文摘

我们研究Camassa-Holm (CH)方程和最近推出了μCH方程从几何的观点。我们表明,Kupershmidt变形方程描述伪球形表面,因此几何可积。

1。介绍

可积的非线性偏微分方程现代理论出现的逆散射法(ISM)发现了加德纳et al。1]Korteweg de Vries KdV方程。不久之后,它是意识到这种方法可以应用于几个重要的非线性方程组和非线性Shrodinger方程一样,sine-Gordon等等。

佐佐木(2)给一个自然的几何解释主义的伪球形表面。出于佐佐木,陈省身和Tenenblat3]介绍伪球形的标量方程的概念类型和研究系统演化方程,描述伪球形表面。看来,几乎所有重要的数学物理方程和系统享受这个属性(3- - - - - -7]。这种几何处理的优点是,大多数的成分与可积方程如松懈,零曲率表示,自然守恒定律和对称性。

让我们记住一些事实对我们研究的方程。

Camassa-Holm方程(CH) − + 2 + 3 − 2 − = 0 , ( 1 。 1 ) 在哪里 ∈ ℝ ,出现在8)作为一个方程bi-Hamiltonian结构。后,在9),它被认为是一个模型,描述了单向平底浅水波的传播。CH是一个完全可积方程;见,例如,(10- - - - - -12]。此外,CH几何可积(6]。在这里,我们考虑的情况 = 0 。然后,(1.1)是 + + 2 , = − 。 ( 1 。 2 )

的bi-Hamiltonian形式(1.2)(8,9] = − ℬ 1 2 ( ] = − ℬ 2 1 ( ] , ( 1 。 3 ) 在哪里 ℬ 1 = − 3 , ℬ 2 = + 是两个兼容的哈密顿操作符( 代表 / ),和相应的汉密尔顿 1 ( ] = 1 2 , 2 ( ] = 1 2 3 + 2 。 ( 1 。 4 )

存在一个无限序列的守恒定律(multi-Hamiltonian结构) ( ] , = 0 , ± 1 , ± 2 , … 包括(1.4),这样 ℬ 1 ( ] = ℬ 2 − 1 ( ] 。 ( 1 。 5 ) 最近一个“修改”CH方程(mCH)介绍了“三浦变换”的类比KdV方程的理论(5]。

的 最近在(CH方程推导13,14] − = − 2 ( ) + 2 + , ( 1 。 6 ) 在哪里 ∫ ( ) = 1 0 和 ( , ) 是时间变量的空间周期性的实值函数 和空间变量 ∈ 1 = ( 0 , 1 ) 。为了保持一定的对称性和CH类比,我们可以写上面的方程形式(参见[15]) − = − 2 ( ) + 2 + 。 ( 1 。 7 ) 请注意, ( ) = 0 在周期的情况下。介绍 = = ( ) − (1.7)成为 + + 2 = 0 , = ( ) − 。 ( 1 。 8 ) 的 CH是一个渐近可积方程和产生旋转方程在液晶易磁化方向如果考虑交互作用的偶极子对自己(13,14]。

的bi-Hamiltonian形式(1.8)是 = − ℬ 1 2 ( ] = − ℬ 2 1 ( ] , ( 1 。 9 ) 在哪里 ℬ 1 = = − 3 , ℬ 2 = + 是两个兼容的哈密顿运营商,和相应的汉密尔顿吗 1 ( ] = 1 2 , 2 ( ] = ( ) 2 + 1 2 2 。 ( 1 。 1 0 ) 也 CH方程几何可积(15)(见有其他几何方程描述)。

最近在16),一个新的6阶波动方程,名叫KdV6,推导。经过重新调节,这个方程可以表示为以下系统; = 6 + − , + 4 + 2 = 0 。 ( 1 。 1 1 ) 本系统给出了扰动KdV方程( = 0 ),自约束 差,这是一个非完整变形。

