形式写成 ( ) = ∞ = 0 Γ ( + 1 ) = ( ) ( 4 。 2 0 ) 这是线性分数微分方程的解决方案(<一个href="#EEq4.29">4.15)。

5。结论

米塔格-莱弗勒函数的泛化方法已经开发了线性微分方程与部分衍生品。新的推广是基于卡普托分数导数。可能得出的结论是,这种技术非常强大和有效的找到一个大的类的解析解的分数阶线性微分方程。