Kupershmidt [17)提出了一个通用结构适用于任何bi-Hamiltonian系统提供一个非完整扰动。这种扰动是推测保存可积性。在KdV6的情况下,系统(1.11可以转换成) = ℬ 1 + 1 − ℬ 1 ( ) = ℬ 2 − ℬ 1 ( ℬ ) , 2 ( ) = 0 , ( 1 。 1 2 ) 在哪里 ℬ 1 = , ℬ 2 = 3 + 2 ( + ) 是两个标准的哈密顿KdV等级和运营商 1 = , 2 = 1 2 2 , … 。 ( 1 。 1 3 ) 在同一篇论文中,Kupershmidt KdV6验证可积性,以及可积性的非完整变形对一些具有代表性的例子:经典的长波方程,户田拓夫晶格(连续和离散),和欧拉。

事实上,Kersten et al。18]证明每个bi-Hamiltonian Kupershmidt变形的方程是再次bi-Hamiltonian系统和每一个守恒定律的原始bi-Hamiltonian系统的层次结构,产生Kupershmidt变形的守恒定律的层次结构。

本文的目的是表明CH和 CH方程几何可积Kupershmidt变形。我们还表明,KdV6方程和双组分CH系统[19)也是几何可积。

事实上,姚明和曾庆红(20.)提出一个广义Kupershmidt变形,并验证这种广义变形也保留了可积性在几个具有代表性的例子:KdV方程,布西涅斯克方程,Jaulent-Miodek方程,CH方程。

茶室et al。21)考虑稍微广义KdV方程形式的变形,这种方法扩展到mKdV方程和AKNS系统。

(古哈22)使用Kirillov coadjoint表示理论的维拉宿KdV6-type方程的代数获得大量类,相当于原来的。应用Adler-Konstant-Symes计划,他构造了一个新的非完整的变形耦合KdV方程。

本文组织如下。节2,我们回忆起一些关于方程描述伪球形表面。主要的结果部分3。我们表明,Kupershmidt CH方程和变形 CH方程的伪球形几何可积类型,因此。我们也得到相应的二次伪势是非常有用的在获得保护法律和对称性。最后,我们做一些猜测“修改” CH方程。

2。方程的伪球形类型和伪势

在本节中,我们回忆起一些定义和事实。例如,你可以咨询(3- - - - - -7为更多的细节。

定义2.1。一个标量微分方程 Ξ ( , , , , … , ) = 0 在两个独立的变量 , 是伪球形的类型(或者,它描述了伪球形表面)如果存在1 - ≠ 0 = 1 , , , … , + 2 , , , … , , = 1 , 2 , 3 , ( 2 。 1 ) 的系数 是光滑的函数依赖 , 和有限数量的衍生品 1-forms等 = ( ( , ) ) 满足结构方程 1 = 3 ∧ 2 , 2 = 1 ∧ 3 , 3 = 1 ∧ 2 , ( 2 。 2 ) 每当 = ( , ) 是一个解决方案 Ξ = 0 。
方程(2.2)可以解释如下。当地解决方案的图形方程的伪球形类型可以配备伪球形表面结构(见[3,6,7):如果 1 ∧ 2 ≠ 0 ,张量 1 ⊗ 1 + 2 ⊗ 2 定义了一个不断高斯曲率的黎曼度量−1在图上的解决方案 ( , ) , 3 连接1 -是相应的指标。
一个方程的伪球形类型是可积性条件 年代 l ( 2 , ℝ ) 有价值的问题 = Ω , ( 2 。 3 ) 在哪里 Ω 是矩阵值1 - 1 Ω = + = 2 ⎛ ⎜ ⎜ ⎝ 2 1 − 3 1 + 3 − 2 ⎞ ⎟ ⎟ ⎠ 。 ( 2 。 4 )

定义2.2。一个方程 Ξ = 0 是几何可积的如果它描述了一个非凡的单参数的伪球形表面。

因此,如果 Ξ = 0 几何可积,是单参数的可积性条件家庭的线性问题 = , = 。事实上,这是相当于零曲率方程 − + ( ] , = 0 , ( 2 。 5 ) 这是一个可积方程的基本要素。

伪球形类型方程的另一个重要属性是他们承认二次伪势。伪势是一个泛化的守恒定律。

命题2.3(见[6])。让 Ξ = 0 是一个微分方程描述与相关1 -伪球形表面 。以下两个普法夫时是完全可积系统 ( , ) 是一个解决方案 Ξ = 0 : − 2 Γ = 3 + 2 − 2 Γ 1 + Γ 2 3 − 2 , ( 2 。 6 ) 2 = 3 − 2 − 2 1 + 2 3 + 2 。 ( 2 。 7 ) 此外,1 - Θ = 1 − Γ 3 − 2 , Θ = − 1 + 3 + 2 ( 2 。 8 ) 关闭时 ( , ) 是一个解决方案 Ξ = 0 和 Γ (职责。 )是一个解决方案(2.6)(分别地。(2.7))。

几何,普法夫系统(2.6)和(2.7)确定伪球形表面与测地坐标方程 Ξ = 0 (3,6]。

3所示。结果

在本节中,我们考虑非完整CH方程和变形 CH方程。我们表明,几何可积和考虑他们的二次伪势。将非局部对称性研究。

3.1。CH方程

记得从介绍CH方程(1.2)及其bi-Hamiltonian形式(1.3与对应的哈密顿运营商) ℬ 1 和 ℬ 2 。

Kupershmidt建设后,我们引入CH的非完整变形方程 = − − 2 − ℬ 1 ℬ ( ) , 2 ( ) = 0 。 ( 3 。 1 )

命题3.1。系统(3所示。1)描述伪球形表面,因此几何可积。

让我们给相应的1-forms 1 = ( + 1 ) + − + + 1 + 1 − − + ( + 1 ) − ( + 1 ) , 2 = ( + 1 ) + + 1 − ( + 1 ) + − ( + 1 ) + , 3 = + ( + 1 + ) − + − ( + 1 ) 2 + + 1 + + 1 − + ( + 1 ) − ( + 1 + ) 。 ( 3 。 2 )

证明的命题3所示。1,我们只需要验证结构方程(2.2)和检查参数 是内在的。

的矩阵 和 在,我们得到 1 = 2 ⎛ ⎜ ⎜ ⎝ ⎞ ⎟ ⎟ ⎠ 1 + 1 − 2 ( + 1 ) + − ( + 1 ) , = 2 ⎛ ⎜ ⎜ ⎝ 1 1 1 2 2 1 − 1 1 ⎞ ⎟ ⎟ ⎠ , ( 3 。 3 ) 在哪里 1 1 = + 1 − ( + 1 ) + − ( + 1 ) + , 1 2 = + 2 − 1 , 2 1 = − 2 − ( + 1 ) 2 + 1 + 2 ( + 1 ) + + 2 − 2 + 2 ( + 1 ) − ( + 2 ) − 2 。 ( 3 。 4 ) 因此,我们有一个零曲率表示 − + ( , ] = 0 系统(3所示。1)。从(3所示。3),它是直接获取相应的标量线性问题 = 1 4 − 2 , = 1 − − + + + 2 。 ( 3 。 5 )

为了应用命题2.3非完整CH方程的变形,我们考虑新的1-forms n e w 1 n e w = 2 , 2 n e w = − 1 , 3 n e w = 3 。 ( 3 。 6 ) 这些形式的普法夫系统(2.7)成为 2 = 2 − 2 ( + 1 ) + 2 ( + 1 ) + , 2 = 2 − 2 ( ] − 2 − ( + 1 ) − 2 − 2 − + 1 − 2 + 1 + + 2 − 2 + 1 。 ( 3 。 7 ) 应用变换 ⟼ + + 1 , ( 3 。 8 ) 经过一些代数操作和设置 = − 1 / ,我们得到以下的结果。

命题3.2。CH的非完整变形方程(3所示。1)二次伪势承认 ,定义的方程 = 2 2 + − 2 , ( 3 。 9 ) = 2 2 1 1 + − − − − − + 2 + − 2 2 , ( 3 。 1 0 ) 在哪里 ≠ 0 , = − 。此外,(3所示。1)具有parameter-dependent守恒定律 = ( + ) 1 − − − 。 ( 3 。 1 1 )

可以通过扩大保护密度(3所示。9)和(3.11)的权力 。注意,左边的(3.11)和(3所示。9)不依赖 是应该的。在执行相应的扩张6]。

3.2。 CH方程

考虑现在 CH方程(1.8),其bi-Hamiltonian形式(1.9与对应的哈密顿运营商) ℬ 1 , ℬ 2 。应用Kupershmidt的过程(1.8),我们获得的非完整变形 CH方程 = − − 2 − ℬ 1 ℬ ( ) , 2 ( ) = 0 , ( 3 。 1 2 ) 或 = − − 2 + , 2 + = 0 , = ( ) − 。 ( 3 。 1 3 )

命题3.3。非完整的变形 CH方程(3.13)描述了伪球形表面和,因此,是几何可积。

验证的命题3所示。3,我们给1-forms与(3.13) 1 = 1 2 − 2 2 + 1 + 2 2 2 2 − 1 + + 2 2 + ( ) − 2 + + 3 2 − 2 − 2 + − 2 , 2 = + 1 − + − 2 + , 3 = 1 2 − 2 2 + 1 − 2 2 2 2 − 1 + + 2 2 + ( ) + 2 − + 3 2 + 2 − 2 + − 2 。 ( 3 。 1 4 )

的矩阵 和 在,我们得到 1 = 2 ⎛ ⎜ ⎜ ⎝ 2 − 2 2 ⎞ ⎟ ⎟ ⎠ 1 − , = 2 ⎛ ⎜ ⎜ ⎝ 1 1 1 2 2 1 − 1 1 ⎞ ⎟ ⎟ ⎠ , ( 3 。 1 5 ) 在哪里 1 1 = 1 − + − 2 + , 1 2 1 = 2 − + , − 2 1 = 2 2 − 1 + + 2 + ( ) − 2 + − 2 + 3 2 。 ( 3 。 1 6 ) 因此,我们有一个零曲率表示 − + ( , ] = 0 系统(3.13)。从(3所示。3),它是直接获取相应的标量线性问题 = 2 , = 1 − − + + + 2 , ( 3 。 1 7 ) 同时,那些在13在设置) = 0 和 = / 2 。

为了找到伪势的非完整变形 CH方程,我们进行表示 1 n e w = 2 , 2 n e w = − 1 , 3 n e w = 3 。 ( 3 。 1 8 ) 通过这些形式,普法夫系统(2.7)成为 2 = − 2 2 − 2 + − 2 2 , ( 3 。 1 9 ) 2 = − 2 2 + 2 2 ( + ) − 2 1 − + − 2 + + 2 2 − 1 + + 2 + ( ) + 3 2 − 2 + − 2 。 ( 3 。 2 0 ) 一些操作后,上述系统获得表单 2 = − 2 2 − 2 + − 2 2 , 2 2 = − 2 + − ( ] ( 2 + ) ( + ) + ( ) − 2 − 2 。 ( 3 。 2 1 ) 应用变换 ↦ − / 2 ,我们得到 = − 2 + 2 , ( 3 。 2 2 ) = − 2 + 2 − ( ] ( + ) + ( ) 2 。 ( 3 。 2 3 ) 用第一个方程(3.22) − 1 / 然后将结果添加到第二个方程(3.23),我们得到以下结果表示 = / 2 。

命题3.4。非完整的变形 CH方程(3.13)二次伪势承认 ,定义的方程 = 2 + , ( 3 。 2 4 ) = − 2 2 − ( ] ( + 2 ) + ( ) 2 , ( 3 。 2 5 ) 在哪里 ≠ 0 , = ( ) − 。此外,(3.13)具有parameter-dependent守恒定律 = 1 2 + ( + 2 ) − 2 ( + 2 ) 。 ( 3 。 2 6 )

作为非完整变形的守恒密度是相同的原始bi-Hamiltonian系统,我们利用伪势来获取的 CH方程。一个可能的扩张 是 = 1 / 2 1 + 0 + ∞ = 1 − / 2 − 。 ( 3 。 2 7 ) 替换成(3.24)的收益率 1 = √ , 0 = − 4 , − 1 = 1 3 2 2 5 / 2 + 1 8 3 / 2 , … 一个 n d 年代 o f o r t h 。 ( 3 。 2 8 ) 通过这种方式,我们可以获得当地的泛函,;参见[13]。

我们完成这部分的几何可积的一个最流行的双组分泛化CH KdV6方程的方程。

的另一个泛化Camassa-Holm方程如下可积双组分CH系统[19]: − = − 3 + 2 + + , + ( ) = 0 , ( 3 。 2 9 ) 在哪里 = ± 1 。引入一个新的变量 = 2 / 2 ,上面的系统 − = − 3 + 2 + + , + 2 + = 0 。 ( 3 。 3 0 ) 系统(3.30)是几何可积。相应的1-forms,满足结构方程(2.2),如下: 1 = − − + 1 + 2 − + + 1 + 1 − − + , 2 = ( + 1 ) + + 1 − ( + 1 ) + , 3 = + − − + + 1 2 − + − ( + 1 ) 2 + + 1 + 1 − + 。 ( 3 。 3 1 ) 我们可以很容易地包括双组分Hunter-Saxon系统(19到这张照片(参见[7])。

最后,我们注意到,非完整KdV方程的摄动,称为KdV6方程,也是伪球形的类型、几何KdV6方程可积。我们只是给相应的1-forms 1 = ( 1 − ) + − + − 2 2 + 1 − 1 2 + + 2 2 − 2 2 + 2 + 2 , 2 = + 3 2 + 2 + − 2 − 2 2 , 3 = − ( 1 + ) + − + − 2 2 + 1 − 1 2 − + 2 2 + 2 2 − 2 − 2 , ( 3 。 3 2 ) 与那些对KdV方程(3)当 → 0 。

4所示。结束语

在本文中,我们研究了CH方程和它的一些归纳从几何的观点。我们表明,Kupershmidt CH和变形 CH方程保护可积性和获得一些重要的物品,例如二次伪势是有用获取保护法律和非局部对称。也表明KdV6方程和双组分CH也几何可积系统。

手头有这些例子的几何可积Kupershmidt变形,很自然的认为可能存在一个一般链接在这个意义上:一个Kupershmidt变形几何可积系统的几何可积。我们还没有成功地建立这种联系,但我们相信,这是真的,至少对于运营商的与当地哈密顿系统对在上面的例子。

然而,让我们返回到 CH方程( = 0 )。很明显,伪势的 CH方程(1.8)和parameter-dependent守恒定律了 = 2 + , ( 4 。 1 ) = 1 2 + − 2 = + 2 2 − ( ) 。 ( 4 。 2 ) 方程(4.1)是一个模拟的三浦KdV理论的转变。纯粹的正式,我们可以重复获得的过程”修改“CH (mCH)方程(5在这种情况下。然而,很明显, CH外地术语,包含一个可以期待的“修改”方程也有外地的条件。

表示由 操作员 = − 2 , ( ) = = ( ) − 。运营商 − 1 和 上下班, ( ) = ( ) 。

我们有 = − 1 , = − 1 , = − 1 , ( 4 。 3 ) 在这 是由(4.1)。然后,第二个方程(4.2)的形式 = + 2 − 1 2 − − 1 − − 1 , ( 4 。 4 ) 或 = + 2 2 − − 1 。 ( 4 。 5 ) 形式上,这个方程可以命名为“修改” CH方程。一个可以进一步简化方程使用(4.1),甚至可以将其归纳为一个系统(5),它仍然是外地,因此,它是没有优势的。

确认

这项工作是支持的部分批准号索菲亚大学的169/2010和由格兰特没有。DD VU NSF保加利亚的02/90